以核心概念的理解推動(dòng)數(shù)量關(guān)系的整體建構(gòu)

[中圖分類(lèi)號(hào)]G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A [文章編號(hào)] 1007-9068（2025）24-0045-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“數(shù)學(xué)新課標(biāo)”明確指出“‘?dāng)?shù)量關(guān)系'主要是用符號(hào)（包括數(shù)）或含有符號(hào)的式子表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系或規(guī)律”，要求學(xué)生在具體情境中認(rèn)識(shí)常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系，并能利用數(shù)量關(guān)系解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。這樣的要求看似簡(jiǎn)單，但是如果學(xué)生理解不到位，在面對(duì)復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題及各種變式應(yīng)用時(shí)就會(huì)感到困難。對(duì)于常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，筆者通過(guò)實(shí)踐探索出有效的策略，下面結(jié)合人教版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)上冊(cè)“速度、時(shí)間與路程\"的教學(xué)展開(kāi)闡述。

一、感悟核心概念理解關(guān)系

概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，理解數(shù)量概念的意義是數(shù)量關(guān)系建模的前提。因?yàn)閷W(xué)生對(duì)每個(gè)數(shù)量概念理解的元認(rèn)知程度不同，所以教師要根據(jù)學(xué)情，明確哪個(gè)數(shù)量概念的理解是學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)，并作為核心概念進(jìn)行重點(diǎn)教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷從生活化經(jīng)驗(yàn)到數(shù)學(xué)化認(rèn)知的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)對(duì)核心概念的感悟。

【課堂教學(xué)】

1.多媒體出示第一個(gè)理解難點(diǎn)

A的速度： 40÷5=8 （千米）B的速度： 16÷2=8 （千米）

師：你認(rèn)為誰(shuí)的速度快？（大部分學(xué)生認(rèn)為一樣快）從算式的得數(shù)和單位名稱(chēng)來(lái)看，它們有什么不一樣嗎？怎么把這兩個(gè)8千米區(qū)分開(kāi)來(lái)？（學(xué)生先獨(dú)立思考，再全班交流）

生，：它們的區(qū)別在于一個(gè)是每秒8千米，一個(gè)是每小時(shí)8千米。

師：加上時(shí)間單位，就能把這兩個(gè)8千米區(qū)分開(kāi)來(lái)，這真是個(gè)好辦法！

生2：在單位之間加個(gè)“/”，即A的速度寫(xiě)成8千米/秒，B的速度寫(xiě)成8千米/時(shí)。

師：你的想法跟數(shù)學(xué)家的想法一樣。A的速度寫(xiě)成8千米/秒，表示每秒行8千米；B的速度寫(xiě)成8千米/時(shí)，表示每小時(shí)行8千米。大家發(fā)現(xiàn)了嗎？速度單位的名稱(chēng)很特別，特別在哪兒？

生：它由長(zhǎng)度單位和時(shí)間單位組成，跟單價(jià)一樣包含兩個(gè)單位名詞。

師：是的。速度單位是由長(zhǎng)度單位和時(shí)間單位聯(lián)合而組成的，它是一個(gè)復(fù)合單位。

2.改寫(xiě)單位

師：（出示以下信息）請(qǐng)用剛才的方式改寫(xiě)黑板上的速度單位。（學(xué)生改寫(xiě)略）

3.多媒體出示第二個(gè)理解難點(diǎn)

（1）聲音的速度是340米/秒（2）人步行的速度是75米/

師：這里的速度是什么意思？生4：第（1）題，聲音的傳播速度是每秒340米。生：第（2）題中的□可以填時(shí)、分、秒。師：哪個(gè)時(shí)間單位是正確的？請(qǐng)說(shuō)明理由。生：我認(rèn)為填寫(xiě)“分”是正確的，因?yàn)槿嗣啃r(shí)步行75米太慢了，而每秒步行75米又太快了。（教師引導(dǎo)學(xué)生在充分交流和思辨中，明確“速度”這個(gè)單位除了要關(guān)注路程單位，還要關(guān)注時(shí)間單位）

4.歸納概念

師：現(xiàn)在你們對(duì)“速度”這個(gè)單位有什么新的想法？請(qǐng)對(duì)比觀察下面的信息，小組討論并說(shuō)一說(shuō)什么是速度：神舟十六號(hào)飛船的速度約是8千米/秒；張叔叔騎車(chē)的速度是8千米/時(shí)；聲音的速度是340米/秒；人步行的速度是75米/分。

