三種表征方式在解決問題教學中的應用研究

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2025）24-0039-03

一、疑惑 例題\"學什么”

人教版數學教材二年級下冊“混合運算”單元，編排了乘除與加減的兩級混合運算的解決問題。其中，有這樣一道例題（配備烤面包的情境圖）：“面包房一共要烤90個面包，已經烤了36個。如果每次能烤9個，剩下的還要烤幾次？”

師：看了這題目，你得到了什么數學信息？（三位學生把題目復述一遍）

生：我還知道剩下的面包要烤6次。（大部分學生表示贊同）

師：那你們會解決這個問題嗎？（很多學生舉手）把你的想法用圖表示出來。（學生茫然，靜默一會兒后，有學生呈現了圖示）還可以用線段圖表示，請大家跟著老師一起畫·…

師：現在你們會列式計算了嗎？動筆試一試。（學生分步列式，師生討論交流后歸納成綜合算式）

師： （90-36）÷9 ，這個算式的第一步為什么用減法計算？

生 ₂ ：因為90不能除以36，乘也不行，而加起來又太大，只能用減法。

這是一位青年教師的執教片段，在課后交流中，有聽課教師提出了自己的疑惑：學生一開始就已經會做了，按照例題的編排，還需要畫線段圖嗎？怎么體現解決問題的過程？數量關系如何體現…

二、梳理 “怎么學”

（一）分析教材編排，明確\"學什么”

教材在單元練習中編排了8道解決問題，進一步類化為先減后乘、先乘后加、先乘后減等7種類型；如果從兩步混合運算的角度分析，有16種類型；如果再進一步梳理，可分為同級混合運算和兩級混合運算兩大類。

本單元的教學內容是兩級混合運算的解決問題，根據運算關系，除（減）是乘（加）的逆運算，這類問題可視作“ ax+b=c ”及其變式，教學重點是帶小括號的兩級混合運算。通過學習這類解決問題，使學生懂得根據數量關系理清先算什么、后算什么，進一步明確小括號在解決問題中的應用。

（二）分析解答過程，理清“怎么學”

按照教材的編排，解決問題有統一的模板，即閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思，而這樣的程序性解題過程有利有弊。

閱讀與理解，指向信息的梳理和提取。有的教師認為這一過程是讓學生明白“知道了什么、求什么”。這一觀點在一步計算解決問題中是正確的，但隨著學習的深入，取而代之的是指向信息的梳理和提取。這一過程需要學生明白“要求這個問題，需要知道什么”，這是主動探究的體現，而不是被動接受的。

分析與解答，指向利用信息求解問題的過程，特別是指數量關系的分析及數學化的表征。《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“‘數量關系’主要是用符號（包括數）或含有符號的式子表達數量之間的關系或規律。”在理解數量關系的過程中，需尋求數量與數量之間的運算關系，即從運算意義的角度分析兩者之間是否有運算關系，以及運算結果的意義，可以用文字、符號、算式和圖形等表征數量關系。它的價值不僅在于尋求問題答案的過程，還在對數量關系的分析過程。

回顧和反思，指向結果的判斷、解題過程的反思和解題的策略與方法。這個過程根據解決問題對象的不同，側重點也是不同的。一般地，先判斷解答結果，再反思過程，但諸如估算解決問題、列表法解決問題等，更多地指向策略與方法。

在理清了解決問題的過程之后，教師要進一步思考：在學生會做的情況下，圖示的教學價值該如何挖掘？教材一直到四年級才提煉出數量關系式，那在本單元教學中是否需要提煉？又提煉到什么程度呢？如何既能避免程序化的教學過程，又能有效提高學生問題解決的能力呢？

三、實踐 指向數量關系的教學改進

（一）改變例題的呈現形式

教材提供的解決問題一般以順序描述為主，即信息呈現的順序與解答時列式的順序是一致的。這就使得在兩步計算解決問題中，當出現三個信息時，學生只要理清前兩個信息能求得什么結果即可。這樣的編排降低了解答問題的難度，導致學生在閱讀與理解這一環節，不需要進行信息的梳理與提取。于是，我們試著改變信息的呈現形式，把“面包房一共要烤90個面包，已經烤了36個”的信息分成“面包房一共要烤90個面包”和“已經烤了36個”兩部分來呈現，同時調換了信息的位置。這樣處理，信息之間都能產生聯系，使得題目的開放度更高。

