“數學三個世界”理論指導下的教學實踐與探索

2004年，英國Warwick大學的DavidTall教授基于建構主義理論，融合信息、認知等科學理論，創立了一個新理論—數學三個世界.該理論研究的對象集中在中學生與大學生群體，并對該群體的認知層次進行了重新劃分，從科學的視角重新解釋學生認知發展的歷程．隨著新課改的深入推進，“減負增效\"是當下最熱門的話題，如何在“數學三個世界\"理論指導下設計高中數學課堂教學呢？為了探究這一主題，本研究以“函數的單調性\"教學為例，分別從如下幾個維度展開實踐與探索

“數學三個世界”的概述

1.基本結構

“數學三個世界\"由具體化世界、符號化世界與形式化世界構成．具體化世界以學生對世界的感知為基礎，通過反思，運用豐富的語言建構數學對象的概念，該世界中的數學學習對象具有具體、形象化特征.符號化世界一般以過程性操作為起點，借助符號應用，實現從“解題\"到“思考”的跨越．在符號化世界中，數學學習對象兼具符號過程與概念雙重特征：符號過程指對數學對象的具體操作過程，符號概念則是在操作基礎上進行抽象與概括而獲得的數學對象.形式化世界是學習者從自身視角對數學符號世界進行抽象，并通過證明等方法推導出形式化的定理或公理.

2.認知發展規律

“數學三個世界\"理論受認知發展理論的啟迪，認為人對事物的初步識別是學習最基本的能力．即通過辨析身邊事物，初步建構某種事物的模型，從而明確該事物與其他事物的區別.David Tall在闡述該理論中“前變量\"的作用時，引入建構主義理論，指出學習者原有的認知經驗會對后期的認知發展產生積極與消極的雙重影響.因此，在促進認知發展的過程中，需要重新梳理原有的認知經驗，盡可能汲取其中有益的部分.

如圖1所示，此為DavidTall闡述的學生認知形成與發展的過程[1．在教學過程中，教師遵循該結構圖所展示的認知發展規律實施教學，可起到事半功倍的教學成效.

教學分析

1.學情分析

學生在之前的學習中，已具備觀察圖象辨別函數增減性的能力，對“量\"與“量\"之間的關系也有所接觸但目前學生對函數圖象的認知仍以“形”為主，因此本節課的教學難點在于引導學生從本質上理解函數單調性中 x₁，x₂ “任意\"的含義．鑒于此階段學生的思維正處于經驗型邏輯思維階段，理解這部分內容確實存在一定難度.由于課堂教學內容涉及“常量和變量”“有限和無限”以及“靜止與運動\"等關系，因此需要從辯證的維度進行思考與探索.

圖1“數學三個世界\"理論下的認知發展圖

此外，該階段的學生在用符號表征函數單調性時也存在一定困難.學生習慣用直觀形象的語言描述函數圖象，如“由左向右，圖象逐漸上升或下降”，卻難以用精確的數學語言準確刻畫.本節課旨在引導學生運用嚴謹的數學符號語言刻畫函數變化的特征，理解如何用“任意性\"來闡述函數的變化規律.

2.教材分析

教材在編排教學內容時，基本遵循從“定性\"到“定量\"的原則.學生基于直觀想象形成猜想，再通過嚴謹的驗證將猜想納入認知體系．關于函數部分的編排，定性部分主要體現在函數圖象的直觀性上.學生通過觀察圖象的上升或下降，逐步過渡到對變量關系進行定量研究，并使用標準的數學符號語言進行刻畫．從定性描述到定量關系的刻畫過程中，將1 的增大\"以 Φ^?x₁2 ”來描述；關于 的運算，運算對象為x，x2，可將它們視為實數集內的兩個常量.一旦理清其中的數量關系，學生就能感知到“化無限為有限\"的過程，即將無限數值的比較轉化為有限數值的分析.

