探究初中代數(shù)推理教學(xué)路徑

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，代數(shù)推理能力的培養(yǎng)是提升學(xué)生邏輯思維與問題解決能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié).其中，“完全平方公式”作為代數(shù)領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，不僅被廣泛應(yīng)用于各種數(shù)學(xué)問題中，而且其推導(dǎo)過程中蘊(yùn)含著豐富的推理思維與數(shù)學(xué)邏輯.本文旨在通過深入探究初中代數(shù)推理教學(xué)路徑分析如何在課堂教學(xué)中有效引導(dǎo)學(xué)生理解公式背后的推理邏輯，掌握從具體到抽象、從直觀到形式的推理方法.

1準(zhǔn)確把握代數(shù)推理教學(xué)的“度”，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)代數(shù)推理的認(rèn)識(shí)

代數(shù)推理能力的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期且循序漸進(jìn)的教育過程，它對(duì)于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)體系、熟練掌握數(shù)學(xué)研究方法、發(fā)展理性思維能力以及提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有不可忽視的重要價(jià)值.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教育者應(yīng)當(dāng)強(qiáng)化代數(shù)推理教學(xué)的意識(shí)，充分利用各類教學(xué)資源，將代數(shù)推理教學(xué)置于數(shù)學(xué)教學(xué)核心地位，確保其在數(shù)學(xué)教育體系中的應(yīng)有地位.然而，代數(shù)推理教學(xué)并非一蹴而就，教育者需精準(zhǔn)把握教學(xué)的“度”，避免陷人“為推理而推理”的誤區(qū)，從而確保教學(xué)過程的科學(xué)性和有效性.這要求教育者全面而深入地理解“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容，精準(zhǔn)識(shí)別代數(shù)推理能力在教學(xué)過程中的孕育點(diǎn)和增長(zhǎng)點(diǎn).以此為基礎(chǔ)，循序漸進(jìn)地展開數(shù)學(xué)表達(dá)和推理論證的教學(xué).代數(shù)推理能力的發(fā)展是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，在數(shù)學(xué)活動(dòng)的實(shí)踐中逐步實(shí)現(xiàn)的.課堂作為育人的主要場(chǎng)所，應(yīng)高度重視過程教學(xué)，適當(dāng)放緩教學(xué)節(jié)奏，設(shè)計(jì)具有啟發(fā)性的推理任務(wù)，使學(xué)生能夠親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的推導(dǎo)過程，以及公式、定理、法則和性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程.在此過程中，教育者應(yīng)給予學(xué)生充分的時(shí)間進(jìn)行動(dòng)手操作、體驗(yàn)探索、思考質(zhì)疑和辨析闡述等數(shù)學(xué)活動(dòng)，將代數(shù)推理能力的培養(yǎng)有機(jī)地融人這些過程之中，鼓勵(lì)學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)和深度思考，自主領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的原理、規(guī)律以及思考方法.

2發(fā)掘教學(xué)資源，構(gòu)建代數(shù)推理情境

深入挖掘多種教學(xué)資源，精心構(gòu)建一個(gè)富有啟發(fā)性的代數(shù)推理情境，旨在激發(fā)學(xué)生的思維活力，培養(yǎng)他們的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).一方面，教師可以尋找或創(chuàng)造一些與完全平方公式相關(guān)的日常生活實(shí)例，如花園設(shè)計(jì)（正方形花壇內(nèi)種植不同花卉形成的圖案面積計(jì)算）、建筑設(shè)計(jì)（利用完全平方公式計(jì)算房間地毯或瓷磚鋪設(shè)所需數(shù)量）等，以此作為教學(xué)導(dǎo)人，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系.另一方面，再充分利用多媒體課件、動(dòng)畫或互動(dòng)軟件來(lái)展示完全平方公式的推導(dǎo)過程，以動(dòng)態(tài)變化的圖形幫助學(xué)生直觀理解公式的形成，并合理設(shè)置引導(dǎo)問題，這樣便能夠讓學(xué)生在不斷觀察和思考的過程中建立起良好的代數(shù)推理能力.

例如 針對(duì)觀察下列運(yùn)算及其運(yùn)算結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（m+3）²=（m+3）（m+3）=; （2+3x）²=（2+3x）（2+3x）=.

