以生為本 優化教學 提升品質

任意角的三角函數的定義是高中數學中的核心概念之一，它不僅是學習三角函數章節的關鍵，而且是初中銳角三角函數知識的延伸，同時也為學習平面向量和解析幾何等高級數學內容打下了基礎．在教學中，大多數教師傾向于直接將銳角三角函數推廣至任意角的三角函數．這種從特殊到一般的推廣方法看似自然流暢，然而，從實際反饋來看，學生遇到第一象限角時能夠輕松地解決問題，但在面對其他象限角時就不知所措.究其原因之一是，大多數學生將這些概念視為“規定”，并未深入理解其背后的原理.那么，在實際教學中，如何才能讓學生掌握數學概念的本質，提升概念教學實效性呢？筆者認為，通過深入研究學生、教學方法以及教學內容，并從理解性學習的角度出發設計教學活動，能夠揭示概念的本質，激發學生的學習興趣，提升學生的思維品質，進而提高教學質量.

教學過程設計

1.復習舊知，引入新課

問題1在初中階段，我們學習過銳角三角函數的概念．你還記得在直角三角形中，銳角三角函數是如何定義的嗎？ 30^°. 角的正弦、余弦和正切值分別是什么？

師生活動：教師展示圖1，引導學生進行回顧和表達.隨后，教師板書：

圖1

圖2

設計意圖從學生熟悉的銳角三角函數入手，喚醒學生已有的知識和經驗，為新知的引入做鋪墊．同時，從已學知識出發，讓學生感受到熟悉和親切，這有利于激發學生的學習興趣，增強學生的學習信心.

2.探究新知，形成概念

問題2如圖2所示，若以銳角α的頂點為坐標原點，以角α的始邊為x軸，建立直角坐標系.設點 P（x，y） 是角 α 終邊上一點，點 P 到原點的距離為r.結合已知條件，能否利用點 P 的坐標表示角α的三角函數值？

學生活動：學生結合已有的知識

和經驗構造直角三角形，即過點P作

PM⊥x 軸于 M ，則

tana=yx

追問1：角 α 的三角函數值與點 P 在終邊上的位置有關嗎？請給出你的理由.

學生活動：學生利用“相似三角形的對應邊成比例\"這一性質推導出“角α的三角函數值與點 P 在終邊上的位置無關”

追問2：如果改變角 α 的大小，那么這組比值是否仍然保持不變？

學生活動：學生通過分析特殊角的三角函數值，發現這組比值會隨著

角α的變化而變化.

問題3在定義域內，任意一個角都有唯一的三角函數值與之對應根據這一對應關系，你想到了什么概念？ （學生易于想到函數的概念）

追問1：你認為sin tana=是函數嗎？若是函數，自變量x 和因變量分別是什么呢？

學生活動：學生結合函數的定義一致認為 x （204號是函數.其中自變量是角 α ，因變量是相應的比值.

追問2：你認為這里的角是指角度還是弧度呢？

師生活動：對于這一問題，學生提出了不同的想法，有的學生認為是角度，有的學生認為是弧度，也有的學生認為兩者均可．教師引導學生思考引入弧度的重要性，以建立角與實數之間的對應關系.

設計意圖銳角三角函數的定義是本節課學習的根基，也是教學的起始點．教師指導學生利用坐標定義銳角三角函數，凸顯三角函數概念的本質，為后續研究任意角的三角函數奠定堅實的基礎.

問題4以上研究是基于角 α 為銳角的情形進行的.如果角 α 是第一象限角，那么它的三角函數值又是什么呢？

師生活動：通過與銳角三角函數的定義相類比，學生認為銳角三角函數的定義同樣適用于第一象限角.在此過程中，有學生提出了一個疑問：若角 α 為 420^° ，它是第一象限角，但顯然無法構造直角三角形.在無法構造直角三角形的情況下，如何得到相應的比值呢？教師及時捕捉到這一課堂上的生成性資源，并引導學生回顧如何使用坐標來表示銳角三角函數，從而實現從銳角到第一象限角的推廣.

