數學游戲：培養初中生問題發現能力的有效載體

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2025）23-0054-05

【作者簡介】1.，江蘇省泰州醫藥高新區（高港區）教育局（，225300）教師發展中心數學教研員，正高級教師，江蘇省數學特級教師;2.，江蘇第二師范學院（，）博士生，正高級教師，江蘇省教學名師。

一、數學游戲為培養初中生問題發現能力提供可能

培養學生從數學角度發現問題的能力，是中小學數學課程標準的一貫要求。《義務教育數學課程標準（2011年版）》《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》均明確要求發展學生發現問題的能力。《義務教育數學課程標準（2022年版）》則在“確立核心素養導向的課程目標”中明確為“發展運用數學知識與數學方法發現、提出、分析和解決問題的能力（簡稱‘四能'）”]。可見，對于初中數學教師而言，培養初中生問題發現能力是重要的教學目標。但是，對于如何培養初中生發現問題的能力，一線教師往往缺乏有效策略。

中需要運用到數學知識或者數學方法的智力游戲。它寓數學問題于游戲之中，能夠讓人們在做游戲的過程中學到數學知識、數學方法和數學思想等。[2]

在游戲中，游戲者主要關注情感體驗。如果能夠獲得輕松、愉悅或者成功等積極情感體驗，他們往往樂于參與游戲，反之則較少參與。數學是研究數量關系和空間形式的科學。用數學的眼光來看待指的就是只關注其中的數量關系與空間形式，忽略其他方面的特征、特性。由于數學游戲與數學眼光的重點不一樣，當學生試圖從看似與數學無關的游戲中尋找其在數量關系或者空間形式方面的某些聯系時，培養學生問題發現能力便成為可能。[3]

數學游戲指蘊含著數學原理，在游戲過程此外，數學游戲符合初中階段學生的智力與能力發展特征。根據心理學的研究，初中階段主要是以經驗型為主的抽象邏輯思維，其中初中二年級是從經驗型向理論型發展的開始。4]數學游戲能夠提供與強化學生在活動中獲得的積極情感體驗，因此當數學游戲能夠用于發展初中生問題發現能力時，它具有其他載體不可替代的作用。

二、在數學游戲中培養初中生問題發現能力的有效路徑

有效的數學學習應能將學生思維不斷引向深處。下面，筆者根據初中生問題發現能力培養的需要，依據思維不斷向縱深展開的四個階段（思維準備、思維啟動、思維深化以及思維遷移），以“搶30”游戲為例探究如何通過數學游戲培養初中生的問題發現能力。

“搶30”游戲為經典數學游戲巴協問題的特例，較早見于華師大版七年級數學實驗教材。游戲規則為：兩個人進行游戲，每次每人說的數可以是一個，也可以是兩個，但不得超過兩個，所說的數必須是正整數，而且每個數只能說一次。第一個人先說數字1或者數字1，2，第二個人接著往下說，然后輪到第一個人再接著往下說。以此類推，兩個人反復輪流，并且在說的過程中速度要快，不得進行長時間思考。誰先搶到30誰就得勝。

（一）思維準備階段：面對不完備的游戲規則從而發現問題

游戲規則指在帶有競爭性的活動中普遍遵守的準則。游戲時，教師可以先隱藏部分規則要求。面對不完備的規則，學生會無所適從。

【片段1】將“搶30\"游戲中“誰先搶到30誰就得勝\"的規則去掉，其他不變。

（1）學生試玩游戲后談自己的看法。

（2）補充規則“誰先搶到數字30誰就得勝”后再玩游戲。

【設計意圖】將原游戲規則中“誰先搶到30誰就得勝”的要求去掉，此時學生面對的是結構不良的任務，與通常所見結構良好的任務不同，他們將會發現問題。讓學生先試玩后談感受，再補充規則，然后再玩，這樣的設計具有“一石數鳥”的作用。除了此處能培養學生發現問題能力之外，在后續發現“搶30\"游戲偏向第二個人并有必勝策略之后，還有助于啟迪學生發現進而自行提出一系列問題：將要搶的數字30換成其他數字，此時還是偏向第二個人嗎？有沒有必勝策略？情形能夠進行推廣嗎？……

（二）思維啟動階段

1.因實現目標的條件不具備（或不夠優化）而發現問題

在開始啟動思維時，學生會直觀感覺采用某種方法可能會完成任務，不過由于尚未進行深人思考與分析，該方法實現的技術性條件實際并不具備或者方法不夠優化，學生會在運用中發現問題。

