巧構輔助圓，高效解幾何

圓的特性在幾何解析中有著廣泛的應用，對于條件較為分散的情形，可以考慮構造輔助圓來幫助分析.輔助圓的引入需要借助圓的定義與特性.教學中建議梳理常見輔助圓模型，引導學生掌握構造技巧，下面舉例探究.

1 距離相等構造圓

模型解讀：根據圓的幾何則定義可知，當出現多點或動點到定點的距離為定長時，則可以構造輔助圓.其中共端點的三條線段的另外三個端點在以該端點為圓心且相等線段長為半徑的圓上.

例1如圖1所示，已知點 O 為線段 BC 的中點， 三點到點 O 的距離相等.如果 ∠ABC= 40^° ，則 ∠ADC=

圓內接四邊形特性即可求所求角.

過程解析分析題意可得 OA=OB=OC=OD .作出圓 O ，如圖1所示，則四邊形 ABCD 為圓 O 的內接四邊形，則 ∠ABC+∠ADC=180^° ，結合 ∠ABC =40^° 可求得 ∠ADC=140^°

解后評析 上述問題解析時，把握中點特性，直接確定四個點到定點 O 的距離相等，從而引入輔助圓，后續結合圓內接四邊形的特性完成了角度推導.整個過程應用的是圓的幾何定義，教學中需注意定義的講解.

2 定角定弦構造圓

模型解讀由圓的特性可知：等弦所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角.根據該知識內容，若問題中一定長線段的對角角度大小不變，則線段的兩個端點以及動點的頂點必在同一圓上，即可引入輔助圓解題.

例2如圖2所示的直角坐標系中，已知兩點坐標： A(2，6)，B(8，-2) ．點 c 在坐標軸上，且ΔABC 為直角三角形.分析滿足條件的點 c 個數為

圖1

思路分析 根據題意可知，點 A°B，C°，D 到點O 的距離均相等，則共圓，可引入輔助圓，后續利用

思路分析 題目設定三角形，需要探究滿足條件的點 c 的個數，由于點 C 在坐標軸上的位置未知，需要分情形討論.特別地，當點 c 為直角頂點時，可以AB為直徑構造，利用圓的特性來分析.

過程解析分三種情形進行討論，作圖如圖2的 虛線所示.

① 點 A 為直角頂點時，過點 A 作 AC⊥AB ，交x 軸于點 C₁ ，交 y 軸于點 C₂ ，此時滿足題意的點為C₁，C₂

② 點 B 為直角頂點時，過點 B 作 BC⊥AB ，交x 軸于點 C₃ ，交 y 軸于點 C₄ ，此時滿足題意的點為C₃，C₄

③ 點 C 為直角頂點時，以 AB 為直徑作圓，已知A(2，6)，B(8，-2) ，可知此時圓與 軸相切，故圓與 y 軸有1個交點，與 x 軸有兩個交點，分別為 C₅ ，C₆，C₇ ：

綜上可知，滿足條件的點 c 有7個.

圖2

解后評析 在探究滿足條件的點 C 個數時，采用了分類討論的方法.情形三中，設定點 C 為頂點，顯然可以結合“定角定弦”引入輔助圓，此時AB為直徑，利用圓的特性可知，圓與坐標軸的交點即為滿足條件的點.

3 對角互補構造圓

模型解讀 根據圓的特性可知，圓內接四邊形的對角互補.因此，若一個四邊形有一組對角互補，則可判定其四個頂點共圓，從而引入輔助圓解題.

例3如圖3所示的菱形ABCD中，點 P 位于BC上，為一動點，且不與點 C 重合.連接 AP ，作 AP 的垂直平分線，設與BD的交點為點 G ，與 AP 的交點為點 E

分析點 P 由 B 點運動到 c 點的過程中，∠APG 的大小變化情況為

圖3

思路分析 分析整合問題條件，可以得出∠AOB=90^° AO=CO ，即四邊形AEGO的一組對角互補，由此可以判定圖形的四個頂點共圓，后續可引入輔助圓來分析解題.

過程解析 連接 AC ，設與 BD 的交點為 O ，再連接 EO 和 AG ，如圖3的虛線所示.

由菱形特性可知 ∠AOB=90^° ，又知 EG 是 AP 的垂直平分線，故 AG=PG ，且 ∠AEG=∠AOB= 90^° ，從而可判定點 A，E，G，O 四點共圓，進一步分析可知 ∠EOG=∠APG

再結合菱形及等線段知識，可知 OE//BC ，則 ，因為菱形ABCD始終固定，則 ∠ABC 的度數固定，因此 ∠APG 的度數不變.即點 P 運動過程中， ∠APG 的大小不變.

解后評析 上述分析角度變化情況時，利用“對角互補”引入了輔助圓，即分析四邊形AEGO的內角關系，根據對角互補判定四定點共圓.該種建模思路與四邊形有相關性，解析指導時注意引導學生關注特殊圖形的隱含條件，簡化分析過程.

4結語

總之，在幾何分析過程中，可以參考上述輔助圓的構造方法建立模型.具體教學時，建議從圓的特性出發，梳理內在關聯，指導學生掌握輔助圓的切入點.教學中按照“模型解讀 $$ 思路分析 $$ 過程解析$$ 解后反思”的流程開展教學指導，引導學生掌握模型策略，靈活應用解題.