全向運(yùn)動(dòng)仿生腿運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)

關(guān)鍵詞：全向運(yùn)動(dòng)仿生腿;串并混聯(lián)腿;多方法聯(lián)合建模方法；運(yùn)動(dòng)學(xué)模型;動(dòng)力學(xué)模型中圖分類號(hào)：TP24DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2025.04.018 開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

Kinematics and Dynamics Modeling and Experiments of OmnilLegs

XU Yuze LU Zhongyue＊ ZHU Yiming LUO Zirong College of Intelligence Science and Technology，National University of Defense Technology， Changsha，410073

Abstract：A 3-DOF serial-parallel leg mechanism was introduced and mathematically modelled. Based on the special configuration and motion form of the OmnilLeg，a multi-method combined kinematics modeling method was proposed by applying the rotational and geometrical methods for individual kinematics modeling according to the characteristics of different parts and then combining them with the influence coefficient method to obtain the kinematics model of the whole machine.The proposed method reduces the modeling difficulties. The dynamic models of the OmnilLeg were established by Lagrangian method.The correctness of the theoretical models of the OmnilLeg was verified by simulation and prototype experiments.

Key words： bionic leg capable of omnidirectional legged locomotion（OmnilLeg）； serial-parallel leg mechanism；multi-method combined modeling method; kinematics model; dynamics model

0 引言

腿部機(jī)構(gòu)作為足式機(jī)器人核心部件，直接決定了足式機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)能力。串并混聯(lián)型腿部機(jī)構(gòu)兼具串聯(lián)和并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)勢(shì)，串聯(lián)部分使機(jī)構(gòu)具備靈活性好等優(yōu)點(diǎn)，并聯(lián)部分則可以保障機(jī)構(gòu)具有一定的剛性和承載能力[1]

研究人員對(duì)串并混聯(lián)腿機(jī)構(gòu)進(jìn)行了大量研究。NIU等[2]提出了一種由 2-UPS+U 并聯(lián)機(jī)構(gòu)與1R副組成的3自由度串并混聯(lián)腿，提高了腿部的剛度。謝兵[3]提出了一種適用于輪足機(jī)器人的由2自由度 RUHU+RUPR+UPR+RUR 并聯(lián)機(jī)構(gòu)和1R副組成的串并混聯(lián)腿。GAO等[4]提出了一種 （3-RRR）+1R 串并混聯(lián)腿，降低了遠(yuǎn)端轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。FELLER5提出了4自由度串并混聯(lián)腿，腿部具備更高的集成度。王春臻等[6]提出了 1R+（2-UPU+2-RPR） 串并混聯(lián)腿，在少驅(qū)動(dòng)的情況下實(shí)現(xiàn)了“ 3+3 ”式行走。顧昌利等[7]提出了 2-PSS-PaU 串并混聯(lián)腿，有效實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動(dòng)的集中。董晉安[8提出了 （5-UPU）+R 串并混聯(lián)腿，具備更好的轉(zhuǎn)向性能。此外還有很多具備各種不同優(yōu)勢(shì)的串并混聯(lián)腿[9-10]

串并混聯(lián)型腿部機(jī)構(gòu)構(gòu)型的多樣性也使腿部機(jī)構(gòu)更易實(shí)現(xiàn)多種功能集成。文獻(xiàn)[11提出了一款新型3自由度串并混聯(lián)型腿部機(jī)構(gòu)——全向運(yùn)動(dòng)仿生腿（bionic leg capable of omnidirectionalleggedlocomotion，OmnilLeg），它具有驅(qū)動(dòng)固定集中、足端無伴隨轉(zhuǎn)動(dòng)及全向運(yùn)動(dòng)三項(xiàng)特性。全向運(yùn)動(dòng)仿生腿的大腿為雙驅(qū)耦合機(jī)構(gòu)且內(nèi)嵌小腿動(dòng)力傳遞機(jī)構(gòu)，小腿為單驅(qū)閉環(huán)機(jī)構(gòu)，理論建模較為困難。現(xiàn)有運(yùn)動(dòng)學(xué)建模方法有很多，包括D-H參數(shù)法、矢量法、幾何法、影響系數(shù)法和旋量法等[12-14]。不同的建模方法有著不同的優(yōu)劣勢(shì)，使用單一的方法直接進(jìn)行建模的難度較大，因此，如何聯(lián)合多種方法快速而精準(zhǔn)地建立機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)模型是新型腿部機(jī)構(gòu)開發(fā)過程中的一個(gè)難點(diǎn)。

