“教一學(xué)一評(píng)”一體化初中幾何推理中的錯(cuò)誤類型診斷研究

隨著教學(xué)改革的不斷推進(jìn)，課堂上教師對(duì)學(xué)生推理過程的關(guān)注逐漸加強(qiáng)，單純關(guān)注結(jié)論的教學(xué)方式已無(wú)法滿足學(xué)生素養(yǎng)提升的需求.“教一學(xué)—評(píng)”一體化理念強(qiáng)調(diào)在教學(xué)活動(dòng)中同步滲透學(xué)習(xí)與評(píng)價(jià)，促使學(xué)生在推理實(shí)踐中不斷反思、修正與完善思維路徑，為幾何推理能力的提升提供了更為有效的支撐.

1“教一學(xué)一評(píng)”一體化下中學(xué)幾何推理錯(cuò) 誤類型診斷原則

1. 1 目標(biāo)協(xié)同診斷原則

“教—學(xué)—評(píng)”一體化理念強(qiáng)調(diào)教學(xué)目標(biāo)、學(xué)習(xí)目標(biāo)與評(píng)價(jià)目標(biāo)之間的高度一致[1.在幾何推理教學(xué)中，目標(biāo)協(xié)同診斷原則要求教師在設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)、組織學(xué)習(xí)任務(wù)與實(shí)施錯(cuò)誤診斷時(shí)，始終以推理能力的培養(yǎng)為核心方向.推理訓(xùn)練不僅是結(jié)果導(dǎo)向的習(xí)題訓(xùn)練，更是學(xué)生理解幾何概念、建構(gòu)邏輯鏈條的重要過程.教師需要根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，明確不同階段學(xué)生應(yīng)掌握的推理要求，確保教學(xué)活動(dòng)、學(xué)習(xí)表現(xiàn)與診斷評(píng)價(jià)在目標(biāo)指向上緊密統(tǒng)一.

1.2 過程銜接診斷原則

幾何推理能力的形成是學(xué)生與問題持續(xù)互動(dòng)的結(jié)果，過程銜接診斷原則強(qiáng)調(diào)在教學(xué)全過程中動(dòng)態(tài)跟蹤學(xué)生的推理發(fā)展.教師需要關(guān)注學(xué)生推理思路的生成過程，及時(shí)捕捉推理鏈條中的斷點(diǎn)、偏差與薄弱環(huán)節(jié)，診斷不僅停留在最終結(jié)果的正確與否上，更重視推理過程的邏輯性、完整性與條理性.在教學(xué)中，教師應(yīng)通過課堂提問、學(xué)生展示、作業(yè)分析等多種方式，持續(xù)觀察和分析學(xué)生的推理路徑，及時(shí)發(fā)現(xiàn)認(rèn)知障礙，形成針對(duì)性的教學(xué)調(diào)整策略.通過緊密銜接教學(xué)與學(xué)習(xí)過程，診斷活動(dòng)能夠更加精準(zhǔn)地支持學(xué)生推理水平的提升，使思維訓(xùn)練真正融入課堂細(xì)節(jié)之中.

1. 3 反饋一致診斷原則

有效的錯(cuò)誤診斷不僅是問題的識(shí)別，更在于后續(xù)反饋的及時(shí)性與針對(duì)性，反饋一致診斷原則要求教師在評(píng)價(jià)中提供具有指導(dǎo)意義的反饋，幫助學(xué)生理解錯(cuò)誤本質(zhì)并優(yōu)化推理路徑[2].反饋內(nèi)容要緊扣教學(xué)自標(biāo)，注重引導(dǎo)學(xué)生在思考中發(fā)現(xiàn)問題源頭，在修正中完善邏輯鏈條.教師需要根據(jù)學(xué)生具體的幾何推理錯(cuò)誤類型，提出清晰、具體的改進(jìn)建議，既指出其推理過程中的邏輯漏洞，又指導(dǎo)其在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)行合理重構(gòu).

