對“建構(gòu)一連通\"教育形態(tài)的研究

傳統(tǒng)意義上的數(shù)學教學，教師往往將大量課堂時間用于新知的識記，導致學生對新知的理解呈現(xiàn)碎片化狀態(tài).隨著新課改的深入推進，指向“建構(gòu)一連通\"的教學模式應運而生．這種教學模式不僅引導學生主動建構(gòu)基礎知識與基本技能，還注重不同知識結(jié)構(gòu)元素之間的關(guān)聯(lián)，這是發(fā)展學生學力的重要途徑.“數(shù)列”作為高中數(shù)學的基礎內(nèi)容，與函數(shù)、集合等知識存在緊密的內(nèi)在聯(lián)系．注重數(shù)列與這些知識的貫通，能夠幫助學生將原本碎片化的數(shù)列知識提升為系統(tǒng)的能力素養(yǎng)，使其具備從實際情境中主動發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力，進而構(gòu)建新的認知結(jié)構(gòu)，推動數(shù)學學科核心素養(yǎng)真正落地.

“建構(gòu)一連通”的意義

布魯納認為，課堂學習是將學生認知結(jié)構(gòu)中原有的認知進行重新整理與歸納，以揭示事物間的聯(lián)系．該理念強調(diào)了學科學習的關(guān)聯(lián)性、整體性與系統(tǒng)性等特征．在這種理念的啟迪下，教師注重數(shù)學課堂的建構(gòu)與連通，能讓學生在探究中發(fā)現(xiàn)數(shù)學本質(zhì)，為結(jié)構(gòu)化教學夯實基礎.學生在“建構(gòu)一連通\"的背景下，逐步學會用發(fā)展的眼光觀察世界，從連通的維度體會知識間的內(nèi)在關(guān)系，進而形成良好的思維習慣，為發(fā)展核心素養(yǎng)創(chuàng)造條件.

教學過程簡錄

1.連通數(shù)列與函數(shù)“數(shù)列\(zhòng)"本身屬于函數(shù)的范疇.在新知授課環(huán)節(jié)，教師可引導學生結(jié)合函數(shù)的研究過程，運用類比思想探究數(shù)列相關(guān)問題.相較于一般函數(shù)，數(shù)列具有特殊性：其圖象上的點呈離散分布，定義域為正整數(shù)集或它的有限子集.關(guān)于數(shù)列的表示與應用，除了學生熟悉的列表法、圖象法、解析法之外，還可借助遞推公式解決問題，從本質(zhì)上講，一些具有遞推規(guī)律的數(shù)學模型能夠用數(shù)列來刻畫．為驗證這一觀點，教師設計以下問題，與學生共同探索.

問題1明確數(shù)列 {a_n} 為各項都是正數(shù)的等比數(shù)列，等差數(shù)列 {b_n} 的公差非0，同時確定 a₂=b₂，a₈=b₈ ，那么下列選項正確的是（ ）

A a₆gt;b₆ B. a_ss （204號 C. a₄4 （204號 D. a₅=b₅ （2

思路1根據(jù)數(shù)列 {a_n} 的各項都是正數(shù)， {b_n} 的公差非0，可得 ?a₂=b₂gt; 0，a₈=b₈gt;0 ，同時 b₂≠b₈（a₂≠a₈） ，因此 .根據(jù) a+amp;，可得a≤b，當且僅當a=時，等號成立．然而， a₂≠a₈ ，因此 a₅5.

那么，選項A，C正確與否呢？可從基本量法著手分析．設 q（qgt;0） 為數(shù)列 {a_n} 的公比， d（d≠0） 為數(shù)列 {b_n} 的公差，則 （204號 因為 a₄-b₄=a₂q²-（b₂+2d）= （1-92）2（g2+2）lt;0，所以a ，所以a₆6.

綜上所述，本題的正確選項為B，C.

思路2根據(jù)函數(shù)和數(shù)列之間的聯(lián)系，在公差不為0的情況下，關(guān)于 n 的等差數(shù)列與等比數(shù)列的圖象分別在 n=2 與 n=8 的位置相交.通過對圖象的觀察，可以確定無論函數(shù)遞增或遞減，均有 a_nn（3?n?7，n∈N^*） ，因此可以確定本題的正確選項為B，C.

評析遇到這一類問題，大部分學生會首選“作差法”來比較大小．這種方法雖然原理易懂，但對計算能力要求較高，需要學生具備較強的代數(shù)式變形技能．在實際解題過程中，不少使用這種方法的學生因復雜計算而中途放棄.

從函數(shù)圖象與數(shù)列特性來分析，運用函數(shù)思想處理數(shù)列問題可從以下幾個方面入手： ① 將數(shù)列的最大項問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大值問題進行探究； ② 把數(shù)列通項的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題進行思考；③ 將單調(diào)數(shù)列或周期數(shù)列分別對應為單調(diào)函數(shù)或周期函數(shù)進行分析.簡而言之，通過將函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象等與數(shù)列知識有機融合，將兩者緊密關(guān)聯(lián)、互相轉(zhuǎn)化，能夠?qū)崿F(xiàn)知識的“建構(gòu)一連通”，完善學生的認知結(jié)構(gòu)，提升學生的解題能力，促進學生數(shù)學思維的發(fā)展.

