2-UPS/RRR并聯機構位置逆解與可達工作空間分析

中圖分類號：TH112 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.07.004

0 引言

踝關節在人體行走時扮演著維持平衡的關鍵角色，它承擔著身體的主要質量，是人體下肢中較為脆弱、容易受傷的關節之一。踝關節受傷后若沒有得到及時有效的治療，可能導致關節穩定性下降、關節本體感覺減弱、持續的疼痛和不適等后果。這