2“教一學(xué)一評(píng)”一體化下中學(xué)幾何推理錯(cuò)誤類型診斷策略

2.1 問題驅(qū)動(dòng)推理診斷

問題導(dǎo)向、目標(biāo)明確，學(xué)生在解決此類問題時(shí)能夠有跡可循，找到解決問題的一般規(guī)律，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，將已知信息中角相關(guān)的特殊數(shù)量關(guān)系標(biāo)注在圖中，如果圖形本身具有特殊的位置關(guān)系，容易推出兩線垂直或平行等特殊的位置關(guān)系[3].教師需要聚焦于學(xué)生思維過程中的典型錯(cuò)誤類型，及時(shí)識(shí)別推理鏈條中的斷點(diǎn)、偏差與混淆現(xiàn)象.通過層層遞進(jìn)的問題鏈，教師能夠在學(xué)生的推理表達(dá)中捕捉推理概念理解錯(cuò)誤、推理步驟缺失、位置關(guān)系判斷失誤等常見錯(cuò)誤，進(jìn)而有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)干預(yù).在“教一學(xué)—評(píng)”一體化理念下，問題設(shè)計(jì)不僅是思維訓(xùn)練的重要手段，更是實(shí)時(shí)診斷學(xué)生推理質(zhì)量的重要工具.

例1如圖1，四邊形 ABCD 中， AB⊥AC ，若∠1+∠B=90^° ，求證 AD//BC

圖1

問題1 已知條件中“ ∠1+∠B=90^° 你是如何理解的？

問題2 ∠1 與 ∠B 在圖中是否有特殊的位置關(guān)系？能否進(jìn)一步推出其他幾何信息？

問題3圖中是否存在角與其他兩個(gè)角有特殊位置或數(shù)量關(guān)系的情況？

解答1由和為 90^° 的數(shù)量關(guān)系可得 ∠1 與 ∠B 為互余關(guān)系.

學(xué)生錯(cuò)誤推理：誤以為 ∠1 和 ∠B 直接構(gòu)成直角三角形，忽略兩角位置關(guān)系.

教師推理思路引導(dǎo)：理解為數(shù)量互余關(guān)系，而非直接推斷角度位置特征.

解答2讀題標(biāo)量，觀察幾何圖形，二者并無(wú)特殊位置關(guān)系，無(wú)法進(jìn)一步推理.

學(xué)生錯(cuò)誤推理：僅憑互余數(shù)量關(guān)系推斷二者構(gòu)成直角，無(wú)視實(shí)際圖形位置，導(dǎo)致推理鏈斷裂.

教師推理思路引導(dǎo)：仔細(xì)觀察圖形，發(fā)現(xiàn) ∠1 和∠B 無(wú)直接的空間位置關(guān)系，需尋找新的角度關(guān)系.

解答3由 AB⊥AC ，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理—三個(gè)內(nèi)角和等于 180^° ，可以進(jìn)一步推理得出∠B 和 ∠ACB 互為余角，基于圖1，我們可以得到∠1 和 ∠ACB 互為內(nèi)錯(cuò)角.

學(xué)生錯(cuò)誤推理 學(xué)生在此步容易遺漏內(nèi)錯(cuò)角關(guān)系的判定，導(dǎo)致無(wú)法正確推出平行結(jié)論.

教師推理思路引導(dǎo)基于 AB⊥AC ，運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理 ——三個(gè)內(nèi)角和等于 180^° 推理出∠B 和 ∠ACB 互為余角，進(jìn)一步推理出 ∠1 和∠ACB 互為內(nèi)錯(cuò)角且兩角相等，從而完成平行關(guān)系證明.

分析通過問題鏈的設(shè)置，教師能夠有效暴露學(xué)生在數(shù)量關(guān)系理解、空間位置判斷及邏輯推理銜接方面的典型性錯(cuò)誤，實(shí)時(shí)記錄錯(cuò)誤類型，針對(duì)性指導(dǎo)學(xué)生修正推理路徑，逐步完善邏輯思維.問題驅(qū)動(dòng)的推理診斷不僅能促進(jìn)學(xué)生自主思考，更在動(dòng)態(tài)交互中實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)的推理錯(cuò)誤類型診斷與干預(yù)，提升“教—學(xué)—評(píng)”一體化環(huán)境下的教學(xué)效能.

