高中數(shù)學函數(shù)解題中化歸思想的合理運用

摘 要：文章圍繞高中數(shù)學課程教學，將人教A版教材內(nèi)容作為舉例依據(jù)，針對高中數(shù)學函數(shù)解題教學實踐，在概述“化歸思想”內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，采取典型例題分析的論述方式，從“函數(shù)定義域問題”“函數(shù)值域問題”“函數(shù)解析式問題”“函數(shù)奇偶性問題”四個維度總結(jié)“化歸思想”在函數(shù)解題中的具體運用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；函數(shù)問題；解題教學；化歸思想

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）15-0005-03

收稿日期：2025-02-25

作者簡介：于嘉曦，本科，一級教師，從事高中數(shù)學教學研究。

在高中數(shù)學課程體系中，函數(shù)是四條主線之一，在高考試題里，函數(shù)部分也占據(jù)較大比例。函數(shù)類題型一般綜合性很強，學生在解題時常常無從下手。在解題教學實踐中，部分教師為提高學生解決函數(shù)問題的能力，常采用題海戰(zhàn)術(shù)，幫助學生積累函數(shù)解題的經(jīng)驗與方法。然而，當學生面對新的函數(shù)題型時，卻又會再度陷入無從下手的困境。究其根本原因，主要是學生始終未能掌握數(shù)學問題內(nèi)在的規(guī)律和數(shù)學思想方法。在解決函數(shù)問題時，若能合理運用 “化歸思想”，則可幫助學生簡化問題，提高解題的靈活性，同時促進學生數(shù)學邏輯思維的發(fā)展。因此，在高中數(shù)學函數(shù)解題教學中，教師應(yīng)積極滲透 “化歸思想”，以此優(yōu)化學生的函數(shù)解題體驗，增強學生的函數(shù)解題信心與能力。

1 化歸思想的內(nèi)涵

主體認知的基本規(guī)律是化繁為簡、化新為舊、化未知為已知，在面對一個新問題時，主體往往傾向于利用已有的經(jīng)驗去解決問題，這種解決問題的思維方式就是“化歸”。在數(shù)學領(lǐng)域中，知識與知識之間是相互依存的關(guān)系，而“化歸思想”則是通過將陌生的、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡單的問題，用以達成解決原問題的目的[1]。“化歸思想”中的“化”主要是指將待解決的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡單的問題，“歸”主要是指在解決問題的過程中有明確的對象和目的將問題進行轉(zhuǎn)化。“化歸思想”包括三個關(guān)鍵要素：其一，化歸對象，即待解決問題中需要變換和轉(zhuǎn)化的部分；其二，化歸目標，即將待解決問題轉(zhuǎn)化為既往所學習過的問題；其三，化歸途徑，即在問題轉(zhuǎn)化的過程中采取一定的措施和方法，使待解決問題得到轉(zhuǎn)化。在解題過程中可供學生轉(zhuǎn)化問題的方法較多，所以函數(shù)解題中化歸思想的合理運用能夠提高學生解題的靈活性，是學生高效、正確解題的一個關(guān)鍵途徑。“化歸思想”在問題解決中的運用過程如圖1所示。

由圖1可知，在化歸過程中，將 “待解決的問題 E” 轉(zhuǎn)化為 “待解決的問題 F” 是化歸思想實際運用的第一步驟，也是關(guān)鍵步驟。在將 “問題 E” 轉(zhuǎn)化為 “問題 F” 的這一環(huán)節(jié)中，學生需要結(jié)合題干信息思考和選擇化歸的方式方法，將復(fù)雜的、陌生的、抽象的、特殊化的問題轉(zhuǎn)化為簡單的、熟悉的、直觀的、一般化的問題[2]，從而通過求解 “問題 F” 解決 “問題 E”。所謂 “化歸途徑”，主要是指實現(xiàn)化歸的方法。在高中數(shù)學解題中，可供學生應(yīng)用的化歸方法較多，包括換元法、直接轉(zhuǎn)化法、反解法、配湊法和構(gòu)造法等，其中 “換元法” 是最為常用的解題方法。同時，不同化歸方法均有其各自的適用性，并非任何一種化歸方法都適用于解決各類數(shù)學問題。所以在解題過程中，學生還需要結(jié)合待解決的問題，合理選擇化歸方法，由此才能夠達成轉(zhuǎn)化問題的目標。