再列舉兩例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)，并用幾何圖形來(lái)解釋完全平方公式.

依據(jù)之前的分析，為了著重提升學(xué)生的代數(shù)推理能力，我們精心策劃了一系列情境與問題.這些設(shè)計(jì)旨在引導(dǎo)學(xué)生通過觀察與類比的方式，深入探索并理解相關(guān)數(shù)學(xué)公式.

任務(wù)1發(fā)現(xiàn)“完全平方公式”，計(jì)算下列各式：

（1） ）（x+y）（m-n）

（ 2）（a-b）（x-y）

（3） （m+1）（m+1） （4） （a+3）² . （5） （2a+5）²

問題1觀察上面5個(gè)運(yùn)算后的式子，式子的左邊和右邊分別有什么特點(diǎn)？

問題2 觀察式子（3）（4）（5），有什么共同特征？

問題3 你能用一個(gè)一般化的式子表示這個(gè)特征嗎？

數(shù)學(xué)家莫雷主張，數(shù)學(xué)是一門高度抽象的科學(xué)，其各個(gè)組成部分均基于演繹推理展開.在提升代數(shù)推理能力的過程中，深入理解抽象概念至關(guān)重要.教師應(yīng)深刻認(rèn)識(shí)到代數(shù)推理在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力方面的重要作用，并善于利用教材等教育資源來(lái)開展代數(shù)推理教學(xué)，以便能夠有效鍛煉學(xué)生的演繹推理能力.

3設(shè)定代數(shù)推理任務(wù)，加深對(duì)代數(shù)推理的認(rèn)知

當(dāng)學(xué)生結(jié)束對(duì)“完全平方公式”的初步探索后，教師應(yīng)順勢(shì)而為，引導(dǎo)學(xué)生深人展開該公式的代數(shù)推導(dǎo)，以此強(qiáng)化他們的代數(shù)推理能力.此外，通過解析該公式的語(yǔ)言描述和構(gòu)建其背后的幾何意義，可以進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)“完全平方公式”的理解．為此，可進(jìn)行如下設(shè)計(jì)，旨在將學(xué)習(xí)活動(dòng)推向更深層次.

任務(wù)1要求學(xué)生回顧完全平方公式的推導(dǎo)過程，理解公式中各項(xiàng)的來(lái)源和意義.通過小組討論或個(gè)體思考，學(xué)生需要能夠清晰地解釋為什么 （a+ b）² 會(huì)展開為 a²+2ab+b² ，并嘗試自行推導(dǎo) （a- b）² 的展開形式.

任務(wù)2給出一些包含完全平方公式的代數(shù)式，要求學(xué)生通過觀察和推理，將其化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)形式.例如，給定代數(shù)式 4x²+12xy+9y² ，學(xué)生需要識(shí)別出這是 （2x+3y）² 的展開形式，并據(jù)此進(jìn)行化簡(jiǎn).

任務(wù)3設(shè)計(jì)一些實(shí)際問題或方程，要求學(xué)生利用完全平方公式進(jìn)行求解.例如，給定方程 x²+ 6x+9=16 ，學(xué)生需要識(shí)別出左側(cè)是 （x+3）² 的展開形式，并據(jù)此進(jìn)行方程的求解.

任務(wù)4鼓勵(lì)學(xué)生思考完全平方公式在更廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用，如二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、幾何圖形的面積計(jì)算等，以進(jìn)一步加深對(duì)公式的理解和掌握.

通過這一系列推理任務(wù)的設(shè)定和實(shí)施，學(xué)生不僅能夠加深對(duì)完全平方公式的理解和記憶，更重要的是，他們將在推理過程中鍛煉和提升代數(shù)思維能力，學(xué)會(huì)如何運(yùn)用數(shù)學(xué)工具和邏輯方法解決問題，這對(duì)于他們未來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活都將產(chǎn)生積極的影響.