多方法聯(lián)合建模的研究較少，ZHONG等[15]聯(lián)合旋量法和D-H法解決了肘關(guān)節(jié)偏移時(shí)機(jī)構(gòu)旋轉(zhuǎn)角度的計(jì)算問題。葉平等[16]結(jié)合旋量法和矢量法建立了三分支機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，規(guī)避了D-H法過于復(fù)雜的建模過程。劉天華[17]結(jié)合D-H法和矢量法建立了三支鏈混聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置逆解方程，方便了誤差標(biāo)定。上述方法均針對(duì)性地解決了單一方法建模時(shí)的一些問題，但全向運(yùn)動(dòng)仿生腿的結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜且運(yùn)動(dòng)耦合性強(qiáng)，無法直接套用上述方法和思路來建立數(shù)學(xué)模型。

根據(jù)全向運(yùn)動(dòng)仿生腿具備的特殊構(gòu)型和運(yùn)動(dòng)形式，本文提出基于機(jī)構(gòu)不同部分的特點(diǎn)分別應(yīng)用旋量法和幾何法進(jìn)行單獨(dú)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模，再結(jié)合影響系數(shù)法得到整機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的多方法聯(lián)合的建模方法。

1全向運(yùn)動(dòng)仿生腿機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)述

人類因特殊的腿部關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)形式而具備了強(qiáng)大的運(yùn)動(dòng)能力，圖1所示為人類腿部結(jié)構(gòu)及人體行走步態(tài)。由圖1a可以看出，人腿共有7個(gè)活動(dòng)范圍較大的關(guān)節(jié)，且主要運(yùn)動(dòng)平面始終垂直于 X₁ 軸。結(jié)合圖1a和圖1b，當(dāng)腿繞 Z₀ 軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，腿的主要運(yùn)動(dòng)平面會(huì)改變，使腿在多個(gè)方向上具備相同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和能力，實(shí)現(xiàn)全向運(yùn)動(dòng)，且髖部的 X_o 軸和 Y₀ 軸是固定不變的。根據(jù)圖1c，為使人體運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定，處于支撐期的腿各關(guān)節(jié)協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)使足的姿態(tài)不變化，令足與地面和髖部之間的相對(duì)姿態(tài)保持不變。筆者從人腿的運(yùn)動(dòng)形式中獲得靈感，開發(fā)了一款新的串并混聯(lián)型腿部機(jī)構(gòu)——全向運(yùn)動(dòng)仿生腿[11]。該腿部機(jī)構(gòu)在僅具有3個(gè)自由度的情況下實(shí)現(xiàn)了人腿具有的全向運(yùn)動(dòng)及足端姿態(tài)不變化的特性，且模擬人大腿的運(yùn)動(dòng)形式使驅(qū)動(dòng)可以集中固定在髖部。

如圖2所示，全向運(yùn)動(dòng)仿生腿由2自由度空間雙平行并聯(lián)機(jī)構(gòu) A₁B₁A₂B₂A₃B₃ （大腿）和1自由度3-RRR空間閉環(huán)機(jī)構(gòu) C₁D₁E₁C₂D₂E₂C₃D₃E₃ （小腿， P_3R 機(jī)構(gòu)）串聯(lián)組成。大腿繞固定軸 X_o 和固定軸 Y₀ 進(jìn)行復(fù)合轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，可等效實(shí)現(xiàn)類似人腿繞 Z₀ 軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能，在實(shí)現(xiàn)全向運(yùn)動(dòng)的同時(shí)可以使腿部驅(qū)動(dòng)固定集中在髖部，且膝關(guān)節(jié)板在空間內(nèi)姿態(tài)是不變的；腿部機(jī)構(gòu)小腿為空間閉環(huán)機(jī)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)腿部在垂直方向上的伸縮運(yùn)動(dòng)，大腿和小腿組合實(shí)現(xiàn)足端姿態(tài)不變化。本文將文獻(xiàn)[11]所提出的腿部機(jī)構(gòu)的小腿部分改進(jìn)為呈環(huán)形陣列的3-RRR空間閉環(huán)機(jī)構(gòu)，使小腿在空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)具有更好的各向?qū)ΨQ性。

