從高中教材典型問題到高考數(shù)學(xué)試題(上)

在教育部“雙減”“雙休”政策推進(jìn)下，2025級高三新生將獲得相對較多的自主學(xué)習(xí)時(shí)間，如何才能用好這些時(shí)間（尤其是暑假），為9月份高三年級的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)，就很有講究，我們下面僅針對數(shù)中提煉試題，非常耽誤師生的時(shí)間，教材中的典型問題挖掘也費(fèi)時(shí)費(fèi)力．下面，我嘗試著把這些工作為大家整理好了，文中所述的教材主要是指人教A版高中數(shù)學(xué)教材（也適當(dāng)兼顧其他版本，如蘇教版教材等），我們將整個(gè)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容整合為七個(gè)部分，由于文章較長，擬分上、下兩個(gè)專題刊出．專題上具體分別為：集合、復(fù)數(shù)、常用邏輯用語、基本不等式；函數(shù)及其性質(zhì)、導(dǎo)函數(shù)與不等式綜合與三角函數(shù)（含平面向量與解三角形）三個(gè)部分；專題下具體分別為：數(shù)列（數(shù)列的通項(xiàng)與求和）、立體幾何（含空間向量法）、平面解析幾何、概率與統(tǒng)計(jì)（含計(jì)數(shù)原理）四個(gè)部分．每篇文章主要以教材溯源、聯(lián)系高考真題、評注、重點(diǎn)內(nèi)容同步練習(xí)及其答案四個(gè)部分組成，考慮到版面，絕大多數(shù)的教材題目與高考真題的詳細(xì)答案都略去了（除了個(gè)別個(gè)性化解答）.

【典例剖析】

【典例1】解集的正確表述

【教材溯源】（蘇教2021版選擇性必修第一冊P70復(fù)習(xí)題第16題）設(shè) b 為實(shí)數(shù)，若直線 y=x+b 與曲線 x 恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求 b 的取值范圍（用集合表示）．（參考答案： ）

【聯(lián)系高考真題】（2006年江蘇卷第16題）不等式 的解集為 ：（參考答案：（-3 ， ）U{1}）

【評注】要注意離散的數(shù)集集合與連續(xù)的數(shù)集集合（比如實(shí)數(shù)集上的區(qū)間）取并集時(shí)，其中某些孤立元素的書寫方式，完全類似的，單元素坐標(biāo)集的書寫不要忘了坐標(biāo)的括號.

【典例2】二元背景不等式的最值

【教材溯源】1.（人教2019版必修第一冊P58習(xí)題第5題）若 Ψ_a ， bgt;0 ，且 ab=a+b+3 ，則 ab 的取值范圍為 ·（參考答案： [9，+∞） ）2．（蘇教2020版高中數(shù)學(xué)必修第一冊P97第13題）已知正數(shù) x ， y 滿足 x+2y=1 ，求 的最小值.（參考答案： ）

【聯(lián)系高考真題】

【聯(lián)系1】（2022年新高考全國Ⅱ卷，第12題）若x ， y 滿足 x²+y²-xy=1 ，則（

A. x+y≤1 B. x+y≥-2 （2 C. x²+y²≤2 （204 D. x²+y²≥1

【聯(lián)系2】（2021年天津卷，第13題微改動）若 agt; 0， bgt;0 ，則 +的最小值為

【解析】這道題我們可以通過巧妙采用“凍結(jié)變量法”（暫時(shí)視變量 b 為常量），具體求解如下，已知 agt; 0， bgt;0 ，則 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取得最小值.

【評注】類似于條件等式背景下的二元函數(shù)，一般不采取直接代入方式，多會采用整體代入觀點(diǎn)，但凡事都有兩面性，也不排除有時(shí)需要利用代入消元法處置的情形．這類問題的一般性提法可以為：已知 ，求 ax+by 的最小值（其中 A ， B ，C，a，b 為正常數(shù)）．求解這類問題的通法可以為： 即 ax+by 的最小值為

當(dāng)然，有時(shí)也會采用“凍結(jié)變量法”處理，所謂“凍結(jié)變量法”，主要是針對多元（我們這里以二元為例）背景的函數(shù)研究其最值時(shí)，暫時(shí)將其中一個(gè)變量視為“常數(shù)”（稱為保留變量），此時(shí)求得最值必然是“保留變量”，接著再研究關(guān)于保留變量的函數(shù)的最值，如果此過程不等號方向一致，就可以求出這個(gè)二元函數(shù)的最值.

