地震波動數值模擬中人工邊界條件研究討論

關鍵詞地震波動數值模擬；人工邊界條件；精度控制原理；數值穩定性；復雜波動中圖分類號：P315.9 文獻標識碼：A 文章編號：2096-7780（2025）08-0435-11doi： 10.19987/j.dzkxjz.2024-078

Brief discussion on the artificial boundary conditions in numerical simulation of seismic wave motion

Zhang Xun^1） ， Xing Haojie2）， Zeng Ruixuan2）， Li Xiaojun1，2）

1） State Key Laboratory ofBridge Engineering Safetyand Resilience，Beijing University of Technology，Beijing100124， China 2） Institute of Geophysics， China Earthquake Administration， Beijing 1Ooo81， China

AbstractResearchers in the field of numerical simulation of seismic wave motion have been suffring from the challenge inunderstanding and studying artificial boundaryconditions （ABC），which is mainlyatributed tothelackof systematic discussion and effctive integration ofABCoriginating from various wave problems.To establish asystematic overallunderstanding of the essence of ABCand the basic performance of various specific ABC， we conducted a simple， intuitive，andlogicallycleardiscussiononthe importantissues ofABC，including their essenceand primarymethods，the theoryofaccuracycontrol，and numericalstability.ABC is essentiallyacollective name forallcomputationmethods used to calculate the motion on an artificialboundary caused byout-going waves.The computational modeof ABC can be intuitivelyclasified into three fundamental branches：space-timeextrapolation，stressequilibriumonanartificial boundary，andregional attenuation.Wediscuss thesimilaritiesonthe implementation pattm，thetheoryof accuracy control，andtheumericalstabilityfortheABCinthesame branch，aswellasthosediscrepanciesamongdierentABC branches.Consequently，a number of important issues associated with ABC areclarified，suchas the following viewpoints. Liao's time-space extrapolation rule is the most fundamental principle for the accuracyevaluations of allthe extrapolation-typeand stresstype ABC.The stability problem forLiao’s ABCapplied in afinite-element wave motion simulationismainlycausedbythedificultyembeddedinacombinationof theboundary’sfinite-diference-type formula andthe iner-domain finite-element formula.Atenuation-type ABC provide anobservation view angle that iscompletely different from thatof extrapolation-and stres-type ABC; thus，they playan irrplaceable and uniquerole in artificial boundary problems.

Keywordsnumerical simulation of seismic wave motion; artificial boundary condition; theory of accuracy control： numerical stability; complex wave problems

0 引言

地震波動數值模擬是地震工程、地球物理、地震學等地震科學領域重要的基礎共性技術，其中人工邊界條件（artificialboundarycondition，ABC）[1-2]是需要解決的重點難點問題。ABC是計算外行波引起的人工邊界節點運動的各種方法的統稱，它對波動模擬的精度、穩定性、計算效率以及外部波動輸入都具有關鍵性影響。自20世紀60年代波動數值模擬方法隨著計算機技術興起以來，研究者們針對彈性波、聲波、電磁波、流體波動、固液兩相介質波動等不同波動問題已發展出幾十上百種ABC。大致按問世的時間順序，較為著名的ABC有粘性邊界[3]、一致邊界（或薄層法）[4]、旁軸近似邊界[5]、廖氏透射邊界[]函數衰減層邊界（又稱為海綿邊界）[7、Higdon單程波方程邊界（又稱為多向透射邊界）[8]、無限元、邊界元[1]、比例邊界有限元[]、完美匹配層邊界[12]、粘彈性邊界[13-15]、高階無反射邊界[16-19]、高階應力型邊界[20-24]等。這些工作表明現有ABC數量眾多且不斷向深人化、復雜化發展，但是在波動模擬實踐中如何選出最合適的ABC并進行優化使用仍然經常面臨困難。這在一定程度上與目前關于人工邊界條件的理論與公式體系、主要ABC的精度控制原理及數值穩定性、不同波動物理過程及數值離散格式與ABC之間的關系等基本問題尚缺乏較為系統的認識有關。