問題2已知 a_n=n²+λn（n∈N^*） 為數(shù)列 {a_n} 的通項公式，如果數(shù)列 {a_n} 具備單調(diào)遞增的趨勢，那么實數(shù) λ 的取值范圍是什么？

思路1根據(jù)數(shù)列 {a_n} 單調(diào)遞增的條件，可確定 a_nn+1 必然成立，也就是 n²+λnlt;（n+1）²+λ（n+1） .經(jīng)整理，確定 λgt;-2n? -1必然成立．因為 ，所以 λgt;-3.

思路2根據(jù) ，可知 為其對稱軸．根據(jù)數(shù)列 {a_n} 單調(diào)遞增，且 n?1 的條件，可確定- 是成立的.經(jīng)解答，可得λ?-2.

評析第一種解題思路是從數(shù)列單調(diào)性的概念著手，獲得了正確結(jié)論；第二種解題思路是從二次函數(shù)的單調(diào)性著手，卻得到了錯誤結(jié)論．深入剖析第二種解法出錯的原因，發(fā)現(xiàn)是因為學生沒有注意到數(shù)列的特殊性．實際上，從函數(shù)單調(diào)性的角度分析和解決數(shù)列單調(diào)性相關(guān)問題是一種有效的思路，但不能忽視數(shù)列單調(diào)性的特殊性，這是正確解題的關(guān)鍵所在．從圖象的角度來看，由于數(shù)列的圖象是對應函數(shù)的圖象上的離散點，因此數(shù)列的單調(diào)性與對應函數(shù)的單調(diào)性不一定完全相同．在研究數(shù)列{a_n} 的單調(diào)性時，重點在于分析 與a_n+1 的大小，而區(qū)間上的性質(zhì)可以暫時忽略.本題僅需保證 ?a₂gt;a₁ ，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，僅需確定數(shù)列圖象的對稱軸處于直線 的左側(cè)即可，因此 ，解得 λgt;-3.

設計意圖將數(shù)列與函數(shù)進行深度比較，不僅能讓學生學會從函數(shù)的視角理解數(shù)列的特點，還能進一步揭示數(shù)列的本質(zhì)．學生通過在離散現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)連續(xù)現(xiàn)象，從而進一步豐富對函數(shù)的認識，獲得從函數(shù)視角觀察與思考數(shù)列相關(guān)問題的能力，起到發(fā)散思維的作用，實現(xiàn)知識的連通，為發(fā)展核心素養(yǎng)奠定基礎.

2.連通數(shù)列與集合

數(shù)列是按一定順序排列的一列數(shù).在表示形式上，數(shù)列雖然也使用大括號（如 {a_n} ），這與集合的表示符號相似，但它并不是集合，因為數(shù)列的項與項之間存在確定的排列規(guī)律，且允許出現(xiàn)重復的項；而集合中的元素具有無序性和互異性，即同一集合內(nèi)每個元素僅出現(xiàn)一次，元素位置可任意調(diào)換，這與數(shù)列中項的有序性形成鮮明對比．為幫助學生深入理解數(shù)列與集合的本質(zhì)差異，在課堂教學中，可通過以下問題進行引導分析.

問題3已知集合 A={x∣x=4n-3 ，n∈N^*} B={x|x=3^n-1，n∈N^*} ，將集合A∪B 內(nèi)的各個元素由小到大排列，可以組成新的數(shù)列 {a_n} ，那么 a₂ 是多少？數(shù)列 {a_n} 的前50項與 的值分別是多少？

師生共同分析，獲得數(shù)列 {a_n} 的前

50項分別是1，3，5，9，13，17，21， 27+3=4590 （過程略）.

評析將集合作為探索數(shù)列的背景，主要是為了考查學生對數(shù)列概念、通項公式、前 n 項和公式等知識的理解，同時強化學生對集合元素無序性與互異性的認知．在解題過程中，項的重復性是核心考量因素，而從函數(shù)視角分析數(shù)列，不僅能簡化解題步驟，還能幫助學生構(gòu)建知識體系間的聯(lián)系，實現(xiàn)思維的融會貫通.