為直觀展示全向運(yùn)動(dòng)仿生腿的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，分別給出了它在 （M₁，M₃） 和 （M₁，M₂，M₃ 兩組電機(jī)組合驅(qū)動(dòng)下的運(yùn)動(dòng)案例，如圖3所示。可以看出全向運(yùn)動(dòng)仿生腿具備以下特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)：① 足端運(yùn)動(dòng)區(qū)域呈現(xiàn)出完全的對(duì)稱； ② 電機(jī)固定安裝在髖關(guān)節(jié)板上，降低了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，電機(jī)和控制單元等集中安置，易于防護(hù)； ③ 腿部運(yùn)動(dòng)時(shí)足端無伴隨轉(zhuǎn)動(dòng)，降低了運(yùn)動(dòng)復(fù)雜度； ④ 大腿實(shí)現(xiàn)了承載與傳動(dòng)的功能集成； ⑤ 抬腿動(dòng)作既可以通過大腿與小腿的組合運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)，也可以單獨(dú)通過小腿的運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

全向運(yùn)動(dòng)仿生腿大腿與小腿的運(yùn)動(dòng)是相對(duì)獨(dú)立的。據(jù)此，本文提出對(duì)大腿和小腿單獨(dú)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)建模再結(jié)合影響系數(shù)法建立整腿運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的多方法聯(lián)合建模法，降低對(duì)整體直接進(jìn)行建模的難度。刪除驅(qū)動(dòng)后全向運(yùn)動(dòng)仿生腿腿部機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖和各機(jī)構(gòu)的單獨(dú)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖見圖4。

各部分參數(shù)名稱及符號(hào)見表1。設(shè)定初始狀態(tài)下，整腿與地面垂直且小腿處于完全伸直狀態(tài)，α，β 及 γ 均為0。分別在髖關(guān)節(jié)板、膝關(guān)節(jié)板和足端建立笛卡兒坐標(biāo)系 O₀X₀Y₀Z₀ 、 O₀^′X₀^′Y₀^′Z₀^′ 、O₀^′′X₀^′′Y₀^′′Z₀^′′ 與 O_?0FX_?0FY_?0FZ_?0F 。軸 X_o 與軸 Axis₂ 共線，軸 Y₀ 與軸 Axis₁ 共線，軸 Z₀ 通過右手法則得到。其余坐標(biāo)系的建立原則與 O₀X₀Y₀Z₀ 相同。初始狀態(tài)下點(diǎn) O 點(diǎn) O₀^′ 和點(diǎn) O_?0F 共線。

初始狀態(tài)下大腿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖見圖 4b ，該部分較為復(fù)雜，適宜使用旋量法進(jìn)行建模。

首先，分析支鏈 OA₁B₁O^′ ，將其轉(zhuǎn)動(dòng)角依次設(shè)定為 θ_1i（i=1，2，3） ，則各關(guān)節(jié)軸的單位矢量為

在各關(guān)節(jié)軸上取一點(diǎn)：

進(jìn)一步得到各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)旋量 ， 。當(dāng)機(jī)構(gòu)處于初始狀態(tài)時(shí)，在支鏈O₀A₁B₁O₀^′ 中，運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系 O₀^′X₀^′Y₀^′Z₀^′ 相對(duì)于固定坐標(biāo)系 O₀X₀Y₀Z₀ 的位姿為

式中： 為點(diǎn) O₀^′ 在固定坐標(biāo)系 OXYZ 中的位置矢量； 為三階單位矩陣； 為初始狀態(tài)下點(diǎn) O₀^′ 在固定坐標(biāo)系 OXYZ 中的位置矢量。

當(dāng)腿部機(jī)構(gòu)處于初始狀態(tài)時(shí)，3條支鏈O₀A_iB_iO₀^′ （ ζ_i=1，2，3） 呈繞軸 Z_o 的環(huán)形排列。此處引入矩陣 ¹_kR ，表示支鏈 O₀A_iB_iO₀^′（i=1，2 3）相對(duì)于支鏈 O₀A₁B₁O₀^′ 繞軸 Z₀ 旋轉(zhuǎn)了 δ 角度，表示為

聯(lián)立式（1）、式（2）及式（5）可得第 k 個(gè)支鏈各轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)軸的單位矢量及在軸上取得的點(diǎn)：

i=1，2，3，4k=1，2，3

據(jù)此，可以建立支鏈 O₀A₂B₂O₀^′ 及支鏈O₀A₃B₃O₀^′ 的正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 O₀T₂ 、 O₀T₃ 。因?yàn)槿龡l支鏈足端共點(diǎn)，因此有