如何理解掌握、恰當使用，以及研究改進人工邊界條件給波動數值模擬領域研究者們帶來了巨大挑戰。這一方面是因為ABC的概念和方法本身較為復雜，另一方面則歸結為目前關于ABC的討論和研究忽視了從整體上對不同波動領域的ABC研究工作進行歸納與整合。這使得波動數值模擬領域研究者們常常苦于難以找到學習和研究人工邊界條件的切入點，無從建立關于不同ABC基本性能的具象化了解。本文將對人工邊界條件的概念與方法、精度控制原理、數值穩定性等基本問題進行簡單直觀的脈絡性分析，以期為認識和研究波動數值模擬中的人工邊界問題提供一些有益的參考。

1人工邊界條件概念與方法的直觀理解

從人工邊界條件是計算區域的外行波引起的人工邊界節點運動的計算方法這個本質特征出發，可以自然地梳理出一套關于人工邊界概念和方法的直觀理解。絕大多數ABC計算外行波引起的人工邊界節點運動的方式可歸結為時空外推、應力平衡和區域衰減3類模式，相應地可分別稱之為外推型ABC、應力型ABC和衰減型ABC。

1.1 外推型ABC

圖1繪出了關于廖氏透射邊界（multi-transmittingformula，MTF）的直觀理解。廖氏透射邊界表達式為

式中， C_j^N=N！/[j！（N-j）！]o 它表示任意人工邊界節點0在 p+1 時刻的運動，可以由模型內部一條直線上相對于人工邊界節點間距為 （jΔt，jc_aΔt）（c_a 為人為設定的計算波速， Δt 為時間步長）等距離分布的若干離散參考點處的運動，按二項式規則運算得到。若定義時-空移動算子 B_mⁿu₀^p+1=u_ma^p+1-n 和單位算子 I， 則可以得到透射邊界的另一種表達形式： 0，這個算子表達式顯示了透射邊界與二項式之間的密切聯系。展開透射邊界表達式，得到前三階MTF具體形式依次為： u₀^p+1=u_1a^p ， u₀^p+1=2u_1a^p-u_2a^p-1 和 u₀^p+1= 3u_1a^p-3u_2a^p-1+u_3a^p-2 ，即一階、二階、三階MTF分別使用了一個、二個、三個離散參考點的波場值來外推人工邊界節點的波場值。MTF公式實質上是數值分析中的高階向后有限差公式在波動模擬中的直接應用。對于一維函數 g ，劃分等距節點0，1，2定義0點的一階、二階、三階、…，向后有限差為：

若令0點的 N 階向后有限差為零： Δ^?Ng₀=0 ，所得到的0點函數值的外推公式與MTF表達式在形式上完全一致。區別僅在于MTF公式的等距節點為沿一條直線的外行波視傳播的空間-時間波場中一條傾斜直線方向上等距離分布的時-空節點，該傾斜直線方向由時間步長和計算波速共同確定。由于向后有限差公式是數值分析中嚴格的數學公式， N 階向后有限差公式對于 N-1 次多項式是精確的，所以N 階向后有限差公式的代數精度為 N-1 階。這種明確的代數精度是MTF邊界提高階次 N 能夠迅速提高外推精度的數學原理（圖1）。由于向后有限差公式對函數形式沒有限制，所以MTF公式可以無差別地應用于標量波或矢量波的各個運動分量、有限差分/有限元/譜元等不同內域離散格式、邊節點/交界面節點/角節點等不同位置的人工邊界節點等，也就是說，MTF邊界具有普適性。MTF邊界包含計算波速 c_a 和邊界階次 N 兩個控制參數。由圖1可知，若人工邊界附近的外行波為理想平面波，當計算波速 c_a 取值為該平面波的視波速時，只需使用一階MTF公式u₀^p+1=u_1a^p ，就能精確地推算出人工邊界節點的運動。對于任意外行波情形，一階MTF計算精度有所不足，但只需適當提高邊界階次 N_?rosun ，就能迅速提高時空外推得到的邊界節點運動的準確性。

視傳播波場在時-空外推線方向上波場曲線（圖1中曲線 g ）的彎曲程度決定了需要使用的MTF邊界階次 N 不失一般性，這里以一種平面波外行波和一種由不同角度平面波疊加而成的復雜外行波為例，簡要探討實際波動模擬中曲線 g 的可能形狀及其與MTF計算波速 c_a 和邊界階次 N 之間的關系。假定平面波和復雜波動的視傳播波場由以下公式表示。