【片段2】“報法種數探索”設計

如果不關注結果，只關注報法的不同，那么“搶30”有多少種不同報法？試一試，談談自己的看法或者遇到的困難。

【設計意圖】要確定“‘搶30'有多少種不同報法”，學生容易想到通過列舉的方法來找出符合要求的報法，但進行試驗后便會發現該想法存在問題：一一列舉，報法有很多，雖然無法確定具體數值是多少，但根據直覺會意識到將是一個相當大的數字，所花費的時間也會很多。學生還發現隨著列舉情形的增多，有可能有重復也可能有遺漏，從而提出如何避免重復與遺漏、能否有不重不漏而又比較簡便的確定方法等問題。

2.在思維分叉處遇到被有意設置的陷阱而發現問題

學生在活動中獲得部分數據或者感知部分數量關系后，通常會猜測是否存在一般性的結論或者猜測其中可能蘊含的規律。教師根據學生容易認為的但實際上并不符合該情境的猜想來設計任務，可以達到“一箭雙雕”的效果：在試驗中學生遇到陷阱從而發展問題發現能力，而后續分析與解決問題的過程中又會逐步積累猜想的經驗，培養其思維的深刻性，發展理性精神。

【片段3】（接片段2）

（1）依次考慮數字較小時的情況：搶數字1，有 種方法，為 ；搶數字2，有 種方法，為 ；搶數字3，有 種方法，為 ;此時我的猜測為： 。（2）先試驗再完成：搶數字4，有 種方法，為 。（3）搶數字5，有 種方法，為 。我發現：搶數字方法的種數規律為 。（4）搶數字6，有 種方法，為 。（5）搶數字30，有 種方法。

【設計意圖】最初設計時筆者感覺搶數字1與搶數字2過于簡單便予以略過，直接從搶數字3開始探索。此處加以改進，除了更符合學生認知規律，更重要的是藏有“陷阱”：搶數字1，2，3時相應報法分別為1，2，3種，此時教師要求猜測規律，學生容易想當然地認為“規律為報法種數等于要搶數字\"（其實為“從第3個數起，后面的數等于前面相鄰兩數之和），增加了培養學生發現問題能力的機會。

（三）思維深化階段

1.在應用似是而非的結論完成針對性任務時發現問題

結論只有在一定條件下才成立，如果不指出成立條件，結論便是似是而非的。教師針對似是而非的看法可以有意提供相應任務讓學生嘗試完成，在出現錯誤時學生自然能夠發現問題，進而在更高程度上進行抽象與概括，在思維深化中發展核心素養。

【片段4】分析報數情況

觀察、分析報數情況，發現要搶到30，必須依次搶到3，6，9，12，15等數字，它們都能被數字3整除。

（1）數字3跟能夠搶的數字個數之間是否有關系？如有，可能是何關系？說說你的想法。（2）如果一次可以搶2個數或者3個數，又會如何呢？先猜一猜再試一試。你的猜測是否仍然成立？（3）如果一次可以搶1個數或者2個數或者3個數呢？先猜一猜再試一試，看看你的猜測是否仍然成立。

【設計意圖】任務（2）、任務（3）瞄準學生在完成任務（1）時可能得到似是而非的結論來設計，是否提供視其解答情況來確定。如果學生將數字3理解為“比一次能夠搶的較大個數2多1”，此時呈現任務（2）讓其完成，按此想法有：必須搶到數字被數字4整除，應該依次搶4，8…28。如果學生將數字3理解為“一次能夠搶的所有個數之和”，此時呈現任務（3）要求其完成，按此想法有：必須搶到數字被數字6整除，應該依次搶6，12，18，24，30。在完成任務（2）或者任務（3）的過程中學生會自行發現問題：這兩種理解其實都不正確。

2.在運用原有知識、經驗無法進行說理時發現問題

跟猜測相比，驗證猜測結果的正確性對思維能力的要求更高，若進行說理（或者證明），則對思維能力的要求又有明顯提升。很多時候，學生運用原有數學“四基\"難以解決說理的要求，從而發現問題。

【片段5】（接片段3中（4））

不借助一一列舉，你能直接說明為什么“搶數字6的報法種數是搶數字4的報法種數與搶數字5的報法種數之和\"嗎？

【設計意圖】面對這樣要求說理的任務，學生往往欠缺類似經歷與經驗，感覺無從下手，從而發現問題。教師可引導學生分析發現要搶得數字6有兩種途徑（如圖1），并注意到其中沒有重復報法，從而得出結論。

（四）思維遷移階段：在難以橫向遷移活動經驗時發現問題

教師可以讓學生在完成表面看來與探索活動相關度不高的任務時，進行橫向遷移從而發現問題。

【片段6】課后拓展

小明帶弟弟上樓。已知從一樓到三樓共有24節臺階，如果弟弟一次可以跨1節、2節或者3節臺階，試幫助小明確定弟弟從一樓上到三樓共有多少種不同的走法。

【設計意圖】本任務表面看來與搶數字無關，其實相當于確定“搶24\"共有多少種不同的搶法，只不過一次可以搶的個數有所增加。對于完成任務存在困難的學生可以讓他們先探索臺階數較少時的情況，橫向遷移探索經驗從而得出結論。在此基礎上，教師還可以再提出2個新任務：（1）能否直接說出上樓梯的不同走法總數？（2）