問題4集合 A={x∣x=2k-1，k∈ N^*} Φ^*}Φ_{，B={x∣x=8k-8，k∈N^*}} ，從集合A內(nèi)提取 m 個元素（不重復），將這些元素的和記作S；再從集合B內(nèi)提出 n 個元素（不重復），將它們的和記作 T. 明確S+T?967 ，那么 2n+m 的最大值是多少？

思路想要取得 2n+m 的最大值，需研究在 S+T?967 的條件下相加的項最多、相加的項最小的情況，因此需分別到兩個集合內(nèi)提取最小元素，并將這些元素按照由小到大的順序排列．從集合A內(nèi)提取的 ψ_m 個元素可形成首項為1，公差為2的等差數(shù)列；從集合B內(nèi)提出的 n 個元素可形成首項為0，公差為8的等差數(shù)列．因此， S= 4n²-4n 所以， m²+4n²-4n≤967. 通過配方可得 （2n-1）²+m²≤968 ，基本不等式可得 因此（2n+m-1）2 經(jīng)整理，得2n+m-1?44 ，也就是 2n+m?45 當且僅當m=2n-1=22，即n=23， 等號成立．但 m=22 與條件不相符.在探索 2n+m=44 時，取得 n=11 m=22 ，與條件相符．由此明確44為2n+m 的最大值.

評析在集合的背景下引導學生對數(shù)列的定義、等差數(shù)列的前 項和公式等展開探索分析，不僅實現(xiàn)了知識的有機融合，幫助學生構(gòu)建完整的解題思路框架，還促使學生主動發(fā)現(xiàn)知識間的內(nèi)在關(guān)系，實現(xiàn)知識與方法的連通，有效提升了學生的數(shù)學解題能力．此外，本題還可以從解析幾何與三角函數(shù)等維度進行探究.

設計意圖建立數(shù)列與集合的連通，主要是為了進一步夯實學生的知識基礎，促使學生主動實現(xiàn)知識的建構(gòu)與遷移，為培養(yǎng)學生的數(shù)學邏輯推理、空間想象、抽象概括等能力創(chuàng)造有利條件.

思考與感悟

1.建立知識間的關(guān)聯(lián)是揭示數(shù)學本質(zhì)的基礎

新課標關(guān)于數(shù)列部分的教學要求是引導學生感受數(shù)列與函數(shù)的異同，通過學習體會數(shù)學的整體性特征.這一要求不僅強調(diào)了數(shù)列與函數(shù)之間存在著緊密聯(lián)系，還明確指出需運用整體觀念觀察和思考問題，通過不同知識的連通構(gòu)建完整的認知結(jié)構(gòu).在本節(jié)課中，教師依據(jù)新課標要求，分別探究了數(shù)列與函數(shù)、集合的關(guān)聯(lián)，引導學生在解決不同問題的過程中，深入體會數(shù)列是一種特殊的函數(shù).學生認識到函數(shù)具備的性質(zhì)數(shù)列同樣具有，并且數(shù)列是對應函數(shù)的局部體現(xiàn)．這些新認知促使學生重新審視自身原有的認知結(jié)構(gòu)，進一步理解數(shù)列是刻畫具有遞推規(guī)律事物的基本數(shù)學模型.這一教學實踐不僅凸顯了指向“建構(gòu)一連通\"的教育新形態(tài)是促進深度學習的有效途徑之一，還對揭示數(shù)學本質(zhì)具有重要意義.

2.促進認知的連通是提升探究能力的途徑

《教育大辭典》將人的認知解釋為在意識水平上對表象與思想的加工.從建構(gòu)主義理論視角來看，人的認知發(fā)展是一個循序漸進的過程，新認知的形成往往建立在原有認知經(jīng)驗的基礎之上．新課標背景下的數(shù)學教學，不僅是知識與方法的傳授，更重要的是促進學生認知水平的提升與思維能力的發(fā)展，而這些正是推動學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)發(fā)展的基石．在本節(jié)課中，盡管探索的核心問題數(shù)量有限，但每個問題都充分關(guān)注學生已有的認知經(jīng)驗與新知識之間的聯(lián)系，引導學生主動構(gòu)建新舊知識的關(guān)系，實現(xiàn)認知的連通，培養(yǎng)學生良好的探究能力，為發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)奠定堅實基礎

3.“建構(gòu)一連通\"是教育的新樣態(tài)

在萬物互聯(lián)的時代背景下，人類的教育理念正經(jīng)歷著深刻變革．中國基礎教育領(lǐng)域尤為顯著，傳統(tǒng)以“教\"為中心的教學模式，曾受固化教育理念影響，在新課改浪潮沖擊下，逐步被多元化的創(chuàng)新教學手段所取代.盡管新型教學理念層出不窮，但其內(nèi)核始終圍繞“以學生為中心\"展開.其中，“建構(gòu)一連通\"教育模式以其創(chuàng)新性與時代適應性脫穎而出，不僅契合教育高質(zhì)量發(fā)展的核心訴求，更為數(shù)學教學實踐提供了兼具理論深度與實踐價值的方法論支撐，因而具有極高的推廣價值與研究意義，

綜上所述，構(gòu)建“建構(gòu)一連通\"教育形態(tài)，既是順應時代發(fā)展的必然選擇，也是新時代賦予教育工作者的重要使命，對于全面提升學生綜合素養(yǎng)與核心能力具有不可替代的現(xiàn)實意義.