4關(guān)注推理過程，培養(yǎng)代數(shù)推理技能

在教授“完全平方公式”時(shí)，教師不應(yīng)僅滿足于公式的直接呈現(xiàn)和記憶，而是將重心放在引導(dǎo)學(xué)生通過一系列邏輯推理來(lái)發(fā)現(xiàn)和理解這一公式.可從簡(jiǎn)單的平方和與平方差公式出發(fā)，通過類比和擴(kuò)展，逐步引導(dǎo)學(xué)生探索 （a+b）² 和 （a-b）² 的展開形式.在這個(gè)過程中，鼓勵(lì)學(xué)生提出問題、進(jìn)行猜想，并通過具體的數(shù)值代入和驗(yàn)證來(lái)檢驗(yàn)他們的猜想.

為了加強(qiáng)推理的深度和廣度，可設(shè)計(jì)多種形式的練習(xí)和探究活動(dòng).例如，要求學(xué)生嘗試用不同的方法推導(dǎo)完全平方公式，如通過圖形面積的計(jì)算來(lái)直觀展示公式的幾何意義，或者通過代數(shù)式的恒等變形來(lái)驗(yàn)證公式的正確性.這些活動(dòng)不僅能讓學(xué)生掌握公式的具體形式，更關(guān)鍵的是促使他們領(lǐng)悟公式所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)及其背后的推理機(jī)制.此外，還應(yīng)該注重學(xué)生的批判性思維技巧與解決實(shí)際問題的能力提升.在探究過程中，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑、反思和修正自己的推理過程，學(xué)會(huì)從多個(gè)角度審視問題，并嘗試用不同的方法解決問題.這種思維方式的培養(yǎng)，不僅有助于學(xué)生在代數(shù)學(xué)習(xí)中取得更好的成績(jī)，更能夠?yàn)樗麄兊慕K身學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

例如問題1，讓學(xué)生使用不同的方法去探究公式 （a-b）² ；問題2，通過使用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算公式 （5+3p）² 、 （2x-7y）² ！ （-2a-5）² ；問題3，計(jì)算公式 （a+b+c）²

這一流程本質(zhì)上是運(yùn)用完全平方公式解決具體問題的過程，同時(shí)也蘊(yùn)含了深刻的推理.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自主探索 （a-b）² ，他們可以依據(jù)多項(xiàng)式相乘的法則得出、可以是幾何圖形直觀呈現(xiàn)、更可以從減法是加法的逆運(yùn)算考慮，將 （a-b）² 看成[a+（-b）]² ，從而在兩個(gè)公式間建立起本質(zhì)的聯(lián)系，進(jìn)而促進(jìn)代數(shù)推理能力的提升.在引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，不能僅將其簡(jiǎn)化為代入公式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的過程，這樣的簡(jiǎn)化處理會(huì)讓學(xué)生難以領(lǐng)悟到運(yùn)算背后的推理本質(zhì).在筆者的教學(xué)實(shí)踐中，當(dāng)學(xué)生正確利用公式完成計(jì)算后，筆者會(huì)進(jìn)一步追問：“為什么要這樣計(jì)算？”這不僅是在詢問計(jì)算的步驟，更是在要求學(xué)生深入理解計(jì)算背后的原理.事實(shí)上，這一流程遵循了標(biāo)準(zhǔn)的演繹推理模式，與（a+b+c）² 的推理過程相吻合，只是在實(shí)際操作中往往被省略.

5把握教學(xué)契機(jī)，優(yōu)化代理推理過程

現(xiàn)實(shí)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多公式、法則的學(xué)習(xí)探究都是通過歸納、類比得到的，但僅停留在合情推理層面，缺少嚴(yán)密的演繹過程.盡管部分運(yùn)算法則、規(guī)律（如有理數(shù)、實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律）的嚴(yán)格證明確實(shí)超出了初中數(shù)學(xué)的知識(shí)范疇，教學(xué)中可以適度簡(jiǎn)化.但是，也有不少法則、規(guī)律的探究可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相關(guān)演繹推理活動(dòng).

