基于抽象素養培養的數學教學研究

數學抽象是指從事物的數量與數量關系、圖形與圖形關系中提煉數學一般規律或結構，并運用相應數學語言進行表征的過程.抽象素養則是在數學抽象的基礎上，形成研究對象所必備的基本素養．如果將數學抽象視作一種基本的數學能力，那么在高考考查中，就需要引導學生通過對實例的探究，揭示數學事物的本質；或者從已有的信息資料中歸納出相應結論，并將所得結論應用于實際問題的解決.由此可見，數學抽象在促進學生解題能力發展方面具有不可替代的作用.

現狀分析

縱然廣大教育工作者都意識到培養核心素養的重要性，但在具體實施過程中，仍會因認知不足而出現諸多不盡如人意的問題．尤其是在抽象素養的培養方面，由于學生在邏輯思維與學習策略上仍存在諸多不足，導致不少學生難以從具體情境中提煉出相應的數學問題，在實際應用時也暴露出許多漏洞.特別是面對煩瑣或復雜的問題時，學生容易產生畏難心理.長此以往，這種畏難心理會演變為對學習的抵觸，進而降低學習成效

從教學策略角度來看，部分教師對教學的理解較為片面，往往只注重知識點的傳授，在教學內容與方法上缺乏層次性，違背了學生的認知發展規律，使得學生難以把握知識的本質.即便有些學生在課堂上能夠記住教學內容，到后期應用時卻依舊感到困惑.還有些教師過于追求形式化的互動，卻忽視了對學生思維能力的培養，導致課堂表面熱鬧，實則缺乏深度思考，出現“假熱鬧\"的現象.

教學實踐

課堂中，教師依據課程標準靈活處理教材內容，并結合學情特點設計教學活動，這是落實抽象素養培育的基礎.在教學活動實施過程中，需始終秉持“以生為本\"的教育理念，通過任務驅動式學習，實現師生互動與課堂教學的有機融合．在執教過程中，教師可運用適配的教學策略，針對教學內容的特性，保障課堂教學的\"教”與“學\"兩條主線協同推進，從而促進深度學習的有效發生.

1．創設情境問題，揭示數學抽象的必要性

數學是高中階段的基礎學科之一，其重要性不言而喻.不少學生由于數學的抽象性，在學習過程中困難重重，甚至產生厭學心理.長此以往，班級中便出現嚴重的兩極分化現象：對數學感興趣的學生愈發得心應手，而缺乏興趣的學生則對數學產生畏難心理.事實上，在課堂教學中引入豐富的情境，從學生的認知經驗出發實施教學，往往能起到事半功倍的效果，

數學概念是數學知識體系的重要組成部分，掌握數學概念是學好數學的基礎，“概念為本\"的教學理念正是基于此[1．導數作為抽象的數學概念，如果教師直接講授其定義，學生往往難以理解吸收.若教師結合學生現有的認知水平與生活經驗，創設高臺跳水、氣球膨脹等貼近生活的情境問題，不僅能夠激發學生的學習興趣，激活學生的思維，還能讓學生親歷從“平均變化率\"到“瞬時變化率”的認知過程，進而在已有經驗基礎上抽象概括出導數概念.

例如，經典的\"高臺跳水\"問題能夠體現運動員在不同時刻的速度變化，由此引導學生自主抽象出“瞬時速度\"的概念，即物體在某一時刻的速度．對于此類問題，可用“逼近思想\"進行分析.例如，從時刻 t₁?t₂ ，則用 [t₁，t₂] 表示.若想探究 t=2 時的瞬時速度，則可在 之前或之后任取一個可變的時刻 |2+Δt| ，由此得到可變時段[2，2+Δt]（Δtgt;0） 或 [2?+Δt，2]（Δtlt;0） ，將該可變時段記為 D ，那么運動員在時段D的平均速度為h（2）-h（△t+2）或 ，化簡這兩個式子，均可得h（△t+2）-h（2）

貼合學生的生活實際創設情境問題，不僅可以提高學生的課堂參與度，還能讓學生在對情境問題的探索與分析過程中，逐步體會數學抽象的重要性.

2.融入數學史內容，闡釋數學抽象的意義

導數作為微積分的核心概念，在教學中滲透數學史時，教師可選取微積分的發展史作為教學素材，以此激發學生對導數的學習興趣．同時，數學史的融人能讓學生對教材中的公式、定理產生更深層次的情感認知，有助于學生進一步體會知識的來之不易，進而形成正確的數學觀與價值觀.