整理后得點(diǎn) O_o^′ 在 O₀X₀Y₀Z₀ 中的位置與驅(qū)動(dòng)角 β（θ₁₁） 和 α（θ₂₁） 之間的關(guān)系：

圖4d為小腿運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖，其三個(gè)支鏈C_iD_iE_i（i=1，2） 的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全相同。圖4e展示了支鏈 C₁D₁E₁ 的運(yùn)動(dòng)，它與曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)等效，根據(jù)幾何關(guān)系可以得到支鏈末端在坐標(biāo)系 O₀^′′X₀^′′Y₀^′′Z₀^′′ 內(nèi)的運(yùn)動(dòng)公式：

ΔL₂=2L₄-2L₄cosγ

綜合大腿和小腿位置正解模型，最終得到腿部機(jī)構(gòu)足端在固定坐標(biāo)系 O₀X₀Y₀Z₀ 中的位置Π^O₀p_ΠF 與驅(qū)動(dòng)角 β（θ₁₁） 和 α（θ₂₁） 之間的關(guān)系：

同時(shí)也可以得到U副 A₁ 與 A₂ 中的非驅(qū)動(dòng)R副的轉(zhuǎn)角與驅(qū)動(dòng)角 β（θ₁₁） 和 α（θ₂₁） 之間的關(guān)系：

位置逆解模型由幾何法推導(dǎo)。如圖5所示，過點(diǎn) O₀ 作垂直于足端面 E₁E₂E₃ 的垂線 OO_°E ，OO_°E 與面 B₁B₂B₃ 交于點(diǎn) O_0B 。根據(jù)三角形正切與余弦定理即可推得位置逆解模型：

根據(jù)影響系數(shù)法，分別求式（11）中 O°PFx 、 和 關(guān)于 α，β 和 γ 的偏導(dǎo)數(shù)，得到速度映射關(guān)系模型：

式中 ：J_vF 為腿部機(jī)構(gòu)各驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)到足端速度之間的關(guān)系矩陣，即一階影響系數(shù)矩陣。

足端在坐標(biāo)系 O₀X₀Y₀Z₀ 下的姿態(tài)不發(fā)生變化，故其角速度、角加速度均為0。根據(jù)影響系數(shù)法，足端的線加速度表達(dá)式通過對(duì)式（14）求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)得到。至此，完成整腿運(yùn)動(dòng)學(xué)建模。

3動(dòng)力學(xué)建模

首先推導(dǎo)腿部各部分的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，為動(dòng)力學(xué)建模奠定基礎(chǔ)。全向運(yùn)動(dòng)仿生腿大腿由三條支鏈 O₀A_iB_iO₀^′（i=1，2，3） 組成。以支鏈 O₀A₁B₁O₀^′ 為例介紹建模方法，其運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖見圖6。

建立各桿件在固定坐標(biāo)系 O₀X₀Y₀Z₀ 下的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。十字軸 CS_A1 的角速度矢量為

十字軸質(zhì)心的線速度為0。十字軸 CS_B1 僅繞軸 Y_o^′ 轉(zhuǎn)動(dòng)，故其角速度矢量為

十字軸 CS_B1 質(zhì)心相對(duì)于膝關(guān)節(jié)板的線速度為0。大腿桿 A₁B₁ 質(zhì)心與幾何中心重合。大腿桿 A₁B_i 繞軸 Axis_A1y 與 Axis_A1x 轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度為U副 A₁ 的兩個(gè)轉(zhuǎn)角的角速度 和 的矢量和。根據(jù)角速度傳遞關(guān)系（疊加原理），可知大腿桿 A₁B₁ 在坐標(biāo)系 O_0A1X_0A1Y_0A1Z_0A1 內(nèi)的角速度矢量為

式中： Ω_{：rθ11，rθ12} 分別為桿 A₁B₁ 繞軸 Axis_A1y 和 Axis_A1x 旋轉(zhuǎn)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的方向矢量； rot（Axis_A1y，θ₁₁） 、rot （Axis_A1x，θ₁₂） 分別表示桿 A₁B₁ 繞軸 Axis_A1y 和Axis_A1x 的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。

對(duì)式（12）中 θ₁₂ 求全微分，可得 分別與全向運(yùn)動(dòng)仿生腿三個(gè)電機(jī)的角速度 的關(guān)系。已知初始狀態(tài)下桿件 A₁B₁ 質(zhì)心在坐標(biāo)系O_0A1X_0A1Y_0A1Z_0A1 中的位置矢量為 ，則桿件做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)后其質(zhì)心的位置矢量為