2 高中數(shù)學函數(shù)解題中化歸思想的運用

本節(jié)以高中數(shù)學人教A版必修一第三章《函數(shù)的概念與性質(zhì)》教學內(nèi)容為例，總結(jié)化歸思想的具體運用。

2.1 定義域問題

2.1.1 給出具體函數(shù)解析式的情況

在求解函數(shù)定義域問題的過程中運用化歸思想，通常是將待解決的問題轉(zhuǎn)化為求不等式組的解集。

例1 求函數(shù)g（x）=-x2+3x+4lnx的定義域。

解析 觀察該函數(shù)解析式能夠發(fā)現(xiàn)，分子和分母上的代數(shù)式分別存在相應(yīng)的限制條件。結(jié)合課堂所學，函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的所有自變量組成的集合。對于此類函數(shù)，通常要求分母不等于0，若涉及偶次根式等情況還需考慮根號下的式子大于或等于0 。基于這些條件，可以得到一個不等式組：-x2+3x+4≥0，x＞0，lnx≠0， 解這個不等式組可以獲得自變量x的取值范圍，即0＜x≤4，x≠1.所以這個函數(shù)的定義域為（0，1）∪（1，4］。

2.1.2 沒有給出函數(shù)解析式的情況

在函數(shù)解題過程中，學生還有可能會遇見抽象函數(shù)，即并沒有給出具體解析式的一類函數(shù)問題，那么在求解此類函數(shù)問題的過程中，學生需要將已知函數(shù)的定義域作為基礎(chǔ)進行轉(zhuǎn)化。以函數(shù)f（x）與函數(shù)f［g（x）］為例，學生要明確這兩個函數(shù)定義域之間的關(guān)系，假定函數(shù)f［g（x）］的定義域是（n，m），那么學生求出函數(shù)g（x）的值域，就是f（x）的定義域；假定f（x）的定義域是（a，b），那么求解不等式a＜g（x）＜b，就是函數(shù)f［g（x）］的定義域。

例2 已知函數(shù)g（2x）的定義域為［-1，1］，求函數(shù)g（log2x）的定義域。

解析 根據(jù)上述轉(zhuǎn)化的方法與題意，設(shè)υ=2x，則有2-1≤2x≤2，求解不等式可以獲知函數(shù)g（υ）的定義域是［12，2］。若υ=log2x，則有12≤log2x≤2，求解不等式可以獲得函數(shù)g（log2x）的定義域2≤x≤4，即［2，4］。

在求解抽象函數(shù)定義域問題時，教師還應(yīng)引導(dǎo)學生率先確定所求的自變量是什么，在例2中，對于函數(shù)g（υ），其自變量是υ，對于函數(shù)g（2x）與函數(shù)g（log2x），其自變量均是x，然后要求學生結(jié)合函數(shù)自變量的不同對實際的問題進行轉(zhuǎn)化。本題中學生需要將函數(shù)g（υ）的定義域轉(zhuǎn)化為y=2x的值域，然后再將g（log2x）的定義域轉(zhuǎn)化為求不等式解集的問題。這一過程中學生將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，用υ分別替代了2x與log2x。

2.2 值域問題

關(guān)于函數(shù)值域問題的求解，若不能直接通過函數(shù)解析式求出函數(shù)的值域，解題過程中學生可以應(yīng)用自變量與因變量對調(diào)的反解方式，（把y=f（x）轉(zhuǎn)化為x=g（y））將求函數(shù)值域的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)定義域的問題。

例3 求函數(shù)y=3x+1x-4的值域。

解析 觀察函數(shù)解析式可以發(fā)現(xiàn)本題無法直接判斷出這個函數(shù)的值域，但是這個函數(shù)的定義域可以輕松計算得出，即x≠4。對此考慮應(yīng)用反解的方式將自變量x用因變量y來表示，則有x=1+4yy-3，將函數(shù)y=3x+1x-4的值域問題轉(zhuǎn)化為反函數(shù)的定義域問題，結(jié)合題意這個函數(shù)的定義域為x｜x≠4，則有1+4yy-3≠4，y≠3，解得y≠3.由此可以求出函數(shù)y=3x+1x-4的值域為y｜y≠3.

