智、趣、簡、益，追求“有意思”的數學課堂

在當前教育改革的大背景下，我校積極開展課堂教學研究，圍繞“十四五”課題“美好生長，兒童有意思課堂學習生活的實踐研究”，積極探索如何讓課堂變得更“有意思”.數學課堂既要展現學科知識的魅力，吸引學生主動學習，又要以學生為主體，優化教學過程，融入審美和趣味元素.不同年級和思維水平的學生對“有意思”的數學課堂有著不同的需求，小學高年級學生傾向于追求數學內涵和思想的提升，這對數學教學提出了更高的要求.“分數除以分數\"是蘇教版《義務教育教科書數學六年級上冊》中“分數除法”單元的核心內容之一.在教材的編排體系中，充分體現了螺旋上升的認知規律，從“分數除以整數\"這一較為基礎的內容入手，逐步引導學生深入探究“分數除以分數”的運算原理與方法，讓學生在循序漸進中構建完整的知識體系，深化對分數除法的理解.這部分內容對于學生理解分數除法的計算方法，提升邏輯推理能力有著重要意義.本文依托此課例，通過精心設計教學環節，致力于打造“智、趣、簡、益\"的數學課堂.

1智：精準定位，明確方向

蘇教版教材對分數除法的編排遵循“由易到難”的原則，從“分數除以整數”逐步過渡到“分數除以分數”.本課例學習之前，學生通過例1和例2的學習，知道分數除以整數以及整數除以幾分之一，可以通過相應的分數乘法進行計算.對于例3的學習會很自然地想到利用分數乘法來解決.這種想法是否正確，需要驗證和確認.分數除法一般轉化成分數乘法計算，前兩道例題在操作中展開形象思維，這樣的編排邏輯填密、循序漸進，旨在讓學生體會將分數除法轉化為其他運算方式的合理性.后兩道例題則通過引導學生進行大膽猜想與嚴謹驗證，幫助學生理解這種轉化的必然性.在這樣的教學過程中，教師需引導學生通過數學活動主動發現規律，而非機械記憶法則.[1]

2趣：體驗合情，領悟合理

在數學領域，推理形式主要分為合情推理和演繹推理.合情推理在發現數學結論、探索證明思路上發揮著關鍵作用，常見形式有歸納和類比.歸納是從部分推及整體、從個別走向一般的推理，類比則是在特殊情況間進行推理.演繹推理是從一般性前提得出特殊結論的推理方式，用于證明數學結論、搭建數學體系.

在“分數除以分數”的教學實踐中，以同分母分數相除的探究活動為切入點引導學生體驗合情推理，能有效激發學生自主思考，助力其理解分數除法的本質.

探究一：同分母分數相除， （1）直觀感知層

創設情境將 升果汁倒入容量為 1升的杯子，需要幾個杯子？

操作表征：用磁貼將長方形分成10等份，分別

涂色表示

動態演示：通過拖拽操作，展示3個 覆蓋 的過程.

【設計意圖】建立“分數單位計數”的直觀模型，將除法轉化為“包含除”的可視化表達

（2）方法遷移層，

轉化小數法：10 （2商不變規律： 假設檢驗法：如果 那么 認知沖突：提問“不同方法為何得到相同結果”，引導學生發現本質聯系.提出猜想：同分母分數相除就可以乘除數的倒數.

（3）猜想驗證層，

問題鏈 ① 這個結論適用于所有同分母分數嗎？ ② 如何確保驗證的全面性？ ③ 如 的特殊情況如何處理？

分類舉證（見表1）.

表1

沒有反例，得出結論：同分母分數相除，都以乘除數的倒數來計算.

本環節以“同分母分數除法計算法則的探究”為載體，系統展開合情推理中不完全歸納推理的教學實踐.考慮到學生已具備簡單分數運算經驗，但對歸納推理的本質特征理解尚不深刻，教學設計采用“問題鏈驅動一多元例證一協作歸納”的三維架構，引導學生經歷完整的數學推理過程.教師在教學中通過追問如何舉例，讓學生明確所舉例子必須是同分母分數相除，且要全面、多樣，涵蓋一般情況和特殊情況.既要有分子分母數值較小且簡單的例子，也要有分子分母數值較大或較復雜的例子，還要考慮特殊情況，如分子為0或分子分母相等的情況.驗證時，學生要根據所舉例子的特點針對性地選擇方法.上述探究過程符合不完全歸納法從部分到整體、從個別到一般的推理過程

此外，在課上積極組織小組討論，讓學生在小組內采用“三步研討法\"（獨立舉例驗證一組內分類整理一共性規律提煉）交流自己所舉例子和驗證過程，互相學習和啟發.全班匯報環節設計為“例證博覽會”，各小組通過實物投影展示典型案例，重點闡述例證選擇的意圖和規律發現的過程.教師運用“概念圖支架”，將學生零散的發現整合為系統的知識網絡.例如，當多個小組提到“同分母分數相除，分母不變，分子相除\"時，教師即時追問“這個規律是否適用于所有例證？為什么特殊案例也符合”，引導學生從具體經驗躍遷到數學本質的理解，認識到分母相同表示分數單位一致，進而引申出分數除法運算本質是分數單位的個數相除.通過這類互動，學生在趣味中體會數學規律的合理性.