教學過程設計

1.情境創設，感知具體化世界情境1如圖2所示，一個小朋友正在樓梯上爬行，那么這個小朋友的位置隨著臺階的位置變化會如何改變？

圖2

函數的視角剖析這些變化規律，會有什么收獲呢？

情境2如圖3所示，此為某地某天24小時的氣溫變化圖，通過對該圖的觀察，可見溫度和時間之間存在怎樣的關系？

師：觀察圖3，氣溫圖涉及的量分別有哪些？這些量之間存在函數關系嗎？

生1：分別涉及時間與溫度兩個量，它們之間存在函數關系.

師：不錯，通過溫度曲線可見一天中的溫差不小，因此我們需要根據實際氣溫增減衣服.其實，在我們的生活中，還有很多類似的曲線問題請根據你們的認知，列舉一些實例.

生2：醫院內常見的心電圖、證券公司常見的股市走勢圖等.

設計意圖以生活實例作為課堂導入素材，可引發學生對函數性質的探索興趣．其中，小朋友爬樓的過程，為揭示函數的單調性奠定了基礎；氣溫變化情況比小朋友爬樓略微復雜一些．由淺入深的情境，為課堂教學做鋪墊.

師：非常好！這些有規律的曲線與我們的實際生活密切相關．基于

2.活動探究，感知符號化世界

探究1探索溫度變化情況分別與一次函數、二次函數圖象的關聯性，增強學生對函數增減性的認識.

師：觀察圖3，可見這一天中溫度變化趨勢是怎樣的？

生3：圖3表明，溫度從0點到7點呈現下降趨勢；7點到17點呈現上升趨勢；17點之后，又開始降溫.

師：通過之前的學習，我們都知道函數圖象屬于點的集合．當圖象由左向右出現逐漸上升或下降的趨勢時，與之對應的橫、縱坐標之間有什么關系？

生4：有兩種情況，一種是y隨x的增大而增大，還有一種是y隨 的增大而減小.前一種描述的是圖象呈上升趨勢，后一種描述的是圖象呈下降趨勢.

師：總結得非常好！這就是本節課我們要探索的主題——函數的單調性.接下來，請大家自主在草稿紙上畫出 y=2x+1，y=x²，y=-x+2 的圖象，觀察并分析各個圖象的特征

探究2基于變量的依存關系，從區間闡述函數的單調性特征

師：請大家基于區間的維度，分別描述以上三個函數的單調性.

生5：在區間 （-∞，+∞） 上，函數

圖3

2x+1 與函數 y=-x+2 分別呈現出單調遞增與單調遞減的趨勢；在區間（-∞，0） 上，函數 ?-x² 呈現出單調遞減的趨勢，但在區間 （0，+∞） 上，其呈現出單調遞增的趨勢.

師：看來不同函數在不同區間，呈現出的單調趨勢有所區別.

探究3基于定量的維度刻畫 ^a_y 隨 的增大而增大”

師：已知函數 f（x）=x² ，那么 f（1）lt; f（2） 是否成立？ f（2）2. 是增函數嗎？

生 6：f（1）2 是增函數.例如 ，而函數 f（x）=x² 在區間 （-1，2） 內并非增函數.

師：多取幾組值來分析呢？

學生通過取值，發現很多情況下都不能確定 f（x）=x² 為增函數．基于此，有學生萌生出取所有值的想法，然而這顯然是不切實際的．在師生積極互動的過程中，“化無限為有限”的思想方法被自然引出.

師：現在請大家用數學符號語言描述 f（x）=x² 在區間 （0，+∞） 內，y隨x的增大而增大.

生7： ?x₁，x₂∈（0，+∞） ，且 x₁2 則恒有 f（x₁）2）

師：很好！現在大家可否用數學 符號語言表征單調函數？

學生自主運用數學符號語言進行描述.在此基礎上，教師引導學生通過類比法探究減函數的概念．在師生積極互動中，學生不僅深化了對函數單調性定義的理解，還提升了語言表達與總結概括能力.

