基于“問題導學\"模式的高中數學課堂教學實踐

新課程背景下想要進一步提升課堂教學的有效性，教師不僅要重視學生對知識的掌握和運用，還要培養其綜合能力和個人素質，讓學生更好地適應高中數學學習，促進學生數學能力和思維能力的發展與提升[1因此，教師需要更新教學觀念、完善教學手段，創設情境并提出有效數學問題，引導學生思考交流以激發學習積極性，培養數學學科核心素養.筆者在“兩角差的余弦公式\"教學中，貫徹“以生為本\"理念，基于學生的最近發展區設問，讓學生自主分析解決問題，發揮主觀能動性以提升核心素養.

教材分析

兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是本章的重點內容.其中，兩角差的余弦公式是推導其他和（差）角公式的基礎，它不僅是正弦線、余弦線和誘導公式等知識的延伸，還對后續三角變換、三角恒等式的證明以及三角函數式的化簡起著重要的支撐作用.通過本章內容的學習，學生能夠在掌握三角恒等變換基本思想和方法的過程中，提升推理能力和運算能力，進而體會三角恒等變換的工具性作用.

學情分析

學生在初中階段已接觸正弦、余弦概念，熟練掌握特殊角的三角函數值，并對三角函數進行了初步研究；同時，學生已掌握向量的相關知識，這些內容為本節課學習奠定了基礎.不過，學生運用數學知識進行向量證明的能力相對薄弱．因此，教學中應注重引導學生經歷運用向量數量積推導兩角差的余弦公式的過程，以此培養學生的數學運算、邏輯推理等核心素養.

教學過程

1.創設情境，提出問題

問題情境：如圖1所示，在地面上有一個點A，測得 _?AC 為150米，從點A觀測電視發射塔的視角， （∠DAC） 為45^° ，觀測電視發射塔的仰角（ （∠DAB） （204號為 60^° ，求點A到電視發射塔的水平距離（AB的長度）.

圖1

問題給出后，教師預留時間讓學生自主思考，然后鼓勵學生進行交流

師：誰來說一說，根據已知條件，你想如何解決這個問題呢？

生1：因為c 所以

AB=AC?cos（∠DAB-∠DAC）=AC cos （60^°-45^°） .又 _AC 已知，因此只要知道co s（60^°-45^°）， 的值，問題即可迎刃而解.

師：非常好.根據已有知識和經驗，如何求co s（60^°-45^°） 呢？

生2：等于

師：非常好的問題，請大家用計算器算一算，看看 cos（60^°-45^°） 是否等于 cos60^°-cos45^°

學生通過思考、驗證，發現cos（ 45^° 與 cos60^°-cos45^° 并不相等.

師：這就是我們今天要探究的主題——兩角差的余弦公式.

設計意圖教師從生活實際出發，讓學生體會探索兩角差的余弦公式的重要性，激發學生的探究熱情.在此過程中，教師通過鼓勵學生猜想，引發認知沖突，進一步激發學生的探究欲，以此發展學生的創新能力和探究能力.

2.合作探究，解決問題

師：如何求 cos（α-β） 呢？其與 ^α，β 的正弦、余弦值有什么關系？

（學生不知所措）

師：聯系單位圓上的三角函數線，說說你的發現.

為了讓學生更順利地參與其中，教師出示以下問題：

（1）怎樣作出角 α，β，α. -β的終邊？（2）怎樣作出角 α -β的余弦線以及 α ，β的正弦線和余弦線？（3）怎樣利用幾何直觀尋求角 α- β的余弦線的表達式？

在問題的指引下，學生給出圖2所示的圖形，借助圖形獲得兩角差的余弦公式.

圖2

設計意圖將抽象問題直觀化，復雜問題簡單化，引導學生在問題驅動下，借助幾何直觀探究并推導兩角差的余弦公式．通過直觀視角深化對兩角差余弦公式結構特征的理解，進而培養和發展學生的直觀想象核心素養.

師：如果取 α，β 為任意角，該公式是否仍然成立？是否依然可以用三角函數線進行推導呢？

設計意圖學生在教師的引導下嘗試選擇其他象限的角繼續推導公式．雖然該方法可行，但推導過程比較煩瑣，需要耗費較長時間，由此為后續引入其他方法埋下了伏筆.

師：從公式結構來看，好像與向量的數量積存在一定的聯系．那么，能否用向量法進行證明呢？

為了順利探究這一問題，教師引導學生首先思考 （α，β，α -β的范圍，明確需要分兩種情況進行推導： ①α- β∈（0，π）;②α-β∈（0，π）.