【典例3】函數(shù) 的最值/值域

【教材溯源】（蘇教必修第一冊P252第12題）設(shè)函數(shù) f（x）=cos²x-sinx+a ，其中 ，討論函數(shù) f（x） 在 的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（蘇教必修第二冊P87第10題）函數(shù) f（x）=cos2x

數(shù)學(xué)有數(shù)

-6cosx+1 的值域是（

C.[-4，8]

【聯(lián)系高考真題】

（2019年課標(biāo)I卷文·第15題）函數(shù) f（x）=sin 的最小值為

（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo) I 卷文科·第17題）ΔABC 的內(nèi)角 A ， B ， C 的對邊分別為 Ψ_a ， b ， ∣c∣ ，已知

（1）求 A ；（2）若 ，證明： ΔABC 是直 角三角形.

【評注】函數(shù) f（x）=Acos²x+Bsinx+C 的最值/值域問題，主要要抓住式中sinx或cosx一次項(xiàng)，進(jìn)行等價(jià)換元轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于新變元的定義在局部區(qū)域上的二次函數(shù)問題.

【典例4】三角函數(shù)背景下的齊次分式求值

（蘇教新版必修第一冊之P181第15題）

（1）設(shè) tanα=2 ，計(jì)算 （2）設(shè) 計(jì)算

【說明】完全類似地，如人教2019版必修第一冊P253第4題，此處略.

【聯(lián)系高考真題】

（2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）若 tanθ=-2 則

2 A. B. C. D. 5

（參考答案：C）

【評注】為什么此時(shí)可以不用具體求出 sinθ 、 cosθ 的值，而得到要求表達(dá)式的值，此類問題的本質(zhì)是齊次分式可以使問題在形式上實(shí)現(xiàn)“減元”（即由求sinθ 、 cosθ 兩個(gè)元變?yōu)榍蠖咧蹋磘anθ的一個(gè)元），且這種思路不局限于三角問題，有時(shí)在多變量背景的代數(shù)問題（如函數(shù)、不等式最值等問題）中也

會用到類似的處理辦法.

此類問題的一般化思考：

（20 ① 齊一次分式：已知 tanα=m 求 的值（其中， d 均為常數(shù)且分母不為0）；② 齊二次分式：已知 tanα=m ，求 的值（其中， ?_m （2號 c₁ ， a₂ ， b₂ ， c₂ 均為常數(shù)且分母不為0）.

【典例5】基于 λ 型三角形結(jié)構(gòu)背景的解三角形問題

【教材溯源】

1.（蘇教2020版必修第二冊P88例6）AM是ΔABC 的邊 BC 上的中線（圖略），求證： ；（完全類似的問題也在人教版必修第二冊P53第15題及人教版選擇性必修第一冊P79第12題出現(xiàn)）；

2.2020版必修第二冊P93例5：在 ΔABC 中， （20AD 是角 ∠BAC 的角平分線（圖略），求證：0（變式拓展）：求角平分線 AD 的長度.

【聯(lián)系高考真題】（2021年全國新高考Ⅰ卷第19題）記 ΔABC 是內(nèi)角 A ， B ， C 的對邊分別為 α_a ， b ， ∣c∣ 已知 b²=ac ，點(diǎn) D 在邊 AC 上， BDsin∠ABC=asinC. （1）證明： ；（2）若 AD= 2DC ，求cos∠ABC

【評注】如圖所示，這類題目破題的關(guān)鍵經(jīng)常要用好聯(lián)系兩個(gè)三角形 ΔADB 及 ΔADC 的“橋梁邊” _AD 及互補(bǔ)角 ∠ADB 及 ∠ADC （這兩個(gè)角的正弦相等，從而可能聯(lián)系正弦定理，同時(shí)，這兩個(gè)角的余弦是互為相反數(shù)，又可聯(lián)系余弦定理），不妨將這種由三角形一個(gè)頂點(diǎn)和其對邊上一點(diǎn)連接起來的三角形系統(tǒng)稱為“ λ 型三角形背景結(jié)構(gòu)問題”，（去掉底邊線段，很象字母 λ ，很顯然，我們熟知的三角形中線長問題、內(nèi)角平分線定理都是這類 λ 型三角形背景結(jié)構(gòu)問題，如圖 ΔABC ，任取三角形一個(gè)頂點(diǎn)（比如 A 點(diǎn)），點(diǎn) D 在邊 BC 上，連接 AD ，這樣的圖形就是我們所說的 λ 型三角形，一般地，如下圖，已知 ΔABC 中， BC=a ，

