數學文化融入高中數學課堂教學實踐研究

數學文化是數學知識的靈魂，它在數學的發展、完善和應用過程中逐漸形成，包含數學思想、精神、方法、觀點及其形成過程.在日常教學中，教師應將數學文化滲透進數學教學過程中，以此培養學生數學學習興趣，豐富課堂教學內容，讓學生在學習過程中受到文化感染，產生文化共鳴，從而提升課堂教學質量和學習品質[1]將數學文化融入高中數學課堂教學，不僅有助于充分發揮數學學科的教育功能，還能讓學生更清晰地把握數學知識的發展脈絡，感受抽象知識背后蘊含的智慧思想與人文情懷.這既能拉近數學與學生的距離，也能讓學生認識到：數學知識的積累與問題的解決，本質上是數學思想方法的運用過程，而數學文化恰似肉體的靈魂，在其中發揮著不可替代的作用．此外，在數學課堂中融入數學文化，并非單純地講述文化故事，其追求的應是自然且深入的有機融合.

在教學“等比數列前 項和\"時，筆者不是直接將相關結論及其推導方法告知學生，而是從數學文化的視角出發，將數學史融入課堂教學，重視呈現知識自然發生、發展的過程，以此讓學生認清數學的本質，促進知識的內化，提高學生分析和解決問題的能力.

教學過程設計

1.創設情境，誘發探究

情境1一農場主將一塊地租給農戶耕種，第一年收取租金1元，第二年收取租金2元，第三年收取租金4元，租金金額依次倍增，若租種15年，該農戶共需支付多少租金？

師：結合以上情境可知，每年的租金構成一個等比數列，其和為S15=1+2+2²+2³+…+2¹⁴ ，如何求和呢？

生 1：S₁=1=2-1，S₂=3=2²-1，S₃=7= 2³-1，… ，由此猜想 S₁₅=2¹⁵-1

師：很好，從特殊出發，得到猜想.還有其他方法嗎？

生 2：1+1=2，2+2=2²，2²+2²=2³，2³+ 2³=2⁴，…，2¹⁴+2¹⁴=2¹⁵ ，逐漸累加，整理得 ：S₁₅=1+1+2+2²+…+2¹⁴-1=2¹⁵-1. （2

生3：結合生2的研究方法，可以這樣求解： S₁₅=1+2+2²+2³+…+2¹⁴+2¹⁵- 2¹⁵=1+2（1+2+2²+2³+…+2¹⁴）-2¹⁵ ，即 S₁₅= 1+2S₁₅-2¹⁵ ，解得 S₁₅=2¹⁵-1 業

設計意圖從生活實例出發，一方面展示研究等比數列前 項和的必要性，另一方面引導學生運用從特殊到一般的思想方法提出猜想，從而提升學生觀察、分析和解決問題的能力．這里的情境創設不僅服務于數學知識的建構，客觀上也有助于學生體會數學文化.情境中融合生活元素與數學元素，能夠讓學生認識到數學與生活密不可分—數學的發展源于生活需求，同時又推動生活產生新的需求．學生在這樣的情境中，能夠感受到數學服務生活的價值，以及生活中數學缺位帶來的局限性．高中生已具備相應的認知能力，教師在教學中若能從數學文化角度給予適當啟發，學生便能展開深入思考．因此，所創設的情境客觀上可成為本節課教學中數學文化生長的土壤.

情境2我國《孫子算經》中記載著這樣一道有趣的數學題：今有出門望見九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色．問各幾何？共幾何？

師：結合以上情境，你有什么發現？

生4：堤岸、樹木、樹枝、鳥巢、大鳥、小鳥、羽毛、毛色構成一個等比數列，其和為 S₈=9+9²+9³+…+9⁷.

師：怎么求呢？

學生結合情境1的研究經驗，仿照生3的解法順利求解.在此基礎上，教師順勢追問：已知等比數列{a_n} ，其首項為 a₁ ，公比為 q ，其前 項和是多少？該如何計算？

設計意圖通過經典問題作為情境導入，使學生在學習中受到文化感染，產生文化共鳴，將抽象、枯燥的數學知識變得生動有趣，以此激發學生的探究欲．這一情境中的元素與數學文化直接關聯，作為我國古代數學領域的重要文獻，其記載的數學題兼具寫實與寫意的意味．當學生運用數列知識解決該問題時，便能形成良好的數學學習體驗：明白抽象的數學知識能夠解決實際問題．實際問題可滿足學生的直接興趣，而抽象數學知識所展現的解釋功能，更體現出基于邏輯的數學魅力．當學生獲得這樣的體驗與收獲，數學文化的種子便

會破土而出.