2.2 易錯(cuò)示例引導(dǎo)學(xué)生辨析

在初中階段培養(yǎng)學(xué)生幾何推理能力時(shí)，“教一學(xué)—評(píng)”一體化理念要求教師在了解學(xué)生認(rèn)知現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上，利用典型易錯(cuò)示例引導(dǎo)學(xué)生辨析推理過程中的常見錯(cuò)誤類型，提升思維的準(zhǔn)確性與嚴(yán)密性[4].通過設(shè)置具有代表性的易錯(cuò)情境，教師能夠引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)識(shí)別推理鏈條中的斷裂點(diǎn)、概念誤用或邏輯跳躍現(xiàn)象，在對(duì)比分析中實(shí)現(xiàn)認(rèn)知矯正.易錯(cuò)示例的設(shè)計(jì)不僅有助于暴露學(xué)生潛在的推理偏誤，也使教師能夠在教學(xué)過程中實(shí)時(shí)進(jìn)行錯(cuò)誤類型診斷，針對(duì)不同錯(cuò)誤類型采取個(gè)性化的干預(yù)措施，促進(jìn)學(xué)生推理思維的持續(xù)優(yōu)化與完善.

圖2

例2如圖2所示，已知 ?AB // CD ，甲、乙兩人分別沿著的夾角的平分線BE、CF運(yùn)動(dòng)，小智認(rèn)為甲、乙兩人的運(yùn)動(dòng)路線BE、CF平行.結(jié)合題干信息，請(qǐng)?jiān)囅胄≈堑南敕ㄊ欠裾_，并說明你的理由.

學(xué)生常見推理錯(cuò)誤：（1）學(xué)生往往根據(jù)“平分線”這一概念，錯(cuò)誤推斷平分線方向必然平行，忽略了夾角大小及圖形整體結(jié)構(gòu)的分析；（2）未能基于題目條件推導(dǎo)出角度關(guān)系變化，直接跳步推斷運(yùn)動(dòng)軌跡的平行性，缺乏中間推理步驟支撐.

教師錯(cuò)誤推理指導(dǎo)：結(jié)合圖 _2，BE 與 CF 分別是不同夾角的平分線，雖然 AB//CD ，但因夾角本身大小不同，平分線方向未必一致，無(wú)法直接推出BE//CF .因此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生基于角平分線的定義——從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)完全相同的角，這條射線叫作這個(gè)角的角平分線一—分析角度結(jié)構(gòu)，再判斷運(yùn)動(dòng)軌跡是否具備平行條件.

分析通過易錯(cuò)示例的引導(dǎo)，教師可以觀察學(xué)生在理解角平分線、判斷平行關(guān)系時(shí)是否存在知識(shí)遷移錯(cuò)誤、推理步驟跳躍或概念誤用等問題，及時(shí)分類記錄推理錯(cuò)誤類型，并在后續(xù)教學(xué)中針對(duì)性講解，幫助學(xué)生在辨析與反思中逐步構(gòu)建清晰、規(guī)范的推理鏈條.

2.3借助典型問題開展錯(cuò)誤追溯

幾何推理的準(zhǔn)確性首先依賴于對(duì)題設(shè)條件的完整把握和合理使用.若忽視題干條件，易導(dǎo)致推理斷裂或無(wú)從下手[5].教師需引導(dǎo)學(xué)生回到題目文本，如圖3、圖4中射線 AN?AM 及線段BC旋轉(zhuǎn)形成BD的過程，要求學(xué)生在圖上逐一標(biāo)注已知條件，并用輔助線（如 CD ）理清角度關(guān)系.對(duì)于遺漏條件的學(xué)生，教師應(yīng)追問：“旋轉(zhuǎn)角度與直線關(guān)系是什么？”“垂線的意義是什么？”幫助學(xué)生梳理完整推理起點(diǎn)，防止推理方向偏離.在推理過程中，若步驟跳躍或推導(dǎo)依據(jù)模糊，極易產(chǎn)生邏輯漏洞，影響整體證明的嚴(yán)密性.