CA=b ， AB=C ，點(diǎn) D 在邊 BC 上， BD：DC=u：v ，連接 AD ，求線段 AD 的長．破題核心要害，記 ∠ADB =θ ，于是分別對 ΔADB 和 ΔADC 用余弦定理有：

兩式聯(lián)立，消去 cosθ 即容易求解下去（余略），其實(shí)這就是著名斯臺沃特定理，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，我們很多常見的情形（包括2021年全國新高考卷第19題都是這個(gè)定理的特例）

【典例6基于射影定理（余弦定理）的解三角形問題

【教材溯源】

（蘇教2020年7月第1版（2023年11月）必修第二冊P95）用余弦定理證明：（ 1）a=bcosC+ccosB（ 2）b=ccosA+acosC（ 3）c= acosB+bcosA

【聯(lián)系高考真題】

1．（2023年全國乙卷文第4題）在 ΔABC 中，內(nèi)角 A ， B ， c 的對邊分別是 Δ_a ，b， ∣c∣ ，若 acosB-bcosA =c 且 則， ∠B=

A. B. C. 3T D. 10

2．（2024年甲卷理第11題）在 ΔABC 中，內(nèi)角A， B ， c 所對邊分別為 ，若 ac ，則 sinA+sinC= （ ）

A. B. C. D.

【評注射影定理三式均可以從余弦定理直接推出，有的試題如果巧妙利用射影定理可以快速解決一些解三角形問題.

【典例 7]g（x）=Asin²x+Bsinxcosx+Ccos²x 型三角函背景問題研究

【教材溯源】

（人教2019版必修第一冊P255第20題）已知函數(shù) f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x

（1）求函數(shù) f（x） 的最小正周期；（2）當(dāng) x∈ 時(shí)，求 f（x） 的最小值以及取得最小值時(shí) x 的

集合.

【評注】完全類似的問題，如蘇教新版必修第二冊P79第16題、蘇教新版必修第二冊P81第15題等等，此處略．類似一般問題：已知 g（x）=Asin²x+ Bsinxcosx+Ccos² ，其中 A ， B ， c 是與 x 無關(guān)的常數(shù)，試求函數(shù) g（x） 的單調(diào)遞增區(qū)間；推廣問題的一般處理思路：

cos2x+Bsin2x+（（C+A）] ，再將前兩項(xiàng)化為單一三角函數(shù)的形式，隨后的問題的處理已無實(shí)質(zhì)性困難了（余略）.

【典例8】（連等式背景及其典型情境：指數(shù)式環(huán)境、對數(shù)式環(huán)境、三角形正弦定理等）

【教材溯源】（蘇教必修第二冊P114第10題）在ΔABC 中， sinA：sinB：sinC=3：5：7 ，則 c= （204號

A. 30^° B. 60^° C. 120^° D. 150^°

【聯(lián)系高考真題】

（2011年全國新課標(biāo)卷理第16題）在 ΔABC ， B= 60^° ， ，則 AB+2BC 的最大值為 ·（本題的詳細(xì)解題過程，此處略，參考答案： ）.

【評注】連等式背景問題，我們經(jīng)常引入一個(gè)公共常數(shù)（也稱為橋變量），實(shí)現(xiàn)多個(gè)變量的一元化，從而使問題的處理變得簡單.

【典例9】從平面向量的基向量思想出發(fā)解題

【教材溯源】（蘇教第二冊P29習(xí)題遞題）在 ΔABC 中， D E 分別是 _AB 、 AC 中點(diǎn)，用向量 ， 表示向量

【聯(lián)系高考真題】

1．（2020年江蘇卷第13題）在 ΔABC 中， AB= 4， AC=3 ， ∠BAC=90^° ， D 在邊 BC 上，延長 AD 到P ，使得 AP=9 ，若 為常數(shù)），則 CD 的長度是

2．（2019年江蘇卷高考數(shù)學(xué)第12題）如圖，在ΔABC 中， D 是 BC 的中點(diǎn)，E 在邊 _AB 上， BE=2EA ，EC 與 AD 相交于 o 點(diǎn)若 則 $| ＼frac { A B } { A C } ＼rrangle$ 的 的值是

（第12題圖）

【評注】對于一些較為復(fù)雜的平面向量問題，基向量思維極其重要，特別地，若 平面向量一組基，且 ，則點(diǎn) P 在直線BC上.

