聚焦實踐操作 發(fā)展空間觀念

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2025）23-0070-04

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》指出，空間觀念是指對空間中的物體或圖形的形狀、大小及位置關系的認識。培養(yǎng)空間觀念有助于學生理解現(xiàn)實中物體的形態(tài)與結構，是形成空間想象力的經(jīng)驗基礎。下面筆者以人教版教材六年級下冊“圓柱與圓錐的認識”一課的教學實踐為例，探討如何在問題任務的驅動下，通過想象、觀察、操作、比較等活動，從“點一線一面一體”的角度探究圓柱和圓錐的本質特征，進而發(fā)展學生空間觀念。

一、教學內容分析

“圓柱與圓錐”單元作為小學數(shù)學圖形與幾何領域的最后單元，主要涉及曲面立體圖形的學習，是直柱體學習基礎的延伸，對學生空間觀念的培養(yǎng)具有重要促進作用。依據(jù)《課程標準》，空間觀念的表現(xiàn)被劃分為三個水平（見表1），教學中需緊扣這三個水平設計任務，即應圍繞圖形的表象、結構及運動變化等方面設計問題任務。

表1空間觀念水平劃分

二、教學目標

目標1.學生借助已有經(jīng)驗初步建立圓柱、圓錐的表象；通過活動從點、線、面、體的角度逐步感知圓柱和圓錐的本質特征，實現(xiàn)從實物模型到抽象模型的轉化。

目標2.通過圍、量、展、旋轉、累加等不同層次的動手操作活動，多維度、全面地認識圓柱與圓錐的頂點、高、底面和側面，動靜結合，關聯(lián)二維圖形與三維圖形的轉換關系，提升空間想象力，發(fā)展空間觀念。

目標3.學生通過自主探究，掌握研究立體圖形的一般方法，豐富學習體驗，增強學習信心。

三、教學實踐

（一）新課引入- 圖形分類初步感知

師：大家都在生活中見過圓柱和圓錐嗎？舉例說一說。（學生回答略）

師：看來大家觀察得很細致。這節(jié)課我們就來認識圓柱和圓錐，請按要求找出它們。（出示圖1）

任務一：圖形分類1.下面物體哪些是圓柱、哪些是圓錐？2.請在學習單上畫出你所選圖形的直觀圖（輪廓）。

圖1任務一

生1： ⑦? 是圓柱， ⑤ 是圓錐。生2：我認為 ⑦⑩? 是圓柱， ②⑤⑧ 是圓錐。師：大家都有不同的意見。現(xiàn)在請卸去它們的“外衣”，在學習單上畫出圓柱、圓錐的直觀圖（僅輪廓），然后說說圓柱和圓錐的直觀圖分別由哪些部分組成？（學生回答略）

師：有同學提到了面，有同學提到了高，還有同學描述了形體特征。如果要研究圓柱和圓錐的特征，可以從哪些方面入手呢？

生3：可以從點、線、面的角度入手。

師：你是怎么想到的呢？

生3：我們在五年級學習長方體和正方體的特征時，就是從點、線、面的角度研究的。

【設計意圖】以學生生活經(jīng)驗為切入點，首先借助生活中的實物（感性材料）抽象出幾何圖形（理性認知），將抽象邏輯思維建立在具體感性經(jīng)驗之上；接著結合空間想象，引導學生初步感知圓柱、圓錐的形成過程；最后梳理研究角度，為學生后續(xù)探究圓柱與圓錐的特征明確方向。

（二）新知探究 動手操作探究圖形特征

1.探究面的特征

師：以小組為單位，在學具袋（大小相同或不同的圓片若干；與圓周長相等或不等的長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、扇形各兩個）里選取一些平面圖形，制作一個圓柱和圓錐，并完成任務二（如圖2）。