式中： ^O_OB1^0A1R 為桿件 A₁B₁ 的旋轉(zhuǎn)矩陣。

桿件 A₁B₁ 質(zhì)心處的線速度矢量為

坐標(biāo)系 O_0A1X_0A1Y_0A1Z_0A1 與 OXYZ 的姿態(tài)始終相同，故桿件 A₁B₁ 的角速度矢量、質(zhì)心的位置矢量和質(zhì)心的線速度矢量分別為

o_pA1B1c=o_0A1p_A1B1c

已知桿件 A₁B₁ 質(zhì)心的線速度矢量，對(duì)其求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)即可得到質(zhì)心的線加速度。大腿其余兩支鏈建模方法與上述類似，不再贅述。

如圖7所示，小腿傳動(dòng)機(jī)構(gòu)由萬向節(jié)聯(lián)軸器G_J1A₄B₄U_EG_J2 和錐齒輪組（傳動(dòng)比為 1：1） 構(gòu)成。

桿 G_J1A₄ 內(nèi)嵌在髖關(guān)節(jié)板內(nèi)，且轉(zhuǎn)動(dòng)軸始終與 Z₀ 同軸，故其角速度矢量及線速度矢量為

O_9GJ1A4=0

根據(jù)幾何傳遞關(guān)系，桿 G_J1A₄ 、桿 B₄U_E"、U_EG_J2 、十字軸 CS_UE 和四個(gè)錐齒輪角速度相同。后四者的質(zhì)心始終位于自旋轉(zhuǎn)軸上，故相對(duì)膝關(guān)節(jié)板的線速度為0。

桿 A₄B₄ 的自旋轉(zhuǎn)軸與萬向節(jié)聯(lián)軸器主動(dòng)桿G_J1A₄ 的軸線存在一個(gè)變化的角度，不等速特性復(fù)雜，不易解耦。考慮到桿 A₄B₄ 、十字軸 CS_A4 及十字軸 CS_B4 的質(zhì)量在整腿的質(zhì)量中占比較小，忽略不等速特性及耦合運(yùn)動(dòng)后，對(duì)構(gòu)建整腿動(dòng)力學(xué)模型的影響較小，因此，本文忽略上述運(yùn)動(dòng)耦合，視萬向節(jié)聯(lián)軸器 A₄B₄U_E 由電機(jī) M₃ 帶來的自旋運(yùn)動(dòng)與由電機(jī) M₁ 和電機(jī) M₂ 帶來的運(yùn)動(dòng)相互獨(dú)立，以降低動(dòng)力學(xué)建模難度。

設(shè)初始狀態(tài)下，萬向節(jié) A₄、B₄ 與U副 方向相同。忽略耦合運(yùn)動(dòng)后，十字軸 CS_A4、CS_B4 繞各軸旋轉(zhuǎn)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的方向矢量始終不變。參考支鏈 O₀A₁B₁O₀^′ 相關(guān)分析，可得十字軸 CS_A4 ）CS_B4 的角速度矢量及線速度矢量：

CS_B4 的線速度和膝關(guān)節(jié)板一致，后文一并分析。當(dāng)桿 A₄B₄ 由電機(jī) M₁ 和 M₂ 所帶來的運(yùn)動(dòng)與電機(jī) M₃ 所帶來的運(yùn)動(dòng)相互獨(dú)立時(shí)，其角速度為

忽略電機(jī) M₃ 帶來的運(yùn)動(dòng)后，桿 A₄B₄ 的質(zhì)心與桿 的質(zhì)心的線速度矢量相同：

已知初始狀態(tài)下桿 A₄B₄ 質(zhì)心在坐標(biāo)系O₀X₀Y₀Z₀ 下的位置矢量 ，則運(yùn)動(dòng)后，桿A₄B₄ 質(zhì)心的位置矢量為

其中， 為桿 A₄B₄ 的旋轉(zhuǎn)矩陣，忽略電機(jī) M₃ 帶來的運(yùn)動(dòng)后 。

已知膝關(guān)節(jié)板在坐標(biāo)系 O₀X₀Y₀Z₀ 下始終作平移運(yùn)動(dòng)，故角速度為0，且內(nèi)部各點(diǎn)的線速度均相等，因此膝關(guān)節(jié)板質(zhì)心的線速度與點(diǎn) O_o^′ 的線速度一致。