【典例10】從奇函數(shù)（圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱）、偶函數(shù)（圖像關(guān)于 y 軸對稱）到更一般的中心對稱與軸對稱

【教材源】（人教A版必修第一冊P87第13題）我們知道，函數(shù) y=f（x） 的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù) y=f（x） 為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù) y=f（x） 的圖像關(guān)于點(diǎn) 成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù) y=f（x+ a）-b 為奇函數(shù).

（1）求函數(shù) f（x）=x³-3x² 圖像的對稱中心；（2）類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù) y=f（x） 的圖像關(guān)于 y 軸成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù) y=f（x） 為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論.（參考答案： （1）f（x）=x³-3x²=（x-1）³-3（x-1） ^-2 ，對稱中心為（1，-2）；（2）函數(shù) y=f（x） 的圖像關(guān)于直線 x=a 成軸對稱圖形的充要條件是函數(shù) y=f（x+a） 為偶函數(shù)）（蘇教（2020年7月第1版）必修第一冊P149第10 題）求證： 0 -1

【典例11】（抽象函數(shù)背景問題之典型函數(shù)形式）

（蘇教必修第一冊P158第9題）已知 f（x）= log₃x ，求證：

【聯(lián)系高考真題】

（2023年全國新高考I卷第11題）（多選）已知函數(shù)f（x） 的定義域?yàn)镽， f（xy）=y²f（x）+x²f（y） ，則（

A. f（0）=0

B. f（1）=0 （2

C. f（x） 是偶函數(shù)

D. x=0 為 f（x） 的極小值點(diǎn)【核心要點(diǎn)】考慮 xy≠0 的情形，此時(shí)我們可將原

式變?yōu)閒（xy）_f（x）f（y） 將整體化（x） 視為一個(gè)函x2 2 2

數(shù) ，即有 g（xy）=g（x）+g（y） ，聯(lián)想到對數(shù)函數(shù)

的結(jié)構(gòu)具有類似的性質(zhì)，可取g（x）=f（） 略）.

（2022年全國2卷第8題）若函數(shù) f（x） 的定義域?yàn)镽，且 f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y） ， f（1）=1 ，則

A. ^-3 （204號 B.-2 C.0 D.1

【評注】考慮到問題的結(jié)構(gòu)有點(diǎn)像co s（x+y）+ ，不妨令 f（x）=λcosωx ，易求得λ=2 ， （余略）．抽象函數(shù)背景下的問題，從特殊值探路（比如根據(jù)函數(shù)的定義域，可能適當(dāng)?shù)厝?x= 0，1， ^-1 等）是我們處理類似問題的典型辦法，同時(shí)，如果能聯(lián)想到有關(guān)具體函數(shù)可能具有的性質(zhì)（比如對于指數(shù)函數(shù)有 f（x+y）=f（x）?f（y） ，對于對數(shù)函數(shù)有 f（x?y）=f（x）+f（y） 等）容易打開我們的思路，為我們進(jìn)一步解決問題指明方向．因此，熟悉一些典型函數(shù)（比如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）的性質(zhì)對于我們求解一些抽象背景描述的函數(shù)問題，是十分有益的.

【典例12】（抽象函數(shù)背景之單調(diào)性逆問題）

【教材源】

（蘇教2020版必修第一冊P114習(xí)題5.3第4題）設(shè) a 為實(shí)數(shù)，已知函數(shù) y=f（x） 在定義域R，上是減函數(shù)，且 f（a+1）gt;f（2a） ，求 Δ_a 的取值范圍．（參考答案： （1，+∞） ）.

【聯(lián)系高考真題】

（2020年全國卷I理，第12題）若 2^a+log₂a=4^b+ 2log₄b ，則（

A. agt;2b （20 B. alt;2b （204 C. agt;b² （204 D. c2

【評注】本小題考查考生對函數(shù)單調(diào)性的逆向應(yīng)用，以及兩個(gè)單調(diào)性相同的函數(shù)之和在二者公共定義區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，考查考生在特定情境下的化歸與轉(zhuǎn)化能力與逆向思維運(yùn)用能力.