設計意圖通過探究活動的開展，引導學生由淺入深、循序漸進地理解函數單調性的概念，深刻認識其本質內涵．這種在已有知識基礎上構建的函數性質認知過程，幫助學生充分感知數學符號化世界的特點.此設計對于培養學生的數學抽象、邏輯推理、概括反思等核心能力具有重要意義，能夠有效促進學生數學素養的提升.

3.總結提煉，體驗形式化世界

思考1怎樣用不同的數學語言表征函數的單調性，剖析單調增函數與單調減函數的區別與聯系？

思考2可用什么方法研究函數的單調性？這種研究方法能否應用于其他函數性質的探索？

思考3本節課探索函數單調性分別涉及哪些數學思想方法？請舉例說明.

設計意圖形式化世界是基于符號化世界的總結、反思與提煉，即運用標準的數學符號語言表征核心知識，促使學生形成形式化的概念，必要時，可借助邏輯推理對公理體系進行形式化建構[2]．在此環節，教師通過三個思考問題啟發學生思維，為學生指明總結方向，使其在高度概括的基礎上抽象知識本質，提煉思想方法，構建完整的認知體系.

思考與感悟

1.“三個世界\"理論可拓展認知結構

從學生的認知發展規律來看，新知的建構與舊知緊密相關.如果將認知過程比作動態的網絡體系，那么各類信息便是網絡中的節點.“三個世界\"理論與學生的認知發展高度契合，基于該理論開展教學，能夠有效拓展學生的認知結構，使其在原有經驗基礎上開闊視野，深化對知識的理解，為知識應用筑牢根基.

在本節課授課前，教師深入分析教學情況與學生學情，梳理出學生認知體系中與本節課內容相關的知識點，為課堂教學做好鋪墊.課堂伊始，教師創設兩個符合學生認知水平的情境，充分調動學生學習興趣，引導學生自主建立新舊知識的聯系，為拓展認知結構、培養數學邏輯推理能力奠定基礎.

2.“三個世界\"理論可培養抽象素養

“基本活動經驗\"是“四基\"的重要組成部分.探究活動的開展，能夠豐富學生的學習體驗，促使學生在“做中學\"的過程中完善知識體系．特別是在新課標指導下的課堂教學，更應高度重視課堂探究的重要價值.

在本節課引導學生感知符號化世界的進程中，教師精心設計并實施三個探究活動，層層深入地啟發學生思維.學生通過活動，逐步明晰函數單調性的概念，對函數在區間內的單調變化情況形成深刻認知，并從中提煉出“化無限為有限”的數學思想方法．在探究過程中，教師指導學生觀察不同函數曲線的形態特征，結合生活中的實際案例進行分析探索．這一過程不僅培養了學生的數學抽象與概括能力，還切實推動了學生數學學習能力的發展.

3.“三個世界\"理論可發展創新意識

“三個世界\"理論指導下的認知建構具有聯結性特征，基于該理論倡導的聯結模式開展獨立思考與合作學習，能夠逐步增強學生的問題意識，培養質疑精神，激發創新意識.該理論主張學習者在學習過程中，需在原有經驗的基礎上提出合理假設，并通過嚴謹論證參與知識建構.教師作為課堂組織者，應當始終將學生置于課堂中心位置，運用多樣化教學手段引導學生自主探索與合作交流，借助具有挑戰性的學習任務激發學生的創新能力.

總之，在\"數學三個世界\"理論指導下的課堂教學，同樣需要秉持“以生為本\"的教育理念，通過精心設計數學問題、有序開展探究活動，逐步提升學生的數學思維水平，完善其認知結構，為發展數學素養奠定堅實基礎.

參考文獻：

[1］周士民.數學三個世界的理論簡介[J].數學通報，2012，51（3）：32-34.

[2]周士民，聶立川，王君.認知發展研究新成果——DavidTall的\"數學三個世界\"理論[J].數學教育學報，2013，22（3）：8-11.