平面波： 復雜波動：

其中，平面波為一個高斯脈沖以 5m/s 的視波速射向人工邊界。復雜波動為3個不同角度的高斯脈沖平面波的疊加波動射向人工邊界，它們的視波速分別為 5m/s ， 6m/s 7m/s ，幅值分別為 1.3m ， 1m 0.7m 圖2a和圖2c為平面波和復雜波動的一維視傳播過程在空間-時間坐標中展布而成的“二維靜態波場”。對于平面波情形，若將人工邊界選定在坐標s=20m 處，計算時刻選定在 t=3s ，則計算波速分別取 c_a=3m/s 4m/s ， 5m/s ， 7m/s ， 10m/s 時，計算時刻之前2s（即 t=1～3s 時間區間）和之前 0.3s （即 t=2.7～3s 時間區間）范圍內MTF邊界時空外推方向上的波場曲線 g 的形狀如圖2b所示。對于復雜波動情形，若將人工邊界選定在坐標 s=40m 處，計算時刻選定在 t=6s ，則計算波速分別取 c_a=3m/s 5m/s ， 7m/s ， 9m/s ， 12m/s 時，計算時刻之前2s（即t=4～6s 時間區間）和之前 0.3s （即 t=5.7～6s 時間區間）范圍內MTF邊界時空外推方向上的波場曲線g 的形狀如圖2d所示。由于圖2中小窗口內的絕大多數曲線 g 比較接近傾斜直線，所以二階MTF邊界是最為常用且相對高效的人工邊界；與之相比，一階邊界常常精度不足，三階及以上邊界往往在精度提

升的同時容易出現失穩。

這種由廖氏透射邊界所揭示的人工邊界表達式對于任意波動類型和幾何構型的普適性、增加邊界階次 N 能夠穩步提高邊界精度、邊界計算人工波速c_a 對模擬精度的影響規律等，實際上也適用于其他所有外推型ABC。外推型ABC的概念由作者團隊在文獻[25-26]中提出，指利用邊界附近一組節點在前若干時刻的運動來外推人工邊界節點運動的一系列人工邊界。符合這個定義的ABC包括MTF邊界和國際上經典的旁軸近似邊界、Higdon單程波方程、Givoli-Neta高階無反射邊界、Hagstrom-Warburton高階無反射邊界、任意大角度波動方程等。這些邊界大多為以下3個基本邊界公式的特例或者可以由它們轉化得到。

c_aj -MTF邊界公式： （1）c_aj -Higdon邊界公式： （2）輔助變量公式： （3）

式中， u 表示人工邊界附近的波場， s 為一維坐標，沿邊界法線指向模型內部； N 為邊界階次； c_aj（j= 1，…，N） 為一組計算波速； B（c_aj） 為空間-時間后推算子，用于確定出相對于人工邊界節點在時間上向之前移動 Δt 且在空間上沿邊界法線向模型內部移動 c_ajΔt 距離的一個離散參考點， I 為單位算子； N 個I-B（c_aj） 算子相乘能夠確定出多個離散參考點，組成外推邊界的計算節點; ?₁ ， ?₂ ，…， ?_N-1 為一組輔助變量。

現有主要外推型ABC與公式 （1）～（3） 的關系為：廖氏透射邊界為式（1）中各個計算人工波速 c_aj （號 （j=1，…，N） 取相同值時的特例。Higdon邊界8為式（2）中局部坐標 s 用整體坐標 x，y 或 z 替換，同時計算人工波速 c_aj 用 c/cosθ_j 或 c_p/β_j 替換得到的形式。旁軸近似邊界[5由公式（2）先改寫成Higdon邊界形式，再利用標量波方程消除邊界法向導數得到。Givoli等和Hagstrom等[16-19]的高階無反射邊界都是從輔助變量公式（3）出發，結合標量波動方程消除輔助變量的邊界法向導數得到。任意大角度波動方程邊界[27基于由有限元離散模型導出的半無限域動力剛度的矩陣表達式構建，而這與旁軸近似邊界中擬微分算子的有理近似高度相似。因此，各種不同形式的外推型ABC使用相同的控制參數（邊界階次和一組計算波速），通過某種等價的中間形式相聯系，并且在數值模擬中表現出相似的精度和穩定性。