能否通過說理來說明走法總數的正確性。新任務（1要求發現上樓梯問題與搶數字游戲的內在聯系，橫向遷移思維結果，新任務（2）要求橫向遷移說理經驗（圖1中思路），不斷提供培養學生問題發現能力的機會。

三、數學游戲用于培養初中生問題發現能力的理性思考

（一）數學游戲為合適載體的前提條件

數學游戲是合適載體的前提條件是游戲中包含較多數學信息。當含有較多數學信息時，游戲活動的多處可用于問題發現能力培養；當含有數學信息較少時，教師感覺價值有限，不愿利用課堂學習時間來進行游戲活動，培養學生發現問題能力便無從談起。游戲中數學信息的多少是相對的，并且很多信息往往隱含在游戲中，需要教師深入挖掘，以盡可能揭示出更多的數學信息或者數學聯系。若僅將“搶30”游戲視為博弈游戲，則它在發展學生問題發現能力的價值有限。

（二）數學游戲用于培養初中生問題發現能力的基本舉措

合適的數學游戲同樣需要采取科學做法才能有效培養初中生問題發現能力。兩種基本有效措施如下。一是設計不符合推理規則的任務。數學思維的基本形式是邏輯推理和數學運算。通過具體數學內容的學習，并結合日常生活經驗，初中生會初步意識到演繹推理的常見形式（三段論）、普通邏輯的基本規律（同一律、矛盾律、排中律）與基本原則（充足理由律）的基本內容與大致要求。在思維過程中，當其發現推理所需信息缺失或者信息對立（甚至矛盾）時，便無法順利進行推理進而發現問題。

二是設計略高于初中生現有數學基礎的任務。當教師要求初中生用數學眼光來看待數學游戲時，學生往往會因欠缺相關經歷或者經驗，難以及時調取知識或者經驗來完成任務，于是會發現問題。在繼續活動的過程中，當學生面對任務時，他們需要通過一定的梳理、概括、提煉，并以數學的方式做出“是什么？能怎樣？為什么？怎么樣”等方面的思考。此時，學生遇到困難，難以完成任務，便會發現問題。5]

（三）數學游戲用于培養初中生問題發現能力的必備立場

“以生為本\"是借助數學游戲來培養初中生問題發現能力的必備立場。人本主義是我國課程改革的心理學理論基礎。課程標準在修訂過程中也以貫徹立德樹人根本任務為宗旨，強調了作為一個全面發展的人應實現的目標，凸顯了“以人為本”的指導思想，因此，在用以培養初中生問題發現能力的數學游戲活動中也應遵循這樣的立場。

“生本立場\"要求教師在教學預設時要認真研究游戲者的接受能力。教師要對探索的結果逐一進行逆向審視，舍棄通過師生活動不能及時解決的問題。對于“搶30”游戲，如果活動對象是七年級學生，那么只要通過計算意識到隨著 n 的增大， 越來越接近0.618的近似值即可。如果活動時學生已經學習了二次根式，那么不妨進一步挖掘：（1）計算后猜測 n 增大時 的值越來越接近 ；（2）根據提供的通項公式，能夠比較熟練地計算出 n=1，2，3 時 a_n 的值；（3）感受用無理數的形式來表示整數等。

“生本立場\"要求在數學游戲活動中要注意兩點。一是學生充分體驗。只有學生充分體驗了游戲活動，其中隱含的數量關系、內在聯系才容易顯現出來，學生的猜測與判斷才會有比較明確的方向，學生才更容易積累基本活動經驗。二是教師發揮主導作用。數學的對象是抽象的形式化的思想材料，完全由學生自己發現、提出問題基本不可能。教師應在游戲中適時提供合適的任務，不斷引導學生以數學的方式思考“是什么？為什么？怎么樣”等，逐步讓學生由“被動遇到數學任務”向“主動思考形成數學任務”進階，不斷積累數學化思考的經驗，有效提升問題發現能力。

在合適的數學游戲中采取恰當的措施能夠使其成為培養初中生問題發現能力的有效載體。期望本文對于如何培養初中生的問題發現能力能有所啟迪，并引起有識之士的關注，早日形成更多研究成果以造福一線師生。國

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：2.

[2]王青建.數學史簡編[M].北京：科學出版社，2004：358.

[3]史寧中，王尚志.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）解讀[M].北京：高等教育出版社，2020：63.

[4]曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M]北京：北京師范大學出版社，2006：54.

[5]葉新和.生活中的問題發現對數學教學的啟迪[J].中學數學月刊，2021（1）：12-14.

[6]喻平.發展學生數學核心素養的教學與評價研究[M].上海：華東師范大學出版社，2021：124.