生，：每秒、每分、每小時(shí)走的路程叫速度。

生8：每天、每周、每年走的路程也可以叫速度。

生。：一個(gè)時(shí)間單位內(nèi)走的路程叫速度。

師：1年、1天、1小時(shí)、1分、1秒…統(tǒng)稱(chēng)為一個(gè)時(shí)間單位。你們表達(dá)的意思是一致的，只要是一個(gè)時(shí)間單位內(nèi)行駛的路程就叫速度。

速度概念的建構(gòu)不是一蹴而就的，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)逐層建構(gòu)，有效突破“速度”這一復(fù)合單位的教學(xué)難點(diǎn)，深化了學(xué)生對(duì)“速度”概念的理解。首先，通過(guò)設(shè)置認(rèn)知沖突，引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生經(jīng)歷速度單位再創(chuàng)造的過(guò)程，初步感悟量綱的意義。其次，讓學(xué)生解釋速度的含義并填寫(xiě)速度單位，從中感知除了要關(guān)注路程單位，還要關(guān)注時(shí)間單位，進(jìn)一步感悟量綱的意義。最后，引導(dǎo)學(xué)生在比較、質(zhì)疑、思辨中，抽象概括出速度的概念。通過(guò)三個(gè)層次的認(rèn)知，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了學(xué)習(xí)的進(jìn)階，對(duì)速度的概念有了深刻和完整的感知。

二、借助幾何直觀明晰關(guān)系

圖形是一種特殊的語(yǔ)言，它從“形”的方面刻畫(huà)事物，揭示事物的本質(zhì)。幾何直觀作為分析數(shù)量關(guān)系的輔助手段，可以隱蔽不同事物的非本質(zhì)因素，把各個(gè)數(shù)量的意義及關(guān)系的共性可視化，從而建立圖示與數(shù)量之間的聯(lián)系，深化各個(gè)量之間關(guān)系的理解。這樣直觀形象地呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的內(nèi)在邏輯，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，深入分析數(shù)量關(guān)系，最后利用數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題。

【課堂教學(xué)】

1.找一找

師：（多媒體出示以下信息）你們能從中找到速度、時(shí)間和路程嗎？（學(xué)生回答略）

2.畫(huà)一畫(huà)

師：數(shù)學(xué)信息往往可以用簡(jiǎn)潔的圖形來(lái)表示。請(qǐng)選擇一個(gè)信息，用畫(huà)線段圖的方式表示出來(lái)。

3.反饋

師：怎么在線段圖上表示出上述三組信息？（學(xué)生回答略）

4.借助線段圖分析數(shù)量關(guān)系

師：（多媒體出示下圖）這幅線段圖在哪里表示速度？路程和時(shí)間分別在哪里？（引導(dǎo)學(xué)生明確線段圖上的每一段都表示速度）

師：這幅線段圖還能表示另外兩組信息嗎？此時(shí)圖上的每一段表示什么？整段呢？如果用這幅線段圖來(lái)表示第三組信息，應(yīng)該怎么修改？（引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)信息修改線段圖）

課堂上，教師先出示三組信息，讓學(xué)生找到速度、時(shí)間、路程后，嘗試用線段圖表示出來(lái)；再通過(guò)一系列問(wèn)題，借助線段圖把速度、時(shí)間與路程的意義和關(guān)系的共性可視化。這樣將線段圖中每一段路程與單位時(shí)間對(duì)應(yīng)，于“有形”中讓學(xué)生初步感知速度的概念，在畫(huà)圖、觀察、交流、思辨中逐步明晰數(shù)量之間的區(qū)別與聯(lián)系。

三、通過(guò)問(wèn)題解決理解關(guān)系

對(duì)于概念的理解，學(xué)生需要經(jīng)歷“建構(gòu)一調(diào)整一再建構(gòu)\"的進(jìn)階過(guò)程。在常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系的教學(xué)中，數(shù)量關(guān)系式的概括，教師不應(yīng)該直接告知學(xué)生，而是結(jié)合具體多樣的情境，引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題解決中經(jīng)歷抽象、概括、內(nèi)化和應(yīng)用的過(guò)程，從而建立起清晰的數(shù)量關(guān)系模型。

【課堂教學(xué)】

1.出示信息

師：根據(jù)前面三組信息，你是怎么算出路程的？

生 ₁₀：250×3=750 （千米）， 200×3=600 （米） 50×4= 200（米）。

師：這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題有沒(méi)有相同的數(shù)量關(guān)系？（引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出“速度 × 時(shí)間 路程”的關(guān)系式）

師：（出示下表）請(qǐng)根據(jù)相關(guān)的數(shù)據(jù)完成表格。（學(xué)生在交流反饋中提煉出變式模型：時(shí)間 O= 路程 ÷ 速度、速度 .=. 路程 ÷ 時(shí)間）

2.跟進(jìn)練習(xí)