1.2 應力型ABC

應力型ABC包括粘性邊界[3]、粘彈性邊界[13-15]薄層法[4]、DtN邊界[28]、動力剛度[29]、集中參數模型[30]、連分式邊界[31、各種高階應力型人工邊界[20-24]等。這類邊界具有完全不同于外推型ABC的表達形式和施加方式。圖3給出了關于應力型ABC的直觀理解：邊界表達形式為截面應力與波動位移、速度或加速度之間的關系式；施加方式為將邊界表達式中的截面應力作為被截掉的外部無限域對計算區域的作用力施加在人工邊界上，具體來說，是施加在波動有限元模型的自由邊界上。由于作用力表達式中含有待求解的未知人工邊界節點位移、速度或加速度，所以實際上是在原來有限元自由邊界節點運動方程的質量、阻尼、剛度系數上額外附加了由人工邊界表達式所定義的邊界質量、邊界阻尼和邊界剛度系數，進而形成新的力學平衡方程，以求解出合理的人工邊界節點運動。值得注意的是，目前關于應力型ABC的研究和應用幾乎都是基于有限元離散格式進行的，作者未見應力型ABC與有限差分格式的結合。在有限差分格式中使用應力型ABC所面臨的困難主要在于：以圖3所示的粘彈性邊界表達式為例，實際施加該邊界時只施加了等號右邊的部分，而等號左邊的正應力 σ≡（λ+2G）?u/?r 和切應力 τ≡ 充當的是與內域離散格式的接口。這個接口能夠自然地與以力的形式表達的有限元動力方程 相銜接，而不便于與通常以位移形式表達的有限差分格式相銜接。此外，應力型邊界表達式需要沿模型邊界進行積分，轉換為力的形式之后，才能與有限元模型無縫銜接；若在有限差分模型的邊界上對應力型邊界表達式進行積分，得到的場函數的量綱則與內域格式不匹配。

應力型ABC因其與動力剛度的密切聯系，以及與有限元模型的無縫銜接，在地震工程領域尤其是動力土-結相互作用分析方面得到廣泛研究和應用。但是關于應力型ABC的理論框架以及它與其他類型ABC之間的區別和聯系的研究還相對較少，這不利于較好地了解應力型ABC的精度特征以及在復雜波動模擬中充分發揮應力型ABC的優勢，如善于處理低頻波動甚至靜力問題、具有很好的長持時穩定性等。已有研究初步表明，應力型ABC的精度特征可以參考外推型ABC的精度原理進行判斷，二者之間的聯系可以從如下一階Higdon邊界公式與粘性邊界公式之間的轉化關系窺知一二

若式中計算波速 c_s 變為可調波速 c_a=c_s/cosθ_j θ_j 為人為設定的角度調節參數，則有：

式（4）和式（5表明，應力型ABC與外推型ABC 之間存在密切聯系。粘性邊界與一階MTF邊界或

Higdon邊界具有相當的精度；應力型ABC中的計算波速 c_scosθ_j 與外推型ABC中的 c_a=c_s/cosθ_j 相對應。

1.3 衰減型ABC

衰減型ABC包括函數衰減層（海綿邊界）、無限元[9]、漸增阻尼層[32]、瑞利阻尼層[33]、比例邊界有限元[1、各種形式的完美匹配層[12，34]等。不同于外推型ABC和應力型ABC直接計算人工邊界節點的運動，衰減型ABC是間接處理人工邊界的方法。圖4給出了關于衰減型ABC的直觀理解：將人工邊界置于計算模型內部并在其與外部固定/自由邊界之間的狹窄區域內將外行波衰減殆盡；窄帶區域內實現波動衰減的機制有多種，包括采用衰減函數（函數衰減層、無限元）、增加材料阻尼（漸增阻尼層、瑞利阻尼層）、采用特殊坐標系構建衰減波動方程（比例邊界坐標下的比例邊界有限元方程、復數伸展坐標中的完美匹配層波動方程）。早期衰減型邊界面臨的主要挑戰是衰減程度如何確定和怎樣避免在內域交界面上產生新的反射誤差。完美匹配層邊界解決了衰減效率和與內域銜接的問題，不過出現了形式復雜和通用性差等不足。