師：請大家以小組為單位，首先證明當 α-β∈（0，π） 時，兩角差的余弦公式.

同樣，為了讓學生更好地解決這一問題，教師提出如下問題：

① 設角 α，β 的終邊與單位圓分別相交于A， B 兩點，則A， B 兩點的坐標分別是什么？

② 向量OA，OB的坐標是什么？

③ 向量 ，OB的數量積用定義和用坐標如何運算？你能得到什么？

師：以上探究的 α-β∈（0，π） ，與向量夾角的范圍相符合，自然能列出表達式 _β） .但是，若 呢？你又能

得到什么？

這樣在問題的引導下，學生證明了兩角差的余弦公式.

該問題具有一定難度，需要教師帶領學生共同完成.教師利用幾何畫板展示圖4，從圖中可以明顯看出，此時 α-β 不在向量OA，OB夾角的范圍內，而是在其夾角的補角范圍內．分析至此，學生給出如下推導過程：設 ，OB的夾角為 θ ，則 θ+（α-β）=2kπ cos[2kπ-（α-β）]=cos（α-β） 綜上，對于任意角 α，β ，都有 cos（α-β）=cosαcosβ+ sinasinβ.

圖3

圖4

設計意圖依據知識的聯系性提出問題，引導學生利用向量的數量積證明兩角差的余弦公式，一方面讓學生體會向量作為數學工具的重要作用，另一方面發展學生的邏輯推理和直觀想象素養，提升學生的關鍵能力.

3.拓展應用，提升能力

師：回顧情境問題，你能求出AB的長度嗎？

生（眾）：能.

設計意圖教師引導學生回顧情境問題，體會用新知解決實際問題的意義．在此過程中，教師注重滲透轉化的數學思想方法，以此提升學生靈活運用知識解決問題的能力.

師：結合新知，你能解決以下問題嗎？ （教師用PPT出示問題）

例題：已知 cos（α- β_， ）

問題給出后，學生獨立求解，教師展示學生的求解過程，以及規范的解答過程.例題順利求解后，教師改

編例題：

變式1：若去掉 ，這一條件，結果是否會發生變化？

變式2：將 改為 求cosa.

設計意圖通過習題訓練強化公式應用，引導學生體會分類討論、轉化等數學思想方法在解題中的運用，進而培養學生邏輯推理、數學運算等核心素養.

4.課堂小結，升華認知

師：通過本節課的學習，你有哪些收獲？

教師鼓勵學生從知識、思想方法等方面進行歸納總結.

設計意圖通過課堂小結系統回顧本節課所學內容，幫助學生深化對相關知識的理解，提升歸納概括能力，逐步完善知識體系.

教學思考

本節課以問題為主線，采用“創設情境—提出問題—探索嘗試一解決問題\"的教學策略，引導學生經歷知識形成過程，幫助其理解兩角差的余弦公式，提煉公式推導的一般方法，進而為后續其他公式的推導奠定基礎．在課堂教學中，為提升學生的數學學科核心素養，教師應著重關注以下兩點：

1.學生的主體性

隨著新課改的不斷深入，課堂教學越來越關注學生的主體性.在教學中，為充分調動學生參與課堂的主體性，教師應深人了解學生，從學生的最近發展區出發，結合教學內容提出有效問題，讓學生在問題引領下主動解決問題.通過經歷問題解決過程，幫助學生深刻理解知識，提高分析和解決問題的能力，培養數學學科核心素養.

2.知識的聯系性

學習是在原有知識和經驗基礎上的一種建構．在教學中，教師應當從全局視角出發，關注知識間的內在聯系，引導學生運用已有知識和經驗解決新問題，進而提升學生綜合運用知識解決問題的能力，發展數學學科核心素養.例如，在本節課教學中，教師引導學生借助正弦線、余弦線、向量數量積等已有知識探究兩角差的余弦公式，使學生充分體會知識間的內在聯系，培養自主探究能力.

總之，在高中數學教學中，教師需要深入鉆研教學內容與教材，創設適宜的教學情境，提出恰當的問題，引領學生經歷知識產生、形成與應用的完整過程．如此一來，既能幫助學生扎實了解相關知識，又能使其掌握數學研究方法，有效發展數學學科核心素養.

參考文獻：

[1］葉能英.高中數學教學中學生核心素養培養策略探究［J].課堂內外（高中版），2024（5）：37-39.