每一個數學知識的形成與發展都經歷了漫長過程，當下學生所接觸的抽象的數學概念，均源于數學家們經年累月的研究.若將知識的形成與發展歷史融入課堂教學，不僅能讓學生深刻理解知識本質、追溯知識源頭，還能讓學生真切感受知識的形成歷程.如此教學設計，可有效提升學生的探索欲望，使其切實體會知識的價值.

數學史的引人，不僅能豐富課堂教學內容，還能激發學生主動探索的興趣，對培養學生的發散思維、提升學生的學習能力具有重要意義．同時，數學史的滲透能將抽象的導數概念具象化，進一步加深學生的理解，為發展學生的數學抽象素養奠定堅實基礎.

3.借助信息技術手段，可視化數學抽象過程

在傳統教學中，部分教師習慣性采用“注入式”口頭講授方式傳遞教學內容，導致學生難以真正理解一些抽象的數學概念.隨著教育信息化時代的到來，如今的數學課堂教學方式日益豐富多樣．多媒體技術的應用，能夠將抽象知識轉化為具體形象，讓學生通過直觀的圖象感知數學概念的形成與發展過程，這對提升學生的認知水平具有重要意義.

以導數的幾何意義探索為例，這部分內容較為抽象，不少學生因缺乏抽象概括能力與空間想象力，故難以理解其內涵.而借助多媒體技術，可以將抽象知識直觀化．如圖1所示，通過多媒體展示切線 AP 與割線 BP 能讓學生直觀感受二者的位置關系.

圖2

程，進而揭示其中的內在聯系—在某點附近的小范圍內，可將曲線近似理解為直線，用經過該點的切線近似替代該曲線，這正是典型的“以直代曲\"的數學思想.

4.開展思維實驗活動，暴露抽象思維的具體過程

數學是思維的體操．在教學過程中，教師可通過設計思維實驗，引導學生深入理解新舊知識的內在聯系，提升學習體驗，促使學生在主動抽象的過程中掌握數學知識.需要特別注意的是，教師要充分發揮引導作用，鼓勵學生主動思考，充分調動學生的主觀能動性，讓學生在思考與探索中把握知識本質，發展數學抽象素養

例1已知運動員與水面之間的距離為 h （單位： m ），跳水時間為t（單位：s），這兩個量之間存在的函數關系為h（t）=-4.9t2+6.5t+10.那么，在0，5]這一時間段內，運動員的平均速度是多少？

學生自主分析此問，發現經過計算之后獲得的平均速度是0，顯然這個值與學生的認知產生了沖突．在這一矛盾背景下，有學生就提出了如下猜想：平均速度并不能精準反映運動員的運動過程.當 s時，運動員并非靜止不動的，他也是有速度的.

圖1

演示提示：如圖2所示，當點B與 點 P 無限接近時，則割線的斜率是點 P處切線的斜率.

信息技術的應用，將抽象的數學知識直觀化，賦予了學生對教學內容的直觀體驗.通過這種方式，學生能夠切身感知割線逐漸逼近切線的過

學生通過自主探索與驗證發現，在 s附近極小的區間內，平均速度趨向于某個定值，該定值即為該時刻的瞬時速度．驗證結果表明猜想正確，這一思維實驗讓學生直觀感受到平均變化率向瞬時變化率的無限逼近過程，深刻體會到極限思想的重要性．由于親歷了這一抽象過程，學生對相關概念的理解更加深刻、記憶

更加牢固.

5.設計變式應用題目，深化對 數學抽象結果的理解

在課堂教學中，為了拓展學生思維，加深其對教學內容的理解，教師常采用一題多變的策略，滲透數學思想方法.這一策略能引導學生從不同角度思考和分析問題，揭示知識本質，培養良好的數學抽象能力.

在曲線的切線方程的求解問題中，許多學生容易混淆“在某點處的切線\"與“過某點的切線\"的概念.為幫助學生厘清二者的區別，切實理解其差異，教師可通過變式教學進行有效引導.

例2曲線 f（x）=x³-3x²+1 位于切點（1，-1）處的切線方程是什么？

根據切點求切線方程的問題，對大部分學生來說并不難，他們基本能夠自主探索出求解方法，即先對函數進行求導，再將切點的橫坐標代入導函數，得到切線的斜率，進而得出切線方程.為了進一步深化學生的理解，培養學生的數學抽象素養，可以通過設計變式問題來引導學生思考.