上述教學(xué)，教師讓學(xué)生在理解速度概念的基礎(chǔ)上將題目中的數(shù)量關(guān)系寫(xiě)出來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生概括出“速度 × 時(shí)間 路程”的關(guān)系式并進(jìn)行變式應(yīng)用，在抽象、應(yīng)用過(guò)程中建立數(shù)量關(guān)系模型

四、擴(kuò)充數(shù)學(xué)模型融合關(guān)系

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)抽象、建模，不斷將小模型融合成大模型，進(jìn)行整體建構(gòu)的過(guò)程。常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系的教學(xué)要基于知識(shí)的本質(zhì)特征，從知識(shí)結(jié)構(gòu)、思維方式等方面，努力尋找數(shù)量關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系。這樣教學(xué)有助于學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用聯(lián)系、發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué)問(wèn)題的習(xí)慣，形成結(jié)構(gòu)化思維，建立整體認(rèn)知框架。

【課堂教學(xué)】

1.出示下圖

速度 × 時(shí)間 O= 路程

師：用聯(lián)系的眼光看問(wèn)題，這兩個(gè)數(shù)量關(guān)系有沒(méi)有相同的地方？請(qǐng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)。

2.交流反饋

生 ₁₁ ：?jiǎn)蝺r(jià)是指一件物品的價(jià)格，速度是指一個(gè)時(shí)間單位走的路程，其實(shí)它們就是每份是多少量的意思。

生 ₁₂ ：數(shù)量和時(shí)間就是有這樣的幾份數(shù)。生 ₁₃ ：總價(jià)和路程都是求總數(shù)。師：為什么求總價(jià)和路程都用乘法計(jì)算呢？生 ₁₄ ：求總價(jià)就是問(wèn)幾個(gè)單價(jià)合起來(lái)是多少，求路程就是問(wèn)幾段路程合起來(lái)是多少。

生 15 ：?jiǎn)蝺r(jià)和速度相當(dāng)于每份數(shù)，數(shù)量和時(shí)間相當(dāng)于份數(shù)，總價(jià)和路程相當(dāng)于總數(shù)。

師：（小結(jié)）這兩個(gè)常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系，歸根結(jié)底都是“每份數(shù) × 份數(shù) 總數(shù)”，只不過(guò)在不同的情境中有不同的表達(dá)。

3.回顧總結(jié)

師：這節(jié)課我們從生活問(wèn)題中認(rèn)識(shí)了速度，并運(yùn)用數(shù)學(xué)思維對(duì)速度進(jìn)行了深入的研究與理解，還從數(shù)學(xué)問(wèn)題中得出“速度 .× 時(shí)間 路程”的數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用這個(gè)模型解決了生活問(wèn)題，用聯(lián)系的眼光發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)數(shù)量關(guān)系其實(shí)就是“每份數(shù) × 份數(shù) 總數(shù)”。希望大家在今后的學(xué)習(xí)中繼續(xù)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)生活，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界。

上述教學(xué)，教師借助學(xué)習(xí)任務(wù)驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的眼光看待數(shù)學(xué)問(wèn)題。這樣教學(xué)意在把“路程 σ=σ 速度 × 時(shí)間”和“總價(jià) 單價(jià) × 數(shù)量\"這兩個(gè)常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系融為一體，納入一般的乘法模型結(jié)構(gòu)中，讓學(xué)生明白路程、速度、時(shí)間和總價(jià)、單價(jià)、數(shù)量都屬于乘法模型系統(tǒng)，從而形成更具廣泛性的總數(shù)、每份數(shù)、份數(shù)模塊結(jié)構(gòu)，使所學(xué)知識(shí)真正具有數(shù)學(xué)模型的價(jià)值。

總而言之，教師要重視數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生整體建構(gòu)；要善于啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，在感悟核心概念的基礎(chǔ)上，借助幾何直觀理解關(guān)系、明晰關(guān)系；在具體的實(shí)際問(wèn)題解決中，進(jìn)一步擴(kuò)充數(shù)量關(guān)系模型，提高學(xué)生解決實(shí)際生活問(wèn)題的能力。

[參考文獻(xiàn)]

[1］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]吳正憲.在關(guān)鍵概念的理解與運(yùn)用中發(fā)展模型意識(shí)：“速度時(shí)間路程”課堂教學(xué)實(shí)錄[J」小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2023（Z1）：90-95.

[3]蔣徐巍，章穎，章立平，等.從成長(zhǎng)的\"活明白\"到課堂的“學(xué)明白”：從兩節(jié)基于經(jīng)驗(yàn)改造型的研究課辯起[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2020（6）：35-38，13.

（責(zé)編杜華）