基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)改進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)方式的探討

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2025）06-0005-05引用格式：.基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)改進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)方式的探討[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2025（6）：5-8，24.

一、問題提出

著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家喬治·波利亞曾說，數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面：一方面，它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這個(gè)方面來看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看起來卻像一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)．歐拉也曾說過，數(shù)學(xué)這門學(xué)科需要觀察，還需要實(shí)驗(yàn)．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，但它與化學(xué)、物理、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)等學(xué)科的實(shí)驗(yàn)不同，數(shù)學(xué)學(xué)科的性質(zhì)決定了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)包含豐富的思維特征，2019年，《教育部關(guān)于加強(qiáng)和改進(jìn)中小學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的意見》指出，實(shí)驗(yàn)教學(xué)是國(guó)家課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的重要教學(xué)內(nèi)容，是培養(yǎng)創(chuàng)新人才的重要途徑，并提出由教育部制訂中小學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)基本目錄.2023年，在教育部基礎(chǔ)教育司的指導(dǎo)下，教育部教育技術(shù)與資源發(fā)展中心（中央電化教育館）組織研制并發(fā)布了《中小學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)基本目錄（2023年版）》，明確了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容和路徑．本文旨在探討在教學(xué)過程中如何將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的歸納思維與高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的演繹思維相結(jié)合，通過改進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)方式，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)涵

20世紀(jì)70年代，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)開始受到人們的重視.1997年，施普林格出版社出版了教材LaboratoriesinMathematicalExperimentation，其中提出了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的概念．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是從若干實(shí)例出發(fā)，在計(jì)算機(jī)上做大量實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其中可能存在的規(guī)律，并提出猜想，然后進(jìn)行證明和論證，體現(xiàn)了用歸納方法和實(shí)驗(yàn)手段進(jìn)行數(shù)學(xué)教育的思想方法.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是以學(xué)生為主體，借助數(shù)學(xué)軟件，在教師輔助下解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)．以學(xué)生為主體，就要求學(xué)生善于觀察、勤于思考，在教師的引導(dǎo)下動(dòng)手操作，在不斷實(shí)踐嘗試中探索解決實(shí)際問題的方法；計(jì)算機(jī)可以快速進(jìn)行大量復(fù)雜數(shù)據(jù)的計(jì)算、圖表的繪制、模擬試驗(yàn)等，能夠發(fā)揮數(shù)學(xué)在解決其他學(xué)科問題和實(shí)際問題中的作用，使學(xué)生有更多時(shí)間思考，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)造和創(chuàng)新.

三、高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的特征

高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)既屬于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)范疇，又因其兼容教育的鮮明特征而具有特殊性，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的再現(xiàn)過程．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)以促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)為主要自的，通過引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的規(guī)律，將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的歸納思維與高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的演繹思維相結(jié)合，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展．高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的特殊性主要體現(xiàn)在以下四個(gè)方面.

1.教育性

高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的核心目標(biāo)是服務(wù)教育，旨在通過實(shí)驗(yàn)活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．區(qū)別于純粹的數(shù)學(xué)研究實(shí)驗(yàn)，高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更注重教學(xué)過程中的引導(dǎo)和啟發(fā).

2.情境性

高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)強(qiáng)調(diào)通過模擬真實(shí)情境或創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在具體環(huán)境中進(jìn)行操作和探索．這種情境化設(shè)計(jì)有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.

3.操作性

學(xué)生通過實(shí)際操作，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，從而加深對(duì)抽象概念、定理、性質(zhì)的理解和掌握.

4.思維性

高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅要求學(xué)生動(dòng)手操作，還注重學(xué)生的思維參與，學(xué)生需要在實(shí)驗(yàn)過程中提出問題、分析問題并解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和創(chuàng)造性思維.

四、開展高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的流程

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》的教學(xué)建議部分明確指出：“在教學(xué)實(shí)踐中，要不斷探索和創(chuàng)新教學(xué)方式，不僅重視如何教，還重視如何學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣；要努力激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，促使更多的學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)”在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中融入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，可以更大程度地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，使學(xué)生通過動(dòng)手操作和思維活動(dòng)參與知識(shí)的形成過程，完成對(duì)新知識(shí)的建構(gòu)．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)基本流程概括如下．

1.創(chuàng)設(shè)情境，明確實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

創(chuàng)設(shè)情境是開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的前提條件．教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況，創(chuàng)設(shè)真實(shí)的情境或者數(shù)學(xué)的、科學(xué)的情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望．在創(chuàng)設(shè)情境的基礎(chǔ)上提出驅(qū)動(dòng)性問題，明確實(shí)驗(yàn)?zāi)康模畣栴}應(yīng)該符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，具有啟發(fā)性，且有一定的思維含量，能夠讓學(xué)生經(jīng)過探究和思考解決.