任務二：動手操作探究圓柱圓錐的特征

1.請用你準備好的紙張，制作一個圓柱、一個圓錐，看一看、摸一摸、滾一滾，量一量，描述它們特征。

2.仔細對比并填表。

圖2任務二

師：你們是如何制作出圓柱和圓錐的？

生1：選1個長方形和1個扇形、2個圓，將長方形的長與圓的周長對齊卷起來，用膠條固定。

生2：用1個正方形和1個扇形、3個大小相等的圓，同樣卷起來對齊邊…

師：你們制作的圓柱和圓錐有哪些特征？

生3：圓柱的兩個底面摸起來平平的，側面是彎曲的；圓錐的底面平平的，側面也是彎曲的。

生4：我發(fā)現(xiàn)圓柱有3個面（上下兩個底面和1個側面），圓錐有2個面（1個底面、1個頂點和1個側面），它們的側面都是曲面且可以展開。

師（出示圖3）：這樣的圖形是圓柱或圓錐嗎？

生5：不是。圓柱是直直的，上下底面是平行的，大小相等。

師：為什么畫圖時圓柱、圓錐的底面常畫成橢圓形？

生6：因為觀察角度不同，這樣畫更美觀。

師：這樣能從視覺上強調對稱性，使圖形更符合直觀認知。滾動圓柱和圓錐時有什么發(fā)現(xiàn)？

生7：它們都需要平放才能滾動。

生8：圓柱平放時沿直線滾動，圓錐則是繞頂點滾動。

師：為什么滾動方式不一樣呢？

生8：圓柱的兩個底面是等圓，周長相等，滾動一周前進距離相同；圓錐只有底面是圓形，所以繞頂點滾動。

2.認識頂點和高師：說說圓柱和圓錐的頂點和高。

生9：圓錐頂部尖尖的是頂點，圓柱沒有頂點。

生10：圓柱有無數(shù)條高，圓錐只有1條高。

生11：圓柱的無數(shù)條高在哪里？

師（出示圖4）：先看這些圓柱模型的高畫對了沒有。（學生回答略）

圖4

師：圓柱的高是上下底面之間的距離。圓柱的高一定要過底面圓心嗎？為什么？

生12：不一定，因為 ④ 的高可以平移，可以是曲面的高度。

師： ② 號圓柱高， ⑤ 號圓柱矮，這是為什么？

生13：因為它們的高度不同。

生14：平行線間距離處處相等，可以畫出無數(shù)條垂線，圓柱的兩個底面是平行的，那么高也是無數(shù)條。如圖5）

圖5

師：圓柱的高是如何測量的？

生15：我在側面上找了一條與高相等的線段進行測量。（如圖6）

圖6

師（出示圖7）：哪條是圓錐的高？

圖7

生16：我選擇右圖，因為從頂點到底面的距離只有一條垂線，它過底面圓心。

師：為什么圓柱有無數(shù)條高，圓錐只有一條高呢？

生17：圓柱的兩個底面之間任意一條垂線都可以作為圓柱的高。圓錐頂點到底面的垂線僅有一條。

師（出示圖8）：圓錐的高是這樣測量嗎？

圖8

生18：不是。這樣是測量母線的長度。

生19：應該像測身高一樣，在頂部放一塊與底面平行的硬紙板，測量兩者間的距離即可。

3.探究側面展開圖

師：將制作好的圓柱、圓錐側面展開，得到的是什么平面圖形？（學生回答略）

師：大家通過將立體圖形轉化為平面圖形制作圓柱、圓錐，現(xiàn)在請邊操作邊描述它們的特征。

【設計意圖通過制作、觀察、比較等活動，學生在自主構建圓柱、圓錐的過程中深入感悟其本質特征。教師通過針對性追問和動態(tài)演示，引導學生直觀感受二維與三維圖形的轉化，體悟“化曲為直\"的數(shù)學思想，發(fā)展空間觀念。