2.探索發現，生成公式

師：大家得到等比數列的前 項和為 S_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1 ，你是如何計算的呢？

生5 ：S_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1+ a₁qⁿ-a₁qⁿ=a₁+q（a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1）- a₁qⁿ ，即 S_n=a₁+qS_n-a₁qⁿ ，解得 S_n=

師：很好，結合之前的解法，通過構造S得到了等比數列的前 項和公式.觀察一下 ，是否有需要補充的呢？

生6：這里 ，若 ，則

設計意圖通過與之前的解法相類比，推導出等比數列的前 n 項和公式，滲透從特殊到一般、類比、方程等數學思想方法．學生在這一學習過程中的體驗主要源于數學思想方法.無論是從特殊到一般的思維路徑，還是類比與方程的靈活運用，都揭示了一個客觀事實：數學問題的解決雖依托數學知識，但選擇何種知識解決具體問題，實則取決于數學思想方法的指引．這原本是數學教學中的常識，然而在許多課堂上，學生卻難以感知其重要性，這反映出傳統高中數學教學的不足．意識到這一不足，并引導學生更充分地體驗數學思想方法的運用，實際上是為數學文化的融入注入養分，有助于數學文化在日常課堂中生根發芽、茁壯成長.

師：我們通過添加項，運用方程思想方法推導出了等比數列的前 項和公式．那么，如果不添加項，能否直接求和呢？（教師預留時間，讓學生思考、實踐、交流．）

生 7：S_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1=a₁+ q（a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-2）=a₁+qS_n-1. （204

師： S_n-1 又該如何處理呢？

生7：當 n≥2 2時， S_n=S_n-1+a_n ，即 S_n-a_n ，將其代人 S_n=a₁+qS_n-1 ，得 S_n=a₁+ q（S-an），由此推導出S= （204號 （q≠1） ：

師：非常好，這種“提取因式法”的推導過程通俗易懂，極具數學美感

設計意圖從學生視角出發，引導挖掘 S_n 與 S_n-1 之間的內在聯系，用“提取因式法\"推導出等比數列的前 項和.在學生完成推導過程后，教師點明該方法不僅通俗易懂，還極具數學美感，以此提升學生的數學學習信∴ ，增強其學習興趣.

師：換一個思路，如果從等比數列的定義出發，結合合分比定理，你又有什么發現呢？（教師讓學生以小組為單位，換一個思路繼續推導等比數列前 項和公式．）

生8：根據等比數列的定義可知 an，由合分比定理可得 ，即 q ，整理得

師：很好，古希臘數學家歐幾里得的《幾何原本》中有該種方法的詳細推導過程.（教師通過PPT展示《幾何原本》中記載的推導過程.學生通過對比分析發現，雖然該推導過程與生8給出的推導過程有所不同，但是本質相同，有異曲同工之妙.）

師：剛剛我們用不同方法推導出了等比數列的前 Φ_n 項和公式.類比等差數列前 項和公式的推導方法，大家想想，是否還有其他推導方法呢？

師：我們之前是用什么方法推導出等差數列前 ?_n 項和的？

生齊聲答：倒序相加法，師：倒序相加法的本質是什么？生9：利用數列的對稱性，把正序排列的數列和倒序排列的數列相加，得到一個常數列的和，進而求出原數列的和.

師：非常好！利用倒序相加法，其目的就是通過倒序相加消除干擾項，從而簡化求和過程.那么，結合等比數列的性質，我們能否利用這種方法消除干擾項呢？

（學生利用倒序相加法嘗試推導，但發現此方法無法實現．）

師：大家發現了嗎？用倒序相加法，無論怎么求和，都無法消除干擾項.那么，有沒有其他更好的方法，能達到消除干擾項的目的呢？

生10：可以嘗試構造一個等式，讓它和原等式有很多重復的項，通過作差來簡化計算

師：不錯的思路！那么，具體如何構造呢？

生 ?10：S_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1① 在等式 ① 的左右兩邊同時乘上公比q ，則 qS_n=a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁qⁿ② ，這樣等式 ② 中就出現了許多與等式 ① 相同的項.由①-②，得（1-q）Sn=a-aq，所以s=a（1-q\"）

師：非常好，大家的想法與瑞士數學家歐拉不謀而合，這種方法被稱為錯位相減法.