2.問題引導(dǎo)，開展實(shí)驗(yàn)探究

實(shí)驗(yàn)探究是高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的核心環(huán)節(jié).教師根據(jù)實(shí)驗(yàn)?zāi)康模瑢⑶榫持械膯栴}拆解成若干個(gè)階梯式子問題，引導(dǎo)學(xué)生開展實(shí)驗(yàn)探究，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造過程，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)．子問題的設(shè)計(jì)要能夠較清晰地呈現(xiàn)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容和關(guān)鍵環(huán)節(jié)．學(xué)生根據(jù)教師提出的問題開展探究性實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行初步分析和討論.

3.歸納猜想，提出實(shí)驗(yàn)假設(shè)

歸納猜想是創(chuàng)造的前提，是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)．歸納猜想與實(shí)驗(yàn)探究相互融合，沒有一定的先后順序，可以先提出猜想，然后通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證或舉出反例，也可以在觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和收集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已有的知識(shí)儲(chǔ)備總結(jié)規(guī)律，提出實(shí)驗(yàn)假設(shè)．在具體操作時(shí)，要根據(jù)實(shí)驗(yàn)?zāi)康暮蛯?shí)驗(yàn)類型調(diào)整歸納猜想與實(shí)驗(yàn)探究的順序.

4.推理論證，理解實(shí)驗(yàn)結(jié)論

對(duì)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)歸納的規(guī)律，不能只說明其必然性，還需要對(duì)其進(jìn)行推理論證，才能應(yīng)用.尤其是與高中數(shù)學(xué)概念、定理、性質(zhì)、公式相關(guān)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，它是數(shù)學(xué)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)過程，需要從邏輯上讓學(xué)生明白其中的演繹推理過程，從而讓學(xué)生深刻理解實(shí)驗(yàn)結(jié)論，并在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上構(gòu)建新的知識(shí)體系．因此，在經(jīng)過觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象、提出實(shí)驗(yàn)假設(shè)后，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)驗(yàn)歸納轉(zhuǎn)向演繹推理，

5.拓展延伸，應(yīng)用實(shí)驗(yàn)結(jié)果

拓展延伸環(huán)節(jié)，一方面，在學(xué)生完成實(shí)驗(yàn)探究、提出實(shí)驗(yàn)假設(shè)和理解實(shí)驗(yàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)；另一方面，對(duì)于科研工作者來說，有些數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是通過檢驗(yàn)指標(biāo)來檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)效果的．在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，存在一些不需要推理論證的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)．例如，數(shù)學(xué)建模中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、概率中的隨機(jī)模擬試驗(yàn)、統(tǒng)計(jì)中制作統(tǒng)計(jì)圖描述和分析數(shù)據(jù)等，這些內(nèi)容的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)需要在應(yīng)用中不斷改進(jìn)和完善.

在將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)時(shí)，對(duì)于不同的教學(xué)內(nèi)容和實(shí)驗(yàn)類型，實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)要進(jìn)行靈活改變和調(diào)整.

五、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的案例

以人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)第五章“三角函數(shù)”中“兩角差的余弦公式”為例，該節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：經(jīng)歷由三角函數(shù)的定義和圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程；了解兩角差的余弦公式的意義；能夠利用兩角差的余弦公式求值，并證明誘導(dǎo)公式，發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想.

1.回顧舊知，明確公式探究方向

在該節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了誘導(dǎo)公式，教師讓學(xué)生列舉幾個(gè)誘導(dǎo)公式，并以其中一個(gè)誘導(dǎo)公式為例，簡(jiǎn)要回顧證明過程，即先在單位圓中作出公式中涉及的角，利用圓的對(duì)稱性尋找等量關(guān)系，然后結(jié)合三角函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證.通過回顧利用單位圓中三角函數(shù)的定義和單位圓的特殊對(duì)稱性獲得誘導(dǎo)公式的過程，體會(huì)利用數(shù)形結(jié)合思想研究三角函數(shù)的一般路徑，為探究?jī)山遣畹挠嘞夜阶鳒?zhǔn)備．

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察誘導(dǎo)公式，并讓學(xué)生描述誘導(dǎo)公式的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而提出該節(jié)課需要研究的問題：如果把特殊角換為任意角 β ，那么任意角 α 與 β 的差的余弦與任意角 α ， β 的正弦、余弦是否有關(guān)系？有怎樣的關(guān)系？

2.開展探究，提出等量關(guān)系假設(shè)

在引出該節(jié)課的研究問題和探究方向后，教師用問題鏈引導(dǎo)學(xué)生開展探究活動(dòng).

如圖1，利用GeoGebra軟件在單位圓中作出角 α 、角 β 和角 α-β （角 α 與角 β 的終邊不重合），它們的始邊為 x 軸的非負(fù)半軸，且與單位圓交于點(diǎn) A ，它們的終邊與單位圓分別交于點(diǎn) P₁ ， A₁ ， P ：

圖1

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)1：利用GeoGebra軟件拖動(dòng)最上面的滑動(dòng)條，將扇形 oAP 繞著點(diǎn) o 旋轉(zhuǎn) β 角，如圖2所示，觀察其中有哪些等量關(guān)系.