問題5如果角 α 位于其他象限，那么我們之前研究得到的結論是否仍然成立呢？

師生活動：教師鼓勵學生合作探究，并展示他們的思考過程.若角 α 為任意角，在角 α 的終邊上任選一點P（x，y） ，可以觀察到角 α 的三角函數值與點 P 在終邊上的位置無關，而是與角 α 的終邊相關．因此，無論是銳角三角函數還是任意角三角函數，都是以角為自變量（其中角的單位為弧度），以比值為因變量的函數.

設計意圖引導學生通過觀察、比較、交流，理解它們之間的一一對應關系，此時引出三角函數的定義自然水到渠成了.

問題6根據三角函數的定義，你能否給出它們的定義域？

學生活動：根據三角函數的定義以及分式的意義，確定正弦函數和余弦函數的定義域為R，正切函數的定義域為

問題7根據三角函數的定義，你能確定在各個象限中三角函數值的正負嗎？

學生活動：根據三角函數的定義，學生得知，三角函數值的正負決定于角的終邊所處的象限

設計意圖深入研究函數，自然需要探討函數的定義域—沿著知識發展的脈絡，引導學生自主進行探究．這不僅讓學生充分感受到數學知識間的內在聯系，而且有助于深化對知識的理解，促進能力的發展與提升．另外，在此過程中，教師通過設計啟發性問題，激發學生去發現和探索，從而彰顯學生的主體地位和價值.

問題8根據三角函數的定義，你能給出 等軸線角的三角函數值嗎？

學生活動：教師預留時間讓學生動手畫、動腦想，并使用表格進行歸納和總結.

設計意圖鑒于學生在練習中錯誤頻發的現狀，教師指導學生利用表格進行歸納和總結，以加深理解并有效預防錯誤，同時培養深入思考的能力.

3.應用舉例，理解概念

例題若角 α 的終邊經過點P（4，-3） ，求角α的正弦、余弦和正切值

師生活動：學生獨立完成解題，教師隨后展示學生的解題過程，并引導學生總結和規范解題步驟

設計意圖通過練習，熟記三角函數的定義，充分揭示問題的本質，并歸納解題步驟.

變式題1：若角 α 的終邊經過點 P（4a，-3a）（a≠0） ，求角 α 的正弦、余 弦、正切值.

變式題2：若角 α 的終邊落在直線y=3x 上，求角α的正弦、余弦和正切值.

師生活動：這兩道變式題的本質是相同的，解題時都需要對角 α 進行分類討論.但是，由于不少學生缺乏分類意識，這導致了錯誤的發生.面對學生的錯誤，教師沒有直接指正，而是引導學生經歷析錯、糾錯等過程，以此建立正確的解題思維，提高解題準確率.

設計意圖教師依據學生的認知發展規律，通過創設“低起點、小坡度”的問題引導學生思考，調動學生參與課堂的積極性和主動性，培養思維的嚴謹性，提高學生分析和解決問題的能力.

4.課堂小結，布置作業

（略）

教學思考

眾所周知，概念具有高度的抽象性．為了使學生能夠全面且深入地理解概念，教師應當更新教學理念，將概念的形成過程交還給學生，讓學生在做中學、學中思．當然，在此過程中，教師應充分發揮課堂教學的主導作用，結合教學內容和實際學情精心創設問題，促使學生在問題的驅動下經歷概念的形成和發展過程，以此幫助學生積累豐富的活動經驗，加深對數學本質的認識，培養學生數學抽象和歸納概括能力，提高學生的綜合能力與綜合素養.

在高中數學概念教學中，教師應摒棄傳統的“填鴨式\"教學方法，給予學生充足的時間和空間去思考和探索，從而激發學生的思維活力，活躍課堂氛圍，以此優化課堂教學效果，提升課堂教學質量，促進學生綜合能力和綜合素養的發展.