對(duì)點(diǎn) O_o^′ 位置模型（式（9））求偏導(dǎo)得點(diǎn) O_o^′ 的線速度矢量為

式中： ：J_vO0^′ 為點(diǎn) O₀^′ 的速度雅可比矩陣。

膝關(guān)節(jié)板及內(nèi)嵌零件所組成的裝配體（簡(jiǎn)稱“膝關(guān)節(jié)板部件總成”）的質(zhì)心在坐標(biāo)系O₀^′X₀^′Y₀^′Z₀^′ 中的坐標(biāo)為 。根據(jù)幾何關(guān)系，膝關(guān)節(jié)板部件總成的質(zhì)心位置矢量可表示為

^O_°P_Abc=^O′_Bbc+^O_°P_O0^′

全向運(yùn)動(dòng)仿生腿小腿由三條支鏈組成（C_iD_iE_i（i=1，2，3）） 。以支鏈 C₁D₁E₁ 為例介紹建模方法。如圖8所示，在點(diǎn) C₁ 處建立固定坐標(biāo)系 O_c1X_c1Y_c1Z_c1，Z_c1 與 Z_o^′ 同向， X_C1 與R副 C₁ 同軸并垂直于支鏈 C₁D₁E₁ 的運(yùn)動(dòng)平面向外， Y_C1 方向根據(jù)右手法則得到。在點(diǎn) D₁ 處建立運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系 O_D1X_D1Y_D1Z_D1，Z_D1 沿桿 C₁D₁ 方向向下，X_D1 與 X_C1 同向， Y_D1 由右手法則決定。同理，建立運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系 O_E1X_E1Y_E1Z_E1 。

首先，建立各桿件在固定坐標(biāo)系O_C1X_C1Y_C1Z_C1 下的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。桿 C₁D₁ 的角速度矢量為

已知桿 C₁D₁ 的質(zhì)心初始位置矢量為 ，則運(yùn)動(dòng)后其質(zhì)心的位置矢量為

式中： 為坐標(biāo)系 O_D1X_D1Y_D1Z_D1 相對(duì)坐標(biāo)系O_c1X_c1Y_c1Z_c1 的旋轉(zhuǎn)矩陣。

進(jìn)一步，得桿 線速度矢量為

桿 D₁E₁ 的角速度矢量為

式中： r_φ 為桿 D₁E₁ 在坐標(biāo)系 O_D1X_D1Y_D1Z_D1 內(nèi)的轉(zhuǎn)角方向矢量。

令 為桿 D₁E₁ 的質(zhì)心在坐標(biāo)系O_D1X_D1Y_D1Z_D1 中的初始坐標(biāo)， 為點(diǎn) O_D1 在坐標(biāo)系 O_c1X_c1Y_c1Z_c1 下的初始位置矢量，均為已知量。運(yùn)動(dòng)后，桿 D₁E₁ 質(zhì)心位置坐標(biāo)為

式中： 為桿 D₁E₁ 的質(zhì)心在坐標(biāo)系O_D1X_D1Y_D1Z_D1 中的位置矢量于坐標(biāo)系 O_c1X_c1Y_c1Z_c1 中的表述； 為坐標(biāo)系 O_E1X_E1Y_E1Z_E1 相對(duì)坐標(biāo)系O_c1X_c1Y_c1Z_c1 的旋轉(zhuǎn)矩陣。

進(jìn)一步，得到桿 D₁E₁ 質(zhì)心的線速度矢量：（20

綜合上述，根據(jù)傳遞關(guān)系，可知桿 C₁D₁ 在固定坐標(biāo)系 O₀X₀Y₀Z₀ 下的角速度矢量、質(zhì)心的位置矢量和質(zhì)心的線速度矢量分別為

式中： σΛ′′oc1 為點(diǎn) Oc1 在坐標(biāo)系 O0′X0′Y0′Z0′ 中的位置坐標(biāo)，是一個(gè)固定不變的已知坐標(biāo)； 為坐標(biāo)系Oc1Xc1Yc1Zc1 相對(duì)坐標(biāo)系 O0′X0′Y0′Z0′ 的旋轉(zhuǎn)矩陣，為常數(shù)矩陣。

桿 D₁E₁ 同理。在進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模之前，對(duì)腿部機(jī)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化并對(duì)一部分條件進(jìn)行假設(shè)：① 設(shè)定機(jī)構(gòu)各部分為密度均勻的絕對(duì)剛體； ② 忽略傳動(dòng)機(jī)構(gòu) PL_i（i=1，2） 對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的影響。