衰減型ABC提供了一種跳出外推型ABC和應力型ABC之外的視角，對于認識和解決復雜波動的人工邊界問題有著其獨特、不可替代的作用。例如在進行軟土場地中地下結構地震反應計算時，即使不使用人工邊界常常也影響不大，參照瑞利阻尼層邊界可知軟土層相當于一種衰減層人工邊界；又如在交錯網格有限差分波動模擬中，應力型ABC無法使用，外推型ABC精度和穩定性較差，此時函數衰減層邊界和完美匹配層邊界成為較優的選擇；再者，衰減型ABC能夠與其他人工邊界方法結合使用以達到優勢互補，如近年來問世的混合吸收邊界[35]、比例邊界完美匹配層[]等。

2人工邊界條件的精度控制原理

作者分析認為，外推型ABC和應力型ABC的精度控制原理往源頭上最終可以追溯到MTF邊界。也就是說，MTF邊界的時空外推原理是最具解釋力的根本性原理，其他外推型ABC的精度理論往往適用范圍有限或未觸及問題的根本，而應力型ABC則需要借助于外推型ABC來判斷或比較其模擬精度。簡要分析如下：

（1）目前微分方程形式外推型ABC的理論基礎主要是旁軸近似邊界[5和Higdon單程波方程邊界[8]，高階外推型ABC[16-19]大多由二者轉化得到。旁軸近似邊界由波動方程頻散關系擬微分算子的有理近似得到，這種近似具有數學上的嚴格性，但是它只適用于標量波動方程（如聲波和SH波動），而無法用于矢量波動方程（如彈性波動）。

（2）Higdon邊界的表達式類似于式（2），這種多個波動微分算子乘積的形式最初是Higdon從一些離散邊界表達式中總結出來的，并未經過完善的數學推導，也沒有使用某種已有的數學公式。Higdon在將該邊界用于彈性波模擬時，直接將二階邊界分別用于 x 和 y 兩個方向的節點運動，并未解釋其原因；另外，Higdon指出當邊界算子中的波速接近 c_p 時，主要吸收P波且對S波亦具有一定吸收作用，反之，當邊界算子中的波速接近 c_s 時，主要吸收S波同時對P波亦具有一定吸收作用。可以說，Higdon雖然給出了正確的邊界形式并部分地指出了參數影響特征，但是并未觸及外推型ABC精度控制原理的本質。

（3）應力型ABC將各種截面應力與波動位移、速度或加速度之間的關系式作為邊界分布力施加到有限元模型的做法，無法從嚴格的數學角度直觀地判斷其模擬精度。根據1.2節的分析可知，應力型ABC可以通過與外推型ABC的類比來判斷其精度特征。如粘性邊界[3]、粘彈性邊界[13-15]和高階應力型ABC^[20-24] 可以分別與一階MTF、一階小量修正MTF以及高階 MTF^[25-26] 進行類比，根據所采用的計算波速、衰減因子和邊界階次等來判斷其精度。

（4）根據1.1節內容可知，MTF邊界的離散表達式與Higdon邊界的微分方程形式具有等價性，但其中只有MTF邊界的 g₀=g₁（ （一階）， g₀=2g₁-g₂ （二階），g₀=3g₁–3g₂–3g₃ （三階）等是已有的數學公式，即關于離散點函數值的高階有限差定義式。因此，MTF的精度控制原理（或稱為時空外推原理）具有嚴格的數學基礎，可作為關于外推型ABC和應力型ABC精度控制的根本性原理。

綜上，應力型ABC的精度需要參照外推型ABC加以判斷；高階外推型ABC的精度由用于導出它的旁軸近似邊界或Higdon邊界決定；旁軸近似邊界只適用于標量波動問題，而且可以由Higdon邊界轉化得到；Higdon邊界是一種合理的基礎性邊界形式，且與離散形式的MTF邊界具有等價性，但是其建立過程綜合了部分數學推導和若干直覺推廣；MTF邊界是數學領域現有的離散點函數值高階有限差公式在波動問題中的直接應用，其精度由嚴格的代數精度予以保證。因此，MTF邊界的時空外推原理是外推型ABC和應力型ABC精度控制的根本性原理。在各種不同的外推型或應力型ABC中，只要找出其邊界階次和計算波速，就可以參照MTF邊界原理對其精度做出判斷。