【典例13】夾逼法例談

【教材溯源】

（人教2019版高中數(shù)學(xué)必修第一冊P55習(xí)題2.3

第2（2）題）當(dāng)取什么實(shí)數(shù)時(shí)， 有

意義？（參考答案：注意到

由實(shí)數(shù)算術(shù)根有意義的要求，必須， -2（x-3）²≥0 ，然而由實(shí)數(shù)平方的非負(fù)性，必有 -2（x-3）²≤0 ，所以只有 x ⁼³ 方可，也即單元素集{3}為所求，夾逼法在函數(shù)定義域問題下的應(yīng)用）

【聯(lián)系高考真題】

（2021年新高考全國 I 卷·第18題）在△ABC中，角 A 、 B 、 c 所對的邊長分別為 α_a 、b、c， b=a+ 1， c=a+2

（1）若 2sinC=3sinA ，求 ΔABC 的面積;

（2）是否存在正整數(shù) α_a ，使得 ΔABC 為鈍角三角形？若存在，求出 α_a 的值；若不存在，說明理由.

【評注】所謂夾逼法，是源于高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)極限定理的思想，在初等數(shù)學(xué)中，有時(shí)候，在一些數(shù)學(xué)問題解決過程中，特別是當(dāng)問題的“顯然”處理?xiàng)l件不足時(shí)，常常需要我們挖掘問題的隱含條件，比如：通過一番推理得到 a≤f（x₀）≤a 時(shí)，就必有f（x₀）=a ；完全類似地，在求函數(shù)最值時(shí)若有 f（x）≤ Δ_a ，則當(dāng)取等號的條件具備時(shí)，就必有 ，當(dāng)然，我們也經(jīng)常嘗試通過配方或應(yīng)用二次函數(shù)的判別式或利用基本不等式等號成立的條件等等來實(shí)現(xiàn)相等與不等的轉(zhuǎn)化，有時(shí)還需要我們關(guān)注問題條件的特殊性，比如已知參數(shù) Ψ_a 為整數(shù)（或數(shù)列背景，則按照我們一般的約定，數(shù)列的下角標(biāo)只能在正整數(shù)集取值），這些看起來似乎毫不起眼的條件，在特定的問題環(huán)境下就可能起會作用（有時(shí)甚至是決定性的作用）.

【典例14】可因式分解的導(dǎo)函數(shù)

【教材源】

（人教2020版選擇性必修第二冊P104第19題）已知函數(shù) f（x）=ae^2x+（a-2）e^x-x. （20

（1）討論 f（x） 的單調(diào)性;

（2）若 f（x） 有兩個(gè)零點(diǎn)，求 a 的取值范圍.

【評注 ]f^′（x）=2ae^2x+（a-2）e^x-1=（ae^x-1）（2e^x+1） ，導(dǎo)函數(shù)能否因式分解，對問題的難度影響較大），本題難度幾乎與高考題中等以上難度相當(dāng).

【聯(lián)系高考真題】

（2020年全國新高考I卷第21題）已知 f（x）=e^x +ax²-x ，（1）當(dāng) a=1 時(shí)，討論 f（x） 的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0 時(shí)， ，求 Ψ_a 的取值范圍.

【評注】函數(shù)求導(dǎo)之后，為什么要在第一時(shí)間考慮導(dǎo)函數(shù)是否能因式分解呢？因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)的符號決定著函數(shù)的增減，導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn)（稱為駐點(diǎn)）極有可能是函數(shù)的極值點(diǎn)，而他們正是我們劃定單調(diào)區(qū)間的依據(jù)，是我們進(jìn)一步研究這個(gè)函數(shù)性質(zhì)的出發(fā)點(diǎn)，因而具有極其重要的地位，因式分解正是方便我們判斷導(dǎo)函數(shù)的符號的重要一步，如果導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式很方便因式分解，問題的難度立刻就降下來了.

