淺談“聯(lián)想思維”在高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)列是高考重要考點(diǎn)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)，其在教學(xué)中的地位不言而喻．在高三二輪復(fù)習(xí)時(shí)，教師開展專題訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提升解題能力十分必要.筆者以“等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷與證明\"為專題開展復(fù)習(xí)，通過專項(xiàng)訓(xùn)練鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，完善知識(shí)體系，提高綜合能力與素養(yǎng).

教學(xué)過程

1.課前測(cè)試，鞏固知識(shí)

為檢測(cè)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，鞏固和強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，教師在課前給出如下練習(xí)：

（1）已知數(shù)列 {a_n} 是首項(xiàng)為2，公 差為2的等差數(shù)列，若 ， 求證：數(shù)列 {b_n} 是等比數(shù)列

（2）已知數(shù)列 {a_n}，{b_n} 分別為公 比 和q Ψ（p≠q，n∈N^*） 的等比數(shù)列，若 {c_n} 滿足 c_n=a_n+b_n ，求證：數(shù)列 {c_n} 不 是等比數(shù)列.

（3）設(shè)數(shù)列 {a_n} 的前 Φ_n 項(xiàng)和為 S_n 若 與 a₁ 的等差中項(xiàng)是 ，求證：數(shù)列 {a_n} 是等差數(shù)列.

（4）等差數(shù)列 {a_n} 的公差為 d ，前 n 項(xiàng)和為 S_n ，若 ?dgt;0 ，且滿足 a₂a₄=65 ， a₁+a₅=18.

① 求數(shù)列 {a_n} 的通項(xiàng)公式；

② 是否存在常數(shù) ?k ，可使得數(shù)列 為等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的常數(shù) ;若不存在，請(qǐng)給出你的理由.

課上，教師點(diǎn)名讓學(xué)生解答題目，針對(duì)學(xué)生暴露出來的問題查缺補(bǔ)漏，以此完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)．鑒于高三復(fù)習(xí)時(shí)間緊、任務(wù)重，教師合理安排時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生在課前以小組合作的方式分析錯(cuò)誤、提煉方法，防止復(fù)習(xí)進(jìn)度受阻，從而提升二輪復(fù)習(xí)效果.

2.方法聯(lián)想，形成策略

師：課前測(cè)試我們重點(diǎn)研究了哪幾類問題？

生1;重點(diǎn)研究了兩類問題：其一，等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明;其二，探索等差數(shù)列或等比數(shù)列成立的條件.

師：很好！對(duì)于等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明，我們可以采用哪些方法呢？

生2：證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，常用的方法是定義法和等差中項(xiàng)法.與等差數(shù)列相類比，證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，可以應(yīng)用定義法和等比中項(xiàng)法

師：非常好！那我們?cè)撊绾翁剿鞯炔顢?shù)列成立的條件呢？

生3：可以根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前3項(xiàng)，再結(jié)合等差數(shù)列的定義，利用這前3項(xiàng)求出參數(shù)，最后代入檢驗(yàn)

生4：還能設(shè)出等差數(shù)列通項(xiàng)公式的統(tǒng)一形式，依據(jù)已知條件求出參數(shù)，然后進(jìn)行驗(yàn)證.比如第（4）題，由① 得 S_n=2n²-n ，假設(shè)常數(shù) k 存在，不妨令 ，則 2n²+（k-1）n=a²n²+ 2abn+b² 對(duì)于任意 n∈N^* 恒成立，由此就能求出k值.

師：不錯(cuò)！此方法是解決此類問題的常用方法．對(duì)于等比數(shù)列，這種方法同樣適用，只不過由于等比數(shù)列求和公式比較復(fù)雜，實(shí)際應(yīng)用頻率不高.相比之下，更側(cè)重于先證明前3項(xiàng)是等比數(shù)列，然后求出相關(guān)參數(shù)再進(jìn)行驗(yàn)證.

設(shè)計(jì)意圖通過此環(huán)節(jié)，為學(xué)生創(chuàng)造提煉解題策略的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)他們歸納總結(jié)解決數(shù)列問題的通用方法，積累基礎(chǔ)解題經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與成績(jī)夯實(shí)根基.

3.舉一反三，提升能力

已知數(shù)列 {a_n} 是首項(xiàng)為1的正數(shù)數(shù)列，設(shè)數(shù)列 {a_n} 的前 項(xiàng)和為 S_n ，且（S_n+1+λ）a_n=（S_n+1）a_n+1 對(duì)于一切 n∈N^* 都成立.

（1）求證：當(dāng) λ=1 時(shí)，數(shù)列 {a_n} 是 等比數(shù)列.

（2）實(shí)數(shù) 為何值時(shí)，可以使數(shù)列{a_n} 為等差數(shù)列.

題目提出后，教師引導(dǎo)學(xué)生先獨(dú)立思考，然后聯(lián)系課前測(cè)試問題，找到合理的解題切入點(diǎn)，進(jìn)而構(gòu)建解題策略.