圖2

在扇形 OAP 的旋轉(zhuǎn)過程中，學(xué)生能夠直觀感受圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性．將扇形 OAP 繞著點(diǎn) o 旋轉(zhuǎn) β 角后，扇形 OAP 與扇形 OA₁P₁ 重合，即點(diǎn) A ， P 分別與點(diǎn) A₁ ，P₁ 重合， 與 重合，從而得到 .所以對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)相等，即 AP=A₁P₁

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)2：利用GeoGebra軟件改變角 α 和角 β 終邊的位置（兩角差的大小不變），觀察當(dāng)角的終邊位置改變時(shí)，等量關(guān)系 AP=A₁P₁ 是否發(fā)生變化.

拖動(dòng)滑動(dòng)條，可以改變角 α 和角 β 終邊的位置學(xué)生可以觀察到角 α 和角 β 的終邊在坐標(biāo)系中任意位置時(shí)的不同情況．在改變角終邊位置的過程中，選取兩種情況，如圖3和圖4所示.

圖3

圖4

在圖3中，角 α 的終邊在第三象限，角 β 的終邊在第二象限，則 αgt;β ， AP=A₁P₁=1.23 ；在圖4中，角 α 的終邊在第一象限，角 β 的終邊在第二象限，則αlt;β ，此時(shí) AP=A₁P₁=1.58

改變角 α 和角 β 終邊的位置，弦 AP 和 A₁P₁ 的長(zhǎng)度在數(shù)值上始終相等，從而提出實(shí)驗(yàn)假設(shè)：無論角 α 和角 β 終邊的位置如何，總有 AP=A₁P₁

3.推理論證，得出兩角差的余弦公式針對(duì)提出的實(shí)驗(yàn)假設(shè)，學(xué)生思考以下問題.

問題1：根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，你能解釋為什么弦 AP 與 A₁P₁ 始終相等嗎？

問題2：利用三角函數(shù)的定義，你能寫出點(diǎn) P₁ ，A₁ ， P 的坐標(biāo)嗎？當(dāng)改變角 α 和角 β 終邊的位置時(shí)，交點(diǎn)坐標(biāo)是否發(fā)生改變？

問題3：利用 AP=A₁P₁ ，你能否推導(dǎo)出兩角差的余弦公式？

問題4：當(dāng)角 α 與角 β 的終邊重合時(shí)，上述結(jié)論成立嗎？

在這一環(huán)節(jié)中，用問題鏈引導(dǎo)學(xué)生的思維活動(dòng)，推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，讓學(xué)生從邏輯上明晰其中的演繹推理過程，從而深刻理解實(shí)驗(yàn)結(jié)論.

首先，根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)假設(shè)．根據(jù)三角函數(shù)的定義，無論角 α 和角 β 終邊的位置如何改變，點(diǎn) P₁ 的坐標(biāo)總可以表示為 （cosα，sinα） ，點(diǎn) A₁ 的坐標(biāo)總可以表示為 （cosβ，sinβ） ，點(diǎn) P 的坐標(biāo)總可以表示為 （cos（α-β） ， sin（α-β）） ．然后利用兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)出兩角差的余弦公式 cos（α-β）=cosαcosβ+ sinαsinβ ．最后，通過驗(yàn)證“當(dāng) α=2kπ+β（β∈Z） 時(shí)上述結(jié)論仍然成立”完善探究過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

4.拓展延伸，體驗(yàn)公式應(yīng)用

在獲得實(shí)驗(yàn)結(jié)論后，通過以下題目檢測(cè)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)論的掌握情況，以及學(xué)生是否理解實(shí)驗(yàn)結(jié)論并能夠遷移應(yīng)用.

（1）利用兩角差的余弦公式證明 和 cos（π-α）=-cosα.

通過利用兩角差的余弦公式證明誘導(dǎo)公式，學(xué)生能夠初步掌握公式的結(jié)構(gòu)和用法，并體會(huì)知識(shí)之間的聯(lián)系.

（2）已知 β 是第三象限角，求 cos（α-β） 的值.

（3）利用兩角差的余弦公式求 cos50^°cos20^°+ sin50^°sin20^° 的值.

通過公式的正用、逆用，從不同角度檢驗(yàn)學(xué)生是否能夠靈活應(yīng)用公式．根據(jù)學(xué)生的反饋情況，反思實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)是否達(dá)成，以及下一步如何優(yōu)化、改進(jìn)實(shí)驗(yàn)過程.

六、結(jié)語

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的方式是：以學(xué)生為主體，以問題為載體，以思維為主線．通過經(jīng)歷情境化探究活動(dòng)，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為可操作的認(rèn)知體驗(yàn)．有效利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)改進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)方式，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的規(guī)律并提出猜想，然后進(jìn)行證明和論證.這種做法不僅與新課程改革“重過程、重應(yīng)用”的理念相契合，還可以提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

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