根據(jù)拉格朗日動(dòng)力學(xué)建模法，對(duì)腿部機(jī)構(gòu)總能量求導(dǎo)建立標(biāo)準(zhǔn)拉格朗日動(dòng)力學(xué)公式：

進(jìn)一步，改寫為矩陣形式：

式中： 為慣量矩陣； 為速度系數(shù)矩陣； 為外力矢量，此處僅為重力矩陣； 及 分別為各電機(jī)角度、角速度和角加速度。

根據(jù)虛功原理建立足端輸出力 F 與電機(jī)力矩 τ 之間的關(guān)系：

聯(lián)立式（46）、式（47）得動(dòng)力學(xué)公式：

若足端有外力 F_f ，則上式改寫為

據(jù)此可得到有外力情況下的動(dòng)力學(xué)公式：

4仿真驗(yàn)證與樣機(jī)實(shí)驗(yàn)

通過仿真及實(shí)驗(yàn)對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證。腿部機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)如表2所示。

首先仿真驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解模型，令足端軌跡按如下軌跡運(yùn)動(dòng)：

Z（t）=0.05（-0.004096t⁶+0.06144t⁵-

0.3072t⁴+0.512t³）

仿真得到足端的位置、速度和加速度變化情況，如圖9所示。然后給定一組驅(qū)動(dòng)函數(shù)：

0?t?6

仿真得足端位置、速度和加速度變化情況，如圖10所示。

計(jì)算逆解仿真與理論的位置、速度和加速度的最大誤差分別為 42.5μm.74μm/s 和1.5mm/s² ，誤差百分比分別為 0.04%.0.09% 和1.8% ；正解仿真與理論的位置、速度和加速度的最大誤差分別為 45μm，63μm/s 和 2.89mm/s² ，誤差百分比分別為 0.05%.0.08% 和 1.9% ，誤差值均較小。上述證明所建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是正確的。

接著通過仿真驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)定驅(qū)動(dòng)函數(shù)為式（52），且 0?t?2s ，在 0～1 s 內(nèi)向腿部機(jī)構(gòu)足端施加一個(gè)外力F_f=[0-20" 20]^T（N）在 1～2 s內(nèi)無外力，理論和仿真結(jié)果分別如圖11a和圖11b所示，兩者誤差對(duì)比情況如圖11c所示。計(jì)算得電機(jī) M₁ 、 M₂ 和 M₃ 的最大誤差分別約為 2.1mN?m.1.5mN?m 和 5.2mN?m ，誤差百分比分別約為 0.1%0.0.6% 和 0.2% 。誤差是忽略不等速特性及傳動(dòng)機(jī)構(gòu) PL_i （ i=1，2） 運(yùn)動(dòng)造成的。理論與仿真力矩之間絕對(duì)誤差較小，相對(duì)誤差在 1% 以內(nèi)，證明所作出假設(shè)對(duì)動(dòng)力學(xué)建模影響較小。

上述從仿真的角度證明了本文所建立的全向運(yùn)動(dòng)仿生腿動(dòng)力學(xué)模型是可行的、正確的。下面通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所建立數(shù)學(xué)模型的正確性。如圖12所示，開發(fā)了全向運(yùn)動(dòng)仿生腿的原型樣機(jī)。本文使用NOKOV光學(xué)動(dòng)作捕捉系統(tǒng)（圖13）監(jiān)測(cè)腿部運(yùn)動(dòng)，以驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

設(shè)定式（51）為足端位移曲線，實(shí)驗(yàn)軌跡如圖14所示。圖15所示為實(shí)驗(yàn)與理論對(duì)比結(jié)果，可以看出，位移與速度隨時(shí)間的變化曲線與理論結(jié)果基本一致，加速度存在一定波動(dòng)，但整體趨勢(shì)與理論一致。計(jì)算 X，Y，Z 方向上最大位置誤差分別為 1.4mm.0.9mm 和 1.0mm ，誤差百分比分別約為 1.4%.1.8% 和 2% ，誤差主要由零部件加工誤差及樣機(jī)裝配誤差產(chǎn)生。