（三）動靜結合感受圖形形成過程

1.旋轉

師（出示圖9）：看到這個旋轉門，你發(fā)現(xiàn)了什么？

圖9

生1：里面的長方形玻璃門旋轉后形成圓柱。

師（出示圖10）：這四個圓柱是怎么用一個長方形旋轉得到的呢？請試著做一做。

圖10

師：從運動視角看，我們發(fā)現(xiàn)了4種旋轉方法，還理清了旋轉前平面圖形與旋轉后立體圖形的關系。（出示圖11）

圖11

師：那圓錐呢？（學生回答略）

2.平移

生2：我可以用硬幣堆起一個圓柱。

師：想象一下，用薄片一片一片向上平移，是否也能形成圓柱？這種操作叫什么？

生3：圖形的平移。

師：圓錐能通過平面圖形的平移得到嗎？

生4：不能，因為圓錐上下底面大小不同，而平移前后圖形的大小和形狀不變。

師：通過旋轉和平移操作發(fā)現(xiàn)平面圖形與立體

圖形可以相互轉化，這有助于從動態(tài)視角理解圖形特征的本質。

3.切

師：如果將圓柱或圓錐切一刀，橫截面可能是什么形狀？（學生回答略）

師（出示圖12）：一起看看動態(tài)演示圖。

（四）回顧總結（略）

【設計意圖】通過旋轉、平移、切割等動態(tài)操作，引導學生直觀感受“面動成體”的維度轉換，深化對底面圓與圓柱、圓錐側面展開圖關系的理解，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，進一步增強空間觀念。

四、對教學的啟示

（一）提供豐富實物素材

學生的空間知識源于現(xiàn)實原型，實物素材是構建圓柱、圓錐表象的關鍵載體。教師應選取多樣化的實物（如常見的水杯、草帽、圓臺、鼓等），從形狀、位置等多維度呈現(xiàn)圖形特征。通過觀察、觸摸、對比不同實物的異同（如圓柱與圓臺的底面差異、金箍棒的長短變化），學生能夠從直觀感知過渡到抽象概念，為后續(xù)特征探究奠定表象基礎。

（二）多元操作，賦能空間觀念

學生的個體經(jīng)驗是發(fā)展空間觀念的前提，是感受、理解抽象空間觀念的有力支撐。實踐操作是獲得個體經(jīng)驗的有效途徑。在教學中，教師以問題為驅動，輔以學習單，使學生經(jīng)歷了畫輪廓（具體到抽象的過程）制圖形（選、卷、量、摸、滾、剪、旋轉、平移等一—度量意識的滲透和維度轉化的直觀化）、作比較（深化對圓柱、圓錐圖形特征的理解）等活動，從而感知和體驗空間與圖形的現(xiàn)實意義，自主構建圓柱、圓錐的特征，深化二維平面向三維立體轉化的空間觀念。

（三）難點處要引導、設疑

“底面為什么要畫成橢圓”是學生疑而不發(fā)的問題，教師需主動設疑，引導學生深度思考，并通過直觀展示增強學生的印象，使其對圓柱、圓錐的特征有更深刻的理解。

出示不同圓柱、圓錐的高促使學生理解圓柱高的位置和形狀時，學生會產生困擾。通過引導學生對比，學生能夠發(fā)現(xiàn)：圓柱的高是兩底面之間的距離，圓錐的高是頂點到底面的距離；圓柱的高矮與圓柱兩個底面之間的距離有關，圓柱的高不能簡單地理解為底面圓心之間的距離，因此高有無數(shù)條；圓錐只有一個頂點，只有一條高。

側面展開圖能有效幫助學生實現(xiàn)三維到二維的轉換，再次溝通底面與側面“公有邊”的聯(lián)系，讓學生深入理解圓柱、圓錐與長方形各條邊之間的關系。

（四）動態(tài)演示要重視

動態(tài)演示是連接靜態(tài)圖形與動態(tài)變化的橋梁，能有效突破空間想象的局限：以長方形的長為旋轉軸旋轉一圈得到的圓柱，長方形的寬就是圓柱的半徑，長方形的長就是圓柱的高；以長方形的寬為旋轉軸旋轉一圈得到的圓柱，長方形的長就是圓柱的半徑，長方形的寬就是圓柱的高…這些晦澀的定義，對于正在由形象思維向抽象思維過渡的學生來講，需要借助動態(tài)演示。認知過程從靜態(tài)向動態(tài)的轉變，對于學生全面認識圖形間關聯(lián)具有積極的促進作用。首先，通過點的運動形成線、線的運動形成面、面的運動形成體的學習過程，學生能夠基于圖形元素的視角立體地感知點、線、面、體之間的內在聯(lián)系，從而從動態(tài)的視角整體把握圖形間的相互關系。學生不僅感受到平面圖形與立體圖形之間的關系，發(fā)展了空間想象力，更為后面解決復雜的問題打下了基礎。

[參考文獻]

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（責編金鈴）