（二）改變例題的教學過程

環節1：閱讀與理解

想一想，要求：還要烤幾次？得知道和 ○

算一算，我是這樣列式解答的：

環節2：分析與解答

（1）你是怎么列式解答的？（反饋兩種不同的方法，并概括成綜合算式）方法一： （90-36）÷9=6 （次）方法二： 90÷9-36÷9=6 （次）

（2）這兩種方法，你是怎么想的？（概括如下）

還要烤幾次？ 還要烤幾次？ 還要烤幾個？ 每次烤9個 一共烤幾次？ 已經烤了幾次？ 共烤90個 烤了36個 一共烤90個 每次烤9個 已經烤36個 每次烤9個

（3）請你根據下面這幅圖，選擇其中一種方法，并說一說解答的過程。

這一過程，相比教材有三處改變。一是改變了教學順序。教材上例題的呈現順序是“先圖后式”，改變后是“先式后圖”。這樣改變的原因是學生的學習需要：當學生能根據數量之間的關系列式計算，那么圖的存在價值就降低了；反之，用圖解釋算式，就變成了一個富有挑戰性的任務。二是引入數量關系式。教材對數量關系的梳理和提煉要求不高，尤其在第一學段（例題中沒有出現數量關系式）。而我們認為：數量關系式是解決問題的核心所在，應該從低年級（一步計算）開始逐步滲透和提煉。三是融合后續練習。教材例題后的“做一做\"出現了兩種方法解答的問題，一題兩解的自的不是拔高要求，而是使學生明白梳理信息的重要性和必要性。

環節3：回顧和反思（1）看圖列式計算。

反饋： 36+9×6=90 （個） 90-9×6=36 （個）

討論：哪一道題目可以檢查例題的答案是正確的？（都可以）

（2）選擇其中一幅圖，說一說已知的信息和要求的問題分別是什么。

（3）將三道題目用下圖表示，討論：這四個數量之間是什么關系？

已經烤的個數 + 每次烤的個數 × 剩下烤的次數二一共要烤的個數

正如前面所述，這類問題可視作“ ax+b=c^′ ”及其變式，即四個數量已知其中的三個，就能求出第四個，從而產生另兩類題型 ?-ax=b ”和“ （c-b）÷a=x^* 如果用方程解答，其實都是“ ax+b=c ”。也就是說，“式\"是統一的，“圖”也是統一的。這樣教學，意在引導學生體會用數量之間的關系檢驗結果，培養學生的模型意識。這里的數學模型，是指用圖、文字、符號等表示數量之間的關系。正如例題“已經烤的個數”“剩下烤的次數”“每次烤的個數”“一共要烤的個數”這四個數量，無論知道什么、求什么，數量之間的關系是不變的，這種關系既可以用一幅圖來表示，也可以用一個式子來表示。

四、思考一一三種表征方式在解決問題教學中的應用

在解決問題的教學過程中，都指向數量關系的數學表征有符號表征、語言表征和情境表征，分別指向表達、交流和應用。

（一）符號表征—用圖表呈現數量關系

符號表征是認知發展的核心。皮亞杰將表征本質隨年齡所發生的變化看作是區分發展階段的主要特征。從根本上看，符號表征是指個體用來代表其他事物的東西，這個“東西”是有階段性變化的，慢慢變得抽象、復雜而靈活。

這里所謂的符號，既可以是線段圖模型、矩形模型、網絡模型等幾何直觀模型，也可以是算式模型。符號表征過程就是抽象的過程，由特殊到一般的過程，舉三反一的過程，理解的過程和表達的過程。符號表征就是借助圖形，使學生“想明白”。如線段模型，就是通過信息中的數據用“長度”表征，把信息具體化、形象化，使學生明確數量關系，理清解題思路，進而快速找到解決問題的方法。

（二）語言表征—用語言描述數量關系

語言表征是語言材料所負載的信息在頭腦中的存在方式，是心理表征的符號實現，但它受特定語用和文化習慣的制約。因此，同一心理表征可以有不同的語言表征。語言表征指向交流，同時又有抽象的成分，在教學中的價值就是使學生“講明白”。在表達交流過程中，隨著年齡的增長，表達的內容逐漸抽象和概括。

比如：“一支鉛筆2元，小明買5支這樣的鉛筆。一共需要多少元？”數量關系表示為：二年級，一支鉛筆2元 ×5 支 一共需要多少元；三年級，一支鉛筆的價格 × 支數 一共的價格；四年級，鉛筆的單價 ??x 數量 總價；六年級， xy=k 。不難發現，隨著年級的升高，用語言描述時可以逐漸抽象概括。這一過程不是一蹴而就的，需要在各年級的解決問題教學過程中，逐步提高表達要求。用語言描述數量關系，既是表達的需要，也是后續學習的需要，教師在教學中應充分重視。

（三）情境表征—用情境表達數量關系

情境表征指將數學模型賦予新的情境，并能解釋新情境中的數學問題。而這用于解決問題，就是用情境表達數量關系，使學生“用明白”。小學階段，情境賦予了數量關系的生活意義，使學生在解決問題時能依據生活經驗梳理數量關系。比如，二年級的 4×5+3 ，能解決哪些問題；三年級，哪些問題可以用“□ ÷ □ ×□\"解決，等等。

綜上所述，解決問題的教學過程就是“數學抽象 $$ 建立模型 $$ 解釋應用”的過程。在此過程中，應用符號表征呈現數量關系，用語言表征描述數量關系，用情境表征表達數量關系。因此，指向數量關系理解的教學改進應是解決問題教學的價值追求。

[參考文獻]

[1] 張奠宙，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌.小學數學研究[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]朱國平.基于結構化的小學數學課堂[M].杭州：浙江教育出版社，2017.

（責編杜華）