例如在教學(xué)“去括號(hào)”時(shí)，不能僅通過填表操作、觀察發(fā)現(xiàn)，得到“去括號(hào)法則”.這樣的學(xué)習(xí)，思考層次明顯欠缺深度，不利于代數(shù)推理能力的培養(yǎng).可以設(shè)計(jì)問題：“你能說(shuō)明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是正確的嗎？”讓學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由合情推理到演繹推理的全過程，了解“去括號(hào)法則”與“乘法分配律”的本質(zhì)聯(lián)系，即“去括號(hào)法則”是依據(jù)“乘法分配律”演繹推理的結(jié)果.再如二次根式中的分配律演繹推理的結(jié)果.再如，將二次根式中 發(fā)展學(xué)生的推理能力貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程.再例如，在二次函數(shù)教學(xué)時(shí)，研究\"函數(shù) y=（x+3）² 的圖象與函數(shù) y=-x² 的圖象之間有什么關(guān)系”等問題的過程中，便可進(jìn)行如下設(shè)計(jì)：由于圖象是由點(diǎn)構(gòu)成的，圖象的平移歸根到底是點(diǎn)的平移，怎么體現(xiàn)所有點(diǎn)的平移，只要任取一點(diǎn)即可，所以在函數(shù) y=-x² 的圖象上面任取一點(diǎn) P（x，y） ，點(diǎn) P（x，y） 向左平移3個(gè)單位得到P^′（x-3，y） ，這樣只需要講明 p^′ 在函數(shù) y=- （x+3）² 的圖象上即可.

6鼓勵(lì)反思總結(jié)，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的深化

反思不應(yīng)僅限于學(xué)習(xí)結(jié)束時(shí)的總結(jié)，而應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中，實(shí)現(xiàn)持續(xù)的自我監(jiān)控.這意味著在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的各個(gè)環(huán)節(jié)，如操作、觀察、計(jì)算、思考時(shí)，都應(yīng)適時(shí)地進(jìn)行檢驗(yàn)、調(diào)整、評(píng)估與反思.這是一個(gè)深人自我剖析、細(xì)致思考及提升推理能力的過程.

例如在教授\"完全平方公式”這一數(shù)學(xué)概念時(shí)，我們著重于對(duì)整個(gè)課程內(nèi)容的系統(tǒng)歸納與深度剖析，旨在通過整理研究流程及策略，引領(lǐng)學(xué)生深入洞察數(shù)學(xué)研究方法的核心邏輯，并真切體會(huì)到數(shù)學(xué)推理所承載的關(guān)鍵價(jià)值.具體而言，可設(shè)置具有反思性質(zhì)的提問環(huán)節(jié)，如：請(qǐng)學(xué)生整理并概述本節(jié)課所探討的主題及探索路徑；其次，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考，提出更多值得探究的問題.反思不僅是思維進(jìn)步的表現(xiàn)，更是促進(jìn)學(xué)生推理能力、批判性思維及創(chuàng)造性思維等高階認(rèn)知能力發(fā)展的源泉.《美國(guó)州共同核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》與PISA評(píng)估體系均強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)推理能力中反思的重要性.本節(jié)課，引導(dǎo)學(xué)生回望完全平方公式的探索之旅，回顧從符號(hào)抽象、運(yùn)算操作到推理思維的形成過程，包括體驗(yàn)、總結(jié)、應(yīng)用、拓展及知識(shí)間關(guān)聯(lián)的建立，從而在多項(xiàng)式與完全平方公式之間架起知識(shí)與思維方法的橋梁，強(qiáng)化了學(xué)生代數(shù)推理技能，從而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、運(yùn)算技巧、推理能力等綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)及解決實(shí)際問題的能力.

7結(jié)語(yǔ)

通過對(duì)初中代數(shù)推理教學(xué)路徑的深人探究，并進(jìn)行實(shí)證分析，可知通過合理采用循序漸進(jìn)、由具體到抽象的教學(xué)策略，結(jié)合生活實(shí)例與圖形輔助，能夠有效提升學(xué)生的代數(shù)推理能力.因此，在初中代數(shù)教學(xué)中，重視推理路徑的構(gòu)建與優(yōu)化，切實(shí)增強(qiáng)學(xué)生的代數(shù)推理教學(xué)意識(shí)，合理應(yīng)用教學(xué)資源，這樣便能夠?qū)⒋鷶?shù)推理教學(xué)提升到應(yīng)有的高度，以便能夠最大限度地提升初中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和綜合能力.

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