由上述例題可知，應(yīng)用反解法求函數(shù)的值域，其關(guān)鍵在于自變量與因變量的對調(diào)。解題教學中，教師應(yīng)強調(diào)此種方法適用于函數(shù)定義域明顯，但值域較難求出的函數(shù)，則應(yīng)鼓勵學生在應(yīng)對此種函數(shù)問題時運用反解法將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。除反解法外，如果自變量與因變量并不易于對調(diào)，教師還可以向?qū)W生滲透用換元法求函數(shù)的值域，將待求的函數(shù)轉(zhuǎn)化為另一個自己熟悉的函數(shù)，如二次函數(shù)、三角函數(shù)等，從而將求解過程化難為易，快速求出函數(shù)的值域。

2.3 解析式問題

2.3.1 應(yīng)用配湊法求函數(shù)解析式

在求解函數(shù)解析式的過程中，學生可以應(yīng)用配湊法，在已知g［h（x）］=G（x）的情況下，將解析式等號右側(cè)的G（x）通過加、減、乘、除等運算使之變形成為關(guān)于h（x）的表達式，然后再將h（x）看作一個整體，以x代之得到函數(shù)g（x）的解析式。

例4 若g（x+1x）=x2+1x2，求函數(shù)g（x）的解析式。

解析 觀察解析式可以發(fā)現(xiàn)等號的兩邊都含有x+1x的形式，所以可以考慮優(yōu)先使用配湊法對函數(shù)解析式進行轉(zhuǎn)化，對解析式的右邊進行配湊可以得出g（x+1x）=（x+1x）2-2.設(shè)x+1x=t，則g（x）=t2-2，若x＞0，則根據(jù)不等式可得出t≥2，當x∈R時，y=x+1x為奇函數(shù)，所以當x＜0時有t≤-2，故t≥2.綜上可得出函數(shù)g（x）的解析式為g（x）=x2-2，（x≥2）。

由上述解題過程可知，本題求解的難點主要在于自變量t的定義域，所以教師需要強調(diào)要求的定義域是y=x+1x的值域。

2.3.2 應(yīng)用換元法求函數(shù)解析式

實質(zhì)上，化歸思想中換元法是一種應(yīng)用較為廣泛的方法，所以關(guān)于求函數(shù)解析式的問題，解題過程中如果無法應(yīng)用配湊法轉(zhuǎn)換解析式，那么學生可以應(yīng)用換元法進行解析式的轉(zhuǎn)換，將陌生的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)問題。

例5 已知h（1-sinx）=cos2x，求函數(shù)h（x）的解析式。

解析 觀察已知條件可以發(fā)現(xiàn)，sinx與cosx之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，即sin2x+cos2x=1，將sin2x+cos2x=1轉(zhuǎn)換并代入已知條件中，則有h（1-sinx）=1-sin2x。此時如果仍采取配湊法，則不能夠湊出一個多項式“1-sinx”，所以考慮應(yīng)用換元法引入新元“n”，令1-sinx=n，則sinx=1-n，將其代入h（1-sinx）=cos2x中，則有h（n）=1-（1-n）2=2n-n2，其中sinx的取值范圍為-1≤sinx≤1，則可以求出n的取值范圍為0≤n≤2，由此可以得出函數(shù)h（x）的解析式為h（x）=2x-x2（x∈［0，2］）。

由例5可以看出，應(yīng)用換元法求函數(shù)解析式的原理與用換元法求函數(shù)值域的原理相同，都是對函數(shù)的解析式進行轉(zhuǎn)化。對于本題的解題教學，教師應(yīng)引導(dǎo)學生引入新元，即令1-sinx=n，同時還需要著重提醒學生在換元的過程中注意新元的取值范圍。在本題中，新元n的取值范圍就是y=1-sinx的值域。

3 結(jié)束語

綜上所述，通過例題分析可以明確，在解決高中函數(shù)問題的過程中，學生可以基于“化歸思想”采取反解法、配湊法、換元法、性質(zhì)法等轉(zhuǎn)化待解決的函數(shù)問題，從而實現(xiàn)高效解題。所以在函數(shù)解題教學中，教師應(yīng)鼓勵學生運用化歸思想去轉(zhuǎn)化所求問題，輔助規(guī)范學生化歸的過程，并利用日常的變式訓(xùn)練提高學生各種化歸思想方法的實際運用能力，從而使學生的函數(shù)解題能力得到有效提升。

參考文獻：

［1］ 代洪祥。高中數(shù)學函數(shù)解題中化歸思想的合理運用[J]。數(shù)理天地（高中版），2024（15）：54-55。

[2] 黃文欽。化歸思想在高中數(shù)學解題過程中的應(yīng)用探究[J]。云南教育（中學教師），2021（10）：31-32.

［責任編輯：李慧嬌］