衰減型ABC的精度控制原理主要包括兩方面內容，一是不同衰減機制的衰減效率，二是衰減層與內域銜接處是否會人為制造出新的界面反射。函數衰減層（海綿邊界）[所采用的衰減函數或無限元[中使用的衰減型函數，其衰減效率遠不如完美匹配層中基于復數伸展坐標所實現的波動衰減。完美匹配層[12，34中復數伸展坐標的表達式中包含一個沿衰減層寬度方向逐漸上升的漸變函數，這與漸增阻尼層[2具有一定相似性。瑞利阻尼層[33由于其均勻分布的較大阻尼與內部區域存在顯著差異，會在銜接面上產生人為制造的界面反射，若能將均布阻尼替換為漸變阻尼，則有望顯著提升其性能，文獻[37]可以看作是這個思路的一個嘗試。

3人工邊界條件的數值穩定性

我國學者在廖氏透射邊界（MTF）穩定性方面開展了一系列研究，這是最為全面系統的關于人工邊界穩定性的研究工作。MTF邊界有時會出現高頻振蕩失穩或低頻漂移失穩問題。Liao和Liu3通過邊界反射系數提出了透射邊界的反射放大失穩機理。李小軍和廖振鵬[3提出了透射邊界的漂移失穩問題并建議采用一種短時降階失穩處理方法。廖振鵬等[40提出采用小量修正人工邊界格式來抑制透射邊界的零頻漂移失穩，采用在邊界計算區注入小阻尼來改善振蕩失穩。景立平等[41基于GKS定理的群速度解釋論證了透射邊界失穩機理為邊界公式和內域數值格式共同支持群速度指向內域的行波。李小軍和楊宇[42探討了一種在邊界計算區附加粘彈性元件的消除漂移失穩的措施。謝志南和廖振鵬[43]、章旭斌等[44深人探討了振蕩失穩機理并提出修改內域格式的穩定措施。孔曦駿等[45]對透射邊界小量修正格式進行了改進。學者們還針對譜元法與透射邊界的結合[46-48]探討了透射邊界穩定性問題。

從人工邊界條件的系統化視角來看，MTF邊界的上述失穩機理及穩定實現措施亦適用于其他外推型ABC。總體規律為，數值格式越簡單穩定性越好，數值格式涉及的空間和時間節點越多穩定性相對越差，這與內域格式的穩定性規律一致。Higdon邊界與MTF邊界接近等價，不僅精度相同，其穩定性也一致。如Higdon發現高階Higdon邊界存在漂移失穩并提出小量修正邊界形式予以解決[8，與MTF邊界非常相似[40]；Baffet等[49]在Higdon公式中增加一個粘性邊界算子改善了其長持時穩定性，這與李小軍和楊宇[42提出的在邊界計算區附加粘彈性元件的穩定措施亦比較接近。旁軸近似邊界5格式復雜，故穩定遠遜于前兩種邊界；高階外推型ABC同樣如此。目前各種微分方程表示的外推型ABC還停留在只被用于有限差分格式的階段，MTF邊界已被用于內域計算的有限差分、有限元和譜元等不同數值格式中。由于MTF邊界形式最為簡單，所以它在用于有限差分時具有優于其他外推型ABC的穩定性。另外，若其他外推型ABC被用于有限元方法，會具有與MTF邊界相當或者更差的穩定性。因此，MTF邊界的穩定性問題也是所有外推型ABC的共同問題。