變式1：過曲線 f（x）=x³-2x 上點（1，-1）的切線方程是什么？

變式1與原題看似相似，但若仍采用原解的求解方法，必定會得出錯誤結論.此問題提出的是“過曲線上的點”，而非“位于切點”，這意味著該點不一定是切點．不論該點是否位于曲線上，均可先設切點為 （x₀，y₀） ，依據現有條件確定切點的具體位置，再根據點斜式分別得出兩條切線方程： 5x+4y-1=0 或

變式2：已知 y=2x 是曲線 f（x）=x³- 3x²+2x+a 的一條切線，那么實數a的值是多少？

將參數a引入教學，在明確切線方程的基礎上分析a的值.在不知道切點的情況下，先設切點為 （x₀，y₀） ，再將該點代人 y=f（x） 和 y=2x ，可得 y₀=x₀³- 3x₀²+2x₀+a，y₀=2x₀. 因為切線的斜率 ?k= 2，且 f^′（x）=3x²-6x+2 ，所以 f^′（x₀）=3x₀²- 6x₀+2=k=2 ，解得 a=4 或 a=0.

從教學過程來看，第一個變式引導學生明確：當探索點不在曲線上時，需自主設切點來求解問題.第二個變式引入參數 a ，促使學生從多維度感知與切線方程相關的問題．隨著變式的深入應用，學生對看似相同、實則存在差異的問題形成了深刻認知，這有效避免了在實際解題過程中出現思維混亂的情況．由此可見，變式教學能夠增強學生對知識體系的理解，助力學生在解題實踐中發展數學抽象素養.

幾點思考

1.關注課堂的\"教”

若想讓深度學習真實發生，就要引導學生在\"理解數學\"的基礎上，根據教學內容特點設計教學情境.讓學生在相應的情境下，利用數學史滲透數學文化，自主抽象數學要點.同時，在教育信息化的大背景下，信息技術在課堂的應用已經普及，因為信息技術可將抽象的數學知識轉化為直觀形象的內容，直接呈現在學生面前，讓學生在直觀感知中體會知識本質．此外，數學實驗、變式等的應用，也能有效激發學生的抽象能力，

本研究中，在遵循\"以生為本\"的理念下，教師根據課標要求以及當下學生在抽象素養方面的不足設計教學方案．每個教學片段都貼合學生思維的最近發展區，學生在教師循循善誘的引導下，對導數相關知識有了深刻理解.尤其是信息技術的介入，讓抽象的數學知識變得直觀可視，為學生提供了直觀的教學引導，有效增強了學生的數學直觀想象素養.

2.注重概念抽象過程

概念是數學的基礎．注重概念的抽象過程，有助于學生深刻理解概念的來龍去脈.然而，學生個體間存在較大的認知差異，教師在授課時難免會忽略個別學生的需求．為此，教師應鼓勵學生在課堂上勇于提出疑問，學會從多視角觀察和思考問題.導數的概念相對抽象，不少學生容易混淆平均變化率與瞬時變化率的概念，進而在應用中出現錯誤.改變這一現象的有效方法，是帶領學生親歷概念的形成與發展過程，從而形成清晰的認知，在應用時便能游刃有余.

在關于導數概念的教學片段中，教師運用運動員跳水的真實情境，引導學生親身體會“平均速度 $$ 瞬時速度\"的過程，在此基礎上建構導數的概念.但實際上，單一情境難以讓學生靈活應用概念.若要實現深度學習，除創設情境外，還應借助問題串逐步啟發學生思維，幫助學生真正掌握概念本質.

3.核心素養是教學的核心目標

新課標明確提出，學生應通過數學教學獲得適應終身發展所需的品格與關鍵能力，并著重強調要注重個人修養、創新實踐、家國情懷等方面的培養，這些正是學科核心素養的集中體現．由此可見，培養學生的核心素養已成為當下數學教學的核心目標.其中，抽象素養是核心素養的基礎，而引導學生學會自主歸納總結，則是提升學生抽象素養的根本途徑

為了幫助學生形成良好的學習能力與關鍵品格，教師可以鼓勵學生運用思維導圖對教學內容進行總結提煉.這一做法，一方面能促進學生抽象素養的發展，另一方面能增強學生的抽象概括能力，為發展核心素養奠定基礎.例如，從導數的概念、運算與應用三個維度對教學內容進行梳理與總結，有助于學生建構完整的知識網絡，為形成結構化認知提供支撐.

總之，數學抽象素養的培養并非一朝一夕之功，需要經過長期的訓練與引導．只有不斷強化學生對數學的認識，激發學生自主探索的欲望，幫助學生養成勤于反思與主動探究的習慣，才能真正實現深度學習，促進數學學科核心素養的發展

參考文獻：

[1］唐紹友.論數學抽象素養的培養途徑［J].數學通報，2021，60（10）：33-37.