【重點(diǎn)內(nèi)容同步練習(xí)】

1．已知集合 A={1，2，3} ，集合 B={x∣1

A.{1，2，3} B.（1，3）C.[1，2] D．以上答案都不對

2．設(shè)全集 U={1 ，2，4，6，8}，集合 A={8 ，集合 ， ab ， bc ， |ca ，且 A=B ，則C_UA=

3.（多選）已知等差數(shù)列 {a_n} 的公差為 集合 ，若 S={a，b} ，則 a+b= （

1 A. ^-1 B. C.0 D. 2

4.不等式 的解集為

5.（自編原創(chuàng)試題）若 X 是一個(gè)集合， τ 是一個(gè)以 X 的某些子集為元素的集合，且滿足：. ②τ 中任意多個(gè)元素的并集 L∈τ ： ③τ 中任意多個(gè)元素的交集 L∈τ ：則稱 τ 是集合 X 上的一個(gè)拓?fù)?現(xiàn)在已知集合 X={a，b，c} 是一個(gè)三元素集合，對于下面給出的幾個(gè)集合 τ其中是集合 X 上的拓?fù)涞氖?/p>

A. ① B. ② C. ③ （204號 D. ④

6.若 α_a ， bgt;0 ，且 ab=a+b+3 ，則 2a+b 的最小值 為

7．現(xiàn)有命題 p ： ?x ， y∈R ， x²+y²+2x-4y+5gt;0 則命題 p 及其否定（ ）

A．都是真命題

B．都是假命題

C．命題 p 為真命題，其否定為假命題D．命題 p 為假命題，其否定為真命題

8.已知正數(shù) x ， y 滿足 ，試求 的最小值.

9.（2025年4月第十六屆大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽高年級決賽試題第2題微改動）二元函數(shù) y²-3y 的最小值為

10.（不常見的可齊次化三角函數(shù)試題）已知（204號 tanα=m ，求 的值 m³+5m²+5≠0 ）

11． （自編原創(chuàng)）求函數(shù) 的值域.

12.已知 ，且 sinθ+cosθ=a ，其中 Ψ_a 為常數(shù)且 a∈（0， 1） ，則下面關(guān)于 tanθ 的值，不可能正確的是（ ）.

13． （1）若在 ΔABC 中，A， B ， c 所對的邊分別為 Δ_a b ， ∣c∣ ，且 ，則 c （204號 ；（2）若已知正實(shí)數(shù) 滿足 a²+c²+ac=3 ，則 3a+2c 的最大值為

14.設(shè) ，則對于任意實(shí)數(shù) Δ_a ， b ， a+b≥0 是 f（a）+f（b）≤0 的（ ）

A．充分必要條件B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件

【重點(diǎn)內(nèi)容同步練習(xí)參考答案】

1．本題正確答案為D，注意書寫方式（正確答案應(yīng)為 [1，2]∪{3} ）.

2.這道題看起來要進(jìn)行比較復(fù)雜的討論，但是，如果我們注意到集合中元素的互異性、無序性特征，無妨令 a ab ， ca ， bc} ，而 A=B ，立得 a=1 ， bc=8 ，考慮到全集 U={1， 2， 4， 6， 8} ，只有 b=2 ， c=4 ，則 C_UA= {6} ，（注意：不是6而是單元素集合{6}）.

3．依題意，等差數(shù)列 {a_n} 中， 顯然函數(shù) 的周期為3，而 n∈N^* ，即 cosa_n 最多有3個(gè)不同取值，又 ，則在 cosa₁ ， cosa₂ ， cosa₃ 中，必有兩個(gè)相等，又三個(gè)相互夾角 120^° 的余弦和為0，則有 2a+b=0 或者 a+2b=0 ，而利用單位圓知其中相等的兩個(gè)元素為 或者 我們僅考慮 2a+b=0 情形，可知為 （此時(shí) b=-1 ，或者 （此時(shí) b=1 ），于是有 （當(dāng) a+2b=0 時(shí)得到相同的結(jié)果），故本題的正確答案為 B 、D.

4.參考答案：（ ， ）U{1}.

5.對于 ③ 顯然有 ，應(yīng)排除，對于 ①{a} U{c}={a，c}∈τ 也應(yīng)排除， ② 均是集合 X 上的拓?fù)洌时绢}正確的答案為 B 、D.

6.由已知得 Δ_a ， bgt;0 ，且 ab=a+b+3 ，則 （a-1） （b-1）=4gt;0 ，若 （a-1）≤0 ，必有 （b-1）≤0 ，則結(jié)合 題意有 01 ，從而 2a+b=2（a-1）+（b-1）+3≥2 （取等號條件驗(yàn)證略）.