設計意圖引導學生類比等差數列的推導過程，通過深入探究，讓學生明確消項是數列求和的基本方法.學生在掌握這一基本方法后，根據等式的結構特征，自然想到在等式兩邊同時乘上公比 q ，從而引出錯位相減法．在此過程中，沒有刻意引導，而是從學生已有的知識和經驗出發，讓學生逐步領悟問題的本質，使問題的解決自然流暢，這有利于激發學生的學習興趣，深化知識理解．尤其值得關注的一個教學細節是，教師在評價時將學生的想法與數學家的想法相結合，這不僅是對學生學習過程的肯定，還能將數學家的思想方法融入學生的思維中．這在客觀上能增強學生的學習成就感，同時也讓數學文化內涵融入學生的數學學習過程．如果說前面的教學引導能讓數學文化落地生根，那么這樣的課堂教學實踐實際上就是在讓數學文化開花結果.

師：結合生10的推導過程，你還能找到其他推導方法嗎？

生11：也可以在等式兩邊同時乘上\"-q”，通過累加法進行推導.

生12：還可以在等式兩邊同時除以“q”，這樣也能構造出許多相同的項.

師：非常好，同學們探索出來的方法雖然形式不同，但本質一致.這說明只要我們能認清問題的本質，那么問題即可迎刃而解.

設計意圖在“錯位相減法”的基礎上，鼓勵學生嘗試運用多種方法消項，以此加深學生對問題本質的理解，培養其思維的靈活性與深刻性.

3.應用公式，深化理解

例1在等比數列 {a_n} 中，已知 a₁= 6，q=2，a_n=192 ，求數列 {a_n} 的前 n 項和S

例2 在等比數列 {a_n} 中， ?a_n.

例3求 1+a+a²+a³+…+aⁿ（a≠0） 的和.

問題提出后，教師讓學生獨立解題．從學生的解題反饋來看，在求解例2、例3時，部分學生因忽視分類討論而出現了錯誤.教師及時捕捉并合理利用這些錯誤資源，引導學生分析錯因，從而強化他們對知識的理解

設計意圖通過問題解決，深化學生對等比數列前 項和公式的認識與理解，使其體會到在等比數列的五個量中，已知任意三個量即可求解另外兩個量．同時，在教學過程中，教師注重滲透分類討論的思想方法，培養學生的分類意識，進一步加深學生對等比數列前 項和公式的理解與應用.

4.總結歸納，升華認知

師：我們運用了哪些方法推導等比數列的前 項和公式？請結合推導過程及實際應用，談談你的收獲

設計意圖通過師生互動交流，幫助學生鞏固所學知識，提高學生歸納概括能力，提升學生的數學思維能力與核心素養.

教學思考

在數學教學中，教師應重視從數學文化視角出發，引導學生經歷數學知識形成與發展的過程.通過這種親身實踐，幫助學生理解公式內涵，認清數學本質，掌握推導方法，進而提升認知水平，發展數學能力，

在本節課教學中，教師著重滲透等比數列的發展史，通過創設合理問題情境，引導學生循著數學家的思維路徑進行思考與驗證.這一過程能讓學生體會到數學是一個不斷完善、持續發展的學科，啟發學生以發展的眼光看待數學問題，培養創新意識.

總之，數學文化在高中數學教學中占據著重要地位，將其融入日常數學課堂應成為教師的教學自覺.作為課堂教學的引領者，教師既要重視學生的主體地位，從“生本\"視角探尋數學文化的融入路徑，又要深入挖掘數學知識背后的文化背景，注重引導學生運用數學家的思維方式分析問題，使學生在獲取知識的過程中，掌握研究數學問題的方法，提高創新與實踐能力，發展數學學科核心素養.

參考文獻：

[1］覃淋，喻曉婷.HPM視角下“等比數列的前 項和公式\"的教學［J].中學數學研究，2023（4）：1-4.