初中數學一元二次方程的解題思維探究

一元二次方程是初中數學的重要內容之一，它不僅是代數知識的核心部分，也是培養學生邏輯思維和數學運算能力的重要載體.在教材中，一元二次方程的學習貫穿整個初中階段，從初步認識方程到掌握多種解法，再到靈活運用方程解決實際問題，學生需要逐步構建系統的解題思維.然而，許多學生在學習過程中常因思維不清晰、方法選擇不當或對題意理解不透徹而出現錯誤.因此，深入探究一元二次方程的解題思維，對于提高學生的數學成績和數學素養具有重要意義.

1提取已知條件，構建等式關系

在解決一元二次方程問題時，第一步是準確提取題目中的已知條件，并將其轉化為等式關系.這一步是解題的基礎，只有明確已知條件，才能為后續的解題過程提供方向.

例1某學校計劃在校園內開辟一塊矩形花園，用來種植花卉.已知花園的周長為30米，面積為54平方米，求該矩形花園的長和寬分別是多少米？

解析 提取已知條件：矩形周長為30米，面積為54平方米.

構建等式關系：設矩形花園的長為 x 米，因為周長是30米，所以寬為 （15-x） 米.根據面積公式可得方程： x（15-x）=54

整理得： x²-15x+54=0 求解方程：可得 x₁=9，x₂=6

因為矩形的長大于寬，所以長為9米，寬為6米.

總結：在解題過程中，準確提取已知條件并構建等式關系是解題的關鍵.學生需要仔細審題，理解題意，并將實際問題轉化為數學模型，這是解題的第一步.同時需要注意，得出結果后應結合實際問題對答案進行鑒別并取舍.

2識錯診因建認知，選擇合適解法

在解一元二次方程時，學生常常會因選擇不當的解法而導致錯誤.因此，了解各種解法的適用條件，并能夠根據具體問題靈活選擇，是提高解題效率的重要環節.

例2 解方程 x²+6x+9=0 （20號

解析 觀察方程特點該方程左邊是一個完全平方形式，即： （x+3）²=0

選擇解法 由于方程可以寫成完全平方形式，因此直接開平方法是最簡便的解法.

求解方程 開平方得 x+3=0 ，解得 x=-3

錯誤診斷

錯誤解法 有些學生可能會嘗試使用求根公式，雖然也能得到正確答案，但計算過程較為繁瑣，

原因分析 學生未能觀察到方程的特殊形式，缺乏對不同解法適用條件的深刻理解.

正確引導 在解題時，應先觀察方程的特點，判斷是否可以使用因式分解、直接開平方等簡便方法，再考慮使用求根公式.

總結選擇合適的解法是解一元二次方程的關鍵.學生需要熟悉各種解法的適用條件，并在解題時靈活運用.同時，通過分析錯誤原因，能夠幫助學生更好地建立正確的解題思維.

3轉化圖形嵌情境，建立數形聯系

一元二次方程與幾何圖形之間存在著密切的聯系，通過數形結合的方法，可以將抽象的代數問題轉化為直觀的幾何問題，從而幫助學生更好地理解和解決問題.

例3已知一個矩形的長比寬多3，且矩形的面積為28，求矩形的長和寬.

解析

設未知數 設矩形的寬為 x ，則長為 x+3

構建方程 根據矩形面積公式，得 x（x+3）= 28，化簡得 x₂+3x-28=0

解方程 因式分解得： （x+7）（x-4）=0 ，解得 x=4 或 x=-70 （舍去負值）.

求解結果 矩形的寬為4，長為7.

數形結合分析

圖形表示 可以畫出一個矩形，標注長和寬的關系，幫助學生直觀理解題意.

幾何意義方程 x²+3x-28=0 的解對應于矩形的寬，而矩形的長和寬的乘積等于面積，這種數形結合的方式有助于學生理解方程的幾何背景.

總結 數形結合是解決一元二次方程問題的

重要思維方法.通過將代數問題與幾何圖形相結合，學生可以更直觀地理解問題的本質，從而提高解題能力.

4結語

一元二次方程是初中數學的重要內容，其解題思維的培養對于學生的數學學習具有深遠意義.通過提取已知條件構建等式關系、選擇合適的解法以及利用數形結合建立圖形與方程的聯系，學生可以逐步提高解題能力.在教學過程中，教師應注重引導學生分析錯誤原因，培養學生的思維靈活性和深度，幫助學生建立系統的解題思維體系.

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