3簡：經歷“演繹”，彰顯嚴謹

演繹推理依賴“三段論\"完善知識，合情推理助力發現真理.在異分母分數相除的教學中，充分體現了演繹推理的過程.以本節課為例，演繹推理的三段論模型如下.

大前提（已知規律）：同分母分數相除公式 $＼left（ { ＼frac { a } { c } } ＼div { ＼right. }$

核心思想：統一計數單位是分數運算的本質.

小前提（當前問題）：異分母分數相除的矛盾（分母不同導致計數單位不統一）.

解決方法：通過通分實現計數單位統一.

結論推導（普遍規律）：異分母分數相除公

探究二：異分母分數相除，（1）探究活動.

提問1如果是異分母分數相除，猜想下如何計算？引出1是否仍以乘除數的倒數來計算？追問我們可以怎樣研究？引出2舉更多的例子，如果沒有反例，說明猜

想成立.

過渡還有別的方法來進行研究嗎？我們以號1為例，先思考，再以小組為單位開始探究.

（2）展示交流.

方法一：轉化成同分母計算.結合圖形理解分數除以分數的計算方法.利用板貼色塊首先需要知道劵 中有多少個 1，則需先將 通分成 ，接著求 有 10，計數單位都是 ，所以只需要知道6里面有幾個3.

方法二：直接乘倒數計算.

談話：我們來看方法一，所有的異分母分數相除都能轉化成同分母分數相除，同分母分數相除的計算我們已經研究了，那異分母分數的計算也就解決了.

（3）比較算式之間的異同

提問2運用方法二，我們僅驗證了一個例子，那是否還需舉更多的例子進行驗證？

追問那利用方法一進行研究的學生，是否只要遇到異分母分數相除就通過化成同分母分數相除來計算呢？比較兩個算式 之間的異同，你有什么發現？

談話：我們已經知道同分母分數相除可以用被除數乘除數的倒數來計算，又因為所有的異分母分數相除都能轉化成同分母分數相除，所以我們可以用通分來計算.這種研究方法與前面的研究不同.異分母分數相除的計算我們可以根據同分母分數相除的計算方法和異分母分數與同分母分數之間的關系，直接推導得出.

本環節的教學依托于前期同分母分數相除的研究，邏輯地推導出兩種探究方法.一種是舉例驗證方法，學生基于不完全歸納法經驗，采用舉例驗證策略.此方法實質上是再次進行合理推理，并延續應用前述探究環節所獲得的方法經驗.另一種是轉化成同分母分數相除，所有的異分母分數相除都能轉化成同分母分數相除，即它們的算理是一致的，在驗證過程中利用圖形幫助學生直觀地厘清算理，而同分母分數相除的計算已經在前面環節的探究過程中得到解決，那異分母分數相除的計算也獲得解決.這一過程體現了“化歸思想”，即通過轉化未知問題為已知模型解決問題.[2在教學過程中，教師不僅僅要注重引導學生感悟和體會其中的數學思想，更要關注學生語言表達能力的培養，讓學生能夠清晰、準確地闡述推理過程，從而提升學生的思維水平.接著通過連續的追問引導學生思考，完整體驗演繹推理的過程，深化對知識的理解.探究過程中，引導學生思考并主動觀察、比較 兩個算式的聯系，經過推導得出異分母分數相除可以乘除數的倒數來 通過代數表達式，學生實現從具體到抽象的認知躍遷.這種“數學味\"濃厚的探究就是演繹推理，它不僅實現了數學知識的形式化建構，還培養了學生“用符號思考、用邏輯說理”的核心素養.這種“簡中見真，嚴謹致知\"的教學追求，為拓展學生的數學思維水平提供了可復制的實踐范式課堂

4益：思想升華，助力成長

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界.\"[3]通過對“分數除以分數\"這一課例的研究與實踐，不僅讓學生在數學知識和推理能力上得到提升，還讓教師明確了學校課題研究落實“有意思\"課堂的方向一智、趣、簡、益.“智”，體現在課堂上師生、生生之間共鳴碰撞產生的智慧火花；“趣”，表現為引人入勝的趣味探索過程，激發學生的學習興趣；“簡”，追求大道至簡的概括簡潔，幫助學生更好地理解和掌握知識；“益”，著眼于學生利于身心的美好生長，促進學生全面發展.在數學教學中，教師應深入挖掘教材內容，精心設計教學活動，將“智、趣、簡、益\"的理念融人每一個教學環節，最終達成“智”的生長、“趣\"的體驗、“簡”的表達、“益”的收獲，讓數學課堂真正成為學生探索知識、提升能力、實現美好生長的樂園.

參考文獻

[1]張奠宙，宋乃慶.數學教育概論M.北京：高等教育出版社，2023.

[2]顧泠沅.數學思想方法[M.北京：人民教育出版社，2004.

[3]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M.北京：北京師范大學出版社，2022.