師：對(duì)于第（1）問，你想如何求解呢？

生5：將 λ=1 代人 （S_n+1+λ）a_n=（S_n+ 1）a_n+1 ，得 （S_n+1+1）a_n=（S_n+1）a_n+1 ，由此獲得數(shù)列和與項(xiàng)的關(guān)系，再通過遞推化簡(jiǎn)可得項(xiàng)與項(xiàng)的關(guān)系，問題迎刃而解

師：是個(gè)不錯(cuò)的想法．你們還有其他方法嗎？

生6：可以利用特殊值法求解.先通過計(jì)算得出數(shù)列的前3項(xiàng)；接著猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；最后驗(yàn)證通項(xiàng)公式

師：也不錯(cuò)，以上兩種方法是證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法.當(dāng)然，對(duì)于同一問題往往存在不同的解題策略.例如，將遞推式子 （S_n+1+1） ·an=（Sn+1）an+變形為 ，構(gòu)造常數(shù)列 得出 S_n+1=2a_n ，后面同理得證.課下大家可以繼續(xù)嘗試應(yīng)用不同的方法求解該題.

師：對(duì)于第（2）問，你想如何求解呢？生7：令 ?_n=1 ，得 a₂=1+λ ；令 ?_n=2 ，得

a₃=（1+λ）² 要使 {a_n} 為等差數(shù)列，必

須滿足 2a₂=a₁+a₃ ，解得 λ=0. （204號(hào)師：這樣就完整了嗎？生齊聲答：不完整，需要進(jìn)一步

驗(yàn)證.師：很好，誰來補(bǔ)充完整？生8：當(dāng)λ=0時(shí)，Sn+1an=（Sn+1）an+1，

且 a₂=a₁=1 當(dāng) n?2 時(shí)， S_n+1（S_n-S_n-1）=

（S_n+1）（S_n+1-S_n） ，整理得 則

化簡(jiǎn)得 S_n+1=S_n+1 ，所以 a_n+1=1 綜上所

述， a_n=1（n∈N^*） .所以，當(dāng) λ=0 時(shí)，數(shù)

列 {a_n} 是等差數(shù)列.

師：非常好！通過聯(lián)想課前測(cè)試問題中的相關(guān)解法，我們不僅找到了問題的突破口，還認(rèn)清了處理遞推式的常用方法本質(zhì)—將其轉(zhuǎn)化為等差（比）數(shù)列.

設(shè)計(jì)意圖通過探究典型例題，幫助學(xué)生進(jìn)一步梳理歸納數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前 項(xiàng)和公式；并借助一題多解，總結(jié)處理遞推式問題的方法，揭示不同方法的本質(zhì)，從而促進(jìn)學(xué)生知識(shí)深化與能力提升.

4.總結(jié)歸納，拓展提升

師：相信通過運(yùn)用聯(lián)想方法探究相關(guān)題目，大家對(duì)“等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷與證明”已有深刻認(rèn)識(shí)實(shí)際上，聯(lián)想方法不僅適用于數(shù)列問題，在數(shù)學(xué)的其他章節(jié)同樣存在類似的應(yīng)用.結(jié)合大家已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，你們能想到哪些類似的問題呢？

生9：在探索函數(shù)奇偶性成立的條件時(shí)，既可以利用定義法將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題進(jìn)行求解，也可以先用特值法求出參數(shù)，之后再進(jìn)行檢驗(yàn).而要證明一個(gè)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，只要舉出反例即可.

生10：在解析幾何中，對(duì)于定點(diǎn)定值這類問題，我們既可以從正面嚴(yán)格研究，也可以選取特殊位置求出參數(shù)，再代入原式進(jìn)行驗(yàn)證.

...

師：同學(xué)們說得非常好！有些數(shù)學(xué)問題表面上看似毫無關(guān)聯(lián)，但經(jīng)過深入分析，我們不難發(fā)現(xiàn)它們之間存在諸多共性.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，大家要突破單一知識(shí)點(diǎn)和單一章節(jié)的限制，善于運(yùn)用聯(lián)想思維去思考問題，構(gòu)建完整的知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通.

設(shè)計(jì)意圖教師通過引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用聯(lián)想思維，幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，拓寬學(xué)生的知識(shí)視野，培養(yǎng)學(xué)生思維的深度與廣度，助力學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)而提升學(xué)生分析和解決數(shù)學(xué)問題的綜合能力.

教學(xué)思考

在高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生時(shí)刻聯(lián)想已復(fù)習(xí)的知識(shí)內(nèi)容.這樣不僅可以有效避免因復(fù)習(xí)周期過長(zhǎng)而引發(fā)的遺忘問題，還能通過類比聯(lián)想，助力學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生在解題時(shí)能夠靈活調(diào)用知識(shí)，切實(shí)提高數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.值得注意的是，這種聯(lián)想不僅包括同一專題內(nèi)的相似聯(lián)想，還涵蓋不同章節(jié)間的方法聯(lián)想.在教學(xué)實(shí)踐中，教師可通過創(chuàng)設(shè)有效問題情境啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想，以此拓寬知識(shí)廣度，深化數(shù)學(xué)思維深度，有效提升學(xué)生的知識(shí)遷移應(yīng)用能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

此外，在二輪復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師需合理把控教學(xué)節(jié)奏，切忌因追求進(jìn)度而讓學(xué)生回回吞棗，進(jìn)而影響整體復(fù)習(xí)效果.在實(shí)際教學(xué)過程中，教師應(yīng)給予學(xué)生充分的思考時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)所思所想，從而激發(fā)思維活力，提升思維品質(zhì)，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展

總之，在二輪復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師需深入研究教學(xué)內(nèi)容，精心挑選典型例題，善于引導(dǎo)學(xué)生從多角度分析和解決問題，助力學(xué)生構(gòu)建完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，增強(qiáng)綜合應(yīng)用能力．同時(shí)，教師應(yīng)充分了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，創(chuàng)造多元課堂參與機(jī)會(huì)，指導(dǎo)學(xué)生開展知識(shí)聯(lián)想，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升.