設(shè)定電機(jī)運(yùn)動(dòng)函數(shù)為式（52），實(shí)驗(yàn)軌跡如圖

16所示。圖17所示為實(shí)驗(yàn)與理論對(duì)比結(jié)果，可知，位移與速度隨時(shí)間變化曲線與理論基本一致，實(shí)驗(yàn)加速度存在一定波動(dòng)，但趨勢(shì)與理論一致。計(jì)算 X，Y，Z 方向上最大位置誤差分別為2.1mm.1.9mm 和 1.7mm ，誤差百分比分別約為3.0%.2.7% 和 1.9% ，誤差主要由電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)函數(shù)在初始和結(jié)束時(shí)刻的速度不為零導(dǎo)致。

根據(jù)上述分析，實(shí)驗(yàn)與理論結(jié)果誤差較小，證明所建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是正確的。

為驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)模型的正確性，搭建單腿運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，見圖18。

令單腿運(yùn)動(dòng)平臺(tái)移動(dòng)6個(gè)邁步周期（3擺動(dòng) + 3支撐），足端運(yùn)動(dòng)軌跡為

運(yùn)動(dòng)參數(shù)如下， .L=0.1m，H=0.05m （擺動(dòng)期）， H=0 （支撐期）， L_h=0，T=1s 。利用電機(jī)自帶的力矩傳感器獲取電機(jī)力矩變化情況。

圖19所示為單腿運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在擺動(dòng)期和支撐期時(shí)電機(jī)力矩理論值對(duì)比結(jié)果，可以看出，在支撐期和擺動(dòng)期的交換時(shí)段，理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果偏差較大，這是由于力矩傳感器的監(jiān)測(cè)滯后性及足端與地面交互時(shí)的振蕩所導(dǎo)致的。在非交換時(shí)段，各電機(jī)的實(shí)際力矩變化曲線基本是沿理論曲線變化的，且電機(jī) M₁…M₂ 和 M₃ 的扭矩最大誤差分別為 0.1N?m?0.14N?m 和 0.37N?m ，電機(jī) M₂ 和 M₃ 的扭矩誤差百分比分別約為 6.3% 和 8.7% （ M₁ 電機(jī)理論扭矩為0，故不計(jì)算誤差百分比），誤差值較小（誤差主要由機(jī)構(gòu)各桿件之間存在摩擦所導(dǎo)致）。上述分析證明所建立的動(dòng)力學(xué)模型是正確的。

5結(jié)論

1）介紹了一種新串并混聯(lián)型腿部機(jī)構(gòu)——全向運(yùn)動(dòng)仿生腿，它具有驅(qū)動(dòng)固定集中、足端無伴隨轉(zhuǎn)動(dòng)及全向運(yùn)動(dòng)能力三項(xiàng)特性。

2）提出多方法聯(lián)合的建模方法，即基于不同部分的特點(diǎn)分別應(yīng)用旋量法和幾何法進(jìn)行單獨(dú)建模，再整合結(jié)果并結(jié)合影響系數(shù)法建立整腿運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。相對(duì)于從整體角度基于單一方法進(jìn)行建模，所提出的方法建模難度更小。基于拉格朗日法建立了動(dòng)力學(xué)模型。

3）基于隨機(jī)給定的驅(qū)動(dòng)函數(shù)、足端軌跡及外力，仿真驗(yàn)證了所建立的全向運(yùn)動(dòng)仿生腿數(shù)學(xué)模型的正確性。開發(fā)原型樣機(jī)，通過軌跡追蹤實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性，通過監(jiān)測(cè)電機(jī)力矩變化情況，驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型的正確性。

下一步將研制基于該腿部機(jī)構(gòu)的雙足機(jī)器人，并進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制算法的開發(fā)工作。

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作者簡(jiǎn)介：徐毓?jié)桑校?992年生，博士。研究方向?yàn)橹悄軣o人系統(tǒng)平臺(tái)與動(dòng)力。E-mail：xuyuze_nudt @ sina.com。盧鐘岳*（通信作者），男，1988年生，副教授。研究方向?yàn)橹悄軣o人系統(tǒng)平臺(tái)與動(dòng)力。E-mail：luzhongyue@nudt.edu.cn。

本文引用格式：

徐毓?jié)桑R鐘岳，朱一鳴，等.全向運(yùn)動(dòng)仿生腿運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)[J].中國機(jī)械工程，2025，36（4）：811-820.XUYuze，LU Zhongyue，ZHU Yiming，et al.Kinematics andDynamics Modeling and Experiments of Omnil Legs[J].ChinaMechanical Engineering，2025，36（4）：811-820.