7.本題是一道非常簡單的常用邏輯用語方面的問題，由于 x²+y²+2x-4y+5=（x+1）²+（y-2）² ，當(dāng) x= ^-1 ， y=2 時(shí)， x²+y²+2x-4y+5=0 ，故命題 P ： ?x ， y Ψ∈R ， x²+y²+2x-4y+5gt;0 是假命題，同樣，當(dāng) x=-1 ，y=2 時(shí)，有 x²+y²+2x-4y+5=0 ，故命題 P 的否定：?x ， y∈R ， x²+y²+2x-4y+5≤0 ，是真命題，選D.

8．目標(biāo)表達(dá)式整體不齊次，但如果我們講條件常數(shù)1以乘法的形態(tài)作用于其中的局部 2x+y ，則可帶動全局的解決：由已知 x ， ygt;0 ，且有 從而原式 ，下面驗(yàn)證取等號條件，即 0且 ，即 ， ）時(shí)取等號，所求最小值為

9.破題核心，二元函數(shù)背景下的配方問題，

易知 ，（當(dāng)且僅當(dāng) y=2 ， ^-1 時(shí)不等式取等號），所求最小值為-3.

【評注】原題為：二元函數(shù) f（x，y）=x²+xy+y²-3y 的極小值點(diǎn)為 ：參考答案為（-1，2），即取得最小值的條件（本題的極小值也就是最小值），注意，基于二元二次六項(xiàng)式 F 的代數(shù)恒等變換（因式分解或配方）在近年來高考試題求解中經(jīng)常出現(xiàn)，值得關(guān)注.

10. 原式

【評注】雖然問題表面上并不齊次，但屬于還是可以化成齊次問題的類型；同時(shí)值得指出：如果問題不可能化為齊次式，就必須分類討論，將 sinα 、cosα強(qiáng)行解出，考生必須要注意這一通性通法的學(xué)習(xí)（此例可參見北師大版高中數(shù)學(xué)教材必修第二冊P141例5后的思路，已知tana=3，求sinα+cosα+3自 的值）.

11. 2cosx ，于是 [-1，2）∪（2，3] 為所求（注：這個(gè)函數(shù)的值域不是[-1，3]）.

【評注】注意

12．顯然，由于 a∈（0， 1） ，則 1gt;sinθ+cosθ=agt; 0，若 易由單位圓上的三角函數(shù)的意義，立得 sinθ+cosθ≥1 ，和已知矛盾，從而只有 θ∈ 則 sinθgt;-cosgt;0 ，于是必須有 tanθlt;-1 ，其中只有 滿足此要求，然而本題試題導(dǎo)語是否定性命題，要尋找 tanθ 的不可能值，所以本題正確答案為A、C、D.

13.第一空聯(lián)系

余弦定理得 .

第二空的考查方式是

在關(guān)聯(lián)情境下，屬于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)直觀想象的水平2的要求.要求考生能夠受到問題（1）的形式的啟發(fā)，將代數(shù)條件表達(dá)式跨學(xué)科聯(lián)想到三角形的余弦定理（如圖，為數(shù)配形），可視為 B=120^° ， ，則

下面驗(yàn)證取等號條件，當(dāng)上面不等式取等號時(shí)， ，而 A∈（0^°，60^°） ，所以不等式的等號可取得，綜上，有 3a+2c 的最大值為 ．當(dāng)然，本題還有其他思路的解法（比如齊次減元法等），限于篇幅，此處從略.

14.本題是定義在R上的兩個(gè)奇函數(shù)，單調(diào)減函數(shù) 與 y₂=-2022x²⁰²⁵ 之和，于是， f（x） 是 R 上的兩個(gè)奇函數(shù)，單調(diào)減函數(shù)，從而有對于任意實(shí)數(shù) a ， b ， a+b≥0 是 f（a）+f（b）≤0 成立的充分必要條件，答案為A.

【作者簡介：資深講師，業(yè)余高考數(shù)學(xué)試題研究專家，無錫華羅庚研究會副會長，無錫市濱湖區(qū)科學(xué)教育專家?guī)斐蓡T，從事高考數(shù)學(xué)/物理研究近三十余載，專著五本，在省級以上正式刊物發(fā)表初等數(shù)學(xué)、物理研究文章三百余篇（知網(wǎng)收錄140多篇，多篇文章被人大書報(bào)資料中心轉(zhuǎn)載），完成江蘇省教育科學(xué)“十四五”重點(diǎn)規(guī)劃課題兩項(xiàng)（主持、核心組成員各一），目前主要從事中等、高等數(shù)學(xué)物理跨學(xué)科學(xué)習(xí)研究】

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)