圖3

圖4

例3如圖3和圖4所示，已知 ∠MAN=a(0^° °) 點(diǎn) _B，C 分別在射線 AN，AM 上，將線段BC 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 180^°-2a 得到線段 BD ，過點(diǎn)D 作 AN 的垂線交射線 AM 于點(diǎn) E

問題1如圖3，當(dāng)點(diǎn) D 在射線 AN 上時(shí)，求證：c 是 AE 的中點(diǎn).

問題2如圖4，當(dāng)點(diǎn) D 在 ∠MAN 內(nèi)部時(shí)，作DF//AN ，交射線 AM 于點(diǎn) F ，求線段 EF 與 AC 的數(shù)量關(guān)系，并證明.

解答1連接 CD ，根據(jù)題意可以推理出 BC= BD ∠CBD=180^°-2a . ∠BDC=∠BCD ，設(shè)∠BDC=∠BCD=x ，由三角形內(nèi)角和得 2x+ (180^°-2a)=180^° ，解得 x=a ， ∠BDC=a .又由題設(shè)知 ∠MAN=a ，記 ∠1，∠CDB 記做 ∠2，∠1= ∠2=a .進(jìn)一步根據(jù)圖中 DE⊥AN，CA=CD ，結(jié)合等角對(duì)等邊關(guān)系可得 AE 被 C 平分，即 C 為 AE 的中點(diǎn).

分析教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生逐步寫出： BC=BD ，∠CBD=180^°-2a ，繼而推導(dǎo)出 ∠BDC=a ，直至得出 ∠BDC=∠A . CA=CD ，最后證明 C 為 AE 中點(diǎn).對(duì)于步驟跳躍的現(xiàn)象，教師可要求學(xué)生在草稿紙上詳細(xì)列出每一步推理及所依據(jù)的定理、定義，并在圖中同步標(biāo)記角度變化，強(qiáng)化推理鏈條的可視性和連貫性.

解答2教師可以鼓勵(lì)學(xué)生在射線 AM 上取點(diǎn)H ，使得 BH=BA ，取 EF 的中點(diǎn) G ，連接 DG .根據(jù)解答1得到的結(jié)果，證明推理得到 EF=2AC 的結(jié)果.

分析在證明過程中，若學(xué)生未能正確取輔助點(diǎn) H，G 或忽視中點(diǎn)條件，教師可設(shè)置引導(dǎo)性問題：“為什么要取 H 點(diǎn)使 BH=BA^′ ？”“為什么要取 EF 中點(diǎn) G ？”\" EF 與 AC 的數(shù)量關(guān)系如何推導(dǎo)？”幫助學(xué)生意識(shí)到輔助構(gòu)造與推理結(jié)果之間的聯(lián)系.對(duì)于推導(dǎo)方向錯(cuò)誤的學(xué)生，教師應(yīng)引導(dǎo)其通過逆推法從結(jié)論出發(fā)，倒查條件鏈條，直至定位出推理斷點(diǎn).

3結(jié)語(yǔ)

綜上所述，在\"教—學(xué)—評(píng)”一體化理念引領(lǐng)下，幾何推理錯(cuò)誤的診斷與追溯不僅是提升學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的關(guān)鍵途徑，更是促進(jìn)其邏輯素養(yǎng)與自主學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)的重要手段.通過精準(zhǔn)識(shí)別錯(cuò)誤類型、追溯推理鏈條、深化課后鞏固與反思整理，教師能夠有效引導(dǎo)學(xué)生在不斷修正中完善推理過程，增強(qiáng)問題意識(shí)與自我監(jiān)督能力，從而實(shí)現(xiàn)幾何推理能力的系統(tǒng)提升，助力其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深度發(fā)展.

【本文系福州市教育科學(xué)研究“十四五”規(guī)劃2023年度課題“基于教一學(xué)一評(píng)一體化的初中生幾何推理能力培養(yǎng)行動(dòng)研究\"（項(xiàng)目編號(hào)：FZ2023GH051）】

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