關于應力型ABC的穩定性，目前地震工程領域研究者普遍了解粘彈性邊界[13-15]的穩定性顯著優于粘性邊界3和廖氏透射邊界，有學者甚至認為應力型ABC不會出現數值失穩問題。前者是學者和工程師在大量場地地震反應計算和土結相互作用分析中總結出來的可靠經驗，但是后者卻并非如此。若從人工邊界條件的系統化視角來看，上述認識也不夠全面。由于MTF邊界已被用于有限差分、有限元和譜元波動模擬，而應力型ABC不能用于有限差分且目前主要在有限元中使用，所以上述比較僅是在波動有限元模擬中進行的。這種穩定性的差異容易理解，應力型ABC施加方式為在有限元邊界上施加面力，這種結合非常自然；而MTF邊界是強制用內部節點運動推算邊界節點運動，這實際上是單邊差分格式與有限元格式的結合，其穩定性必然大受影響。關于應力型ABC是否會出現數值失穩的問題，最近劉晶波、李述濤和寶鑫等[50-52]才從理論上證明顯式算法中粘彈性邊界計算格式的穩定時間步長要小于內域計算格式，即粘彈性邊界同樣存在穩定性問題。他們提出一種增加質量元件的改進粘彈性邊界，改善了其穩定性。杜修力、趙密等[20-24]在研究不同形式高階應力型ABC時，通過證明所采用的擬微分算子的連分式近似或者動力剛度的有理近似具有穩定性，來說明所得到的高階應力型ABC是穩定的。

衰減型ABC的穩定性目前探討得相對較少，這與其不便于從理論上進行定量分析有關，不過可以參照已有的內域及邊界穩定性規律給出一些定性判斷。函數衰減層（海綿邊界）7只是將波動模擬結果乘以衰減函數，未改變計算格式，對穩定性應無影響。無限元雖然與海綿邊界衰減機制相似，但無限元本身的數值格式及其與內域銜接點的數值格式都會有新的穩定性標準，不過無限元在隧道、大壩等土-結地震反應分析中的成功應用表明其具有較好穩定性。漸增阻尼層[32]和瑞利阻尼層[33]的穩定性即為有阻尼波動問題數值模擬的穩定性。完美匹配層[12.34]是具有分裂/非分裂、卷積/非卷積、頻移/非頻移、基于速度-應力或位移形式波動方程、應用于有限差分法或譜元法波動模擬等不同形式的一系列ABC的統稱。其層內穩定性通常由所基于的內域格式的穩定性來保障，匹配層介質雖然與材料阻尼有所不同，但亦能實現穩定計算；匹配層與內域的交點常常涉及層內復雜的多分量數值格式與內域規整的數值格式之間的銜接，這種新的復合格式的穩定性值得關注。

4結語

針對波動數值模擬領域研究者們所面臨的如何較好地認識和解決復雜波動中的人工邊界問題這個巨大挑戰，指出其主要原因不僅在于人工邊界條件的概念和方法本身比較復雜，更是因為分散于不同波動領域的相關研究成果比較缺乏有效的歸納與整合。以系統化認知ABC本質特征及其主要方法的基本性能為目標，對ABC的概念與方法、精度控制原理、數值穩定性等基礎性問題進行了簡單直觀、脈絡性的研究討論。

從人工邊界條件是計算外行波引起的人工邊界節點運動的方法這個本質特征出發，可以自然地梳理出時空外推、應力平衡和區域衰減3類計算模式，分別稱之為外推型ABC、應力型ABC和衰減型ABC。同類ABC具有相似的施加方式、精度控制原理以及數值穩定性，非同類ABC則顯著不同。在各種外推型ABC和應力型ABC的精度理論中，只有

MTF邊界的時空外推原理兼具數學上的嚴格性和在不同波動中的普適性，是最具根本性的原理。波動有限元模擬中MTF邊界存在的穩定性問題，主要是因為MTF是目前唯一以外推的方式施加到有限元中的ABC，它打破了外推型ABC用于波動有限差分模擬和應力型ABC用于波動有限元模擬的慣用做法，因此研究MTF邊界所對應的應力型ABC表達形式或許是解決問題的最佳途徑。衰減型ABC的精度控制原理涉及層內衰減效率和內界面反射率兩個方面，傳統衰減型ABC衰減效率較低且可能存在內界面反射問題，完美匹配層邊界解決了衰減效率問題但是表達形式及實現方式多樣而復雜，通用性差。不過，衰減型ABC提供了外推型ABC和應力型ABC之外人工邊界處理的重要視角，對于認識和解決復雜波動的人工邊界問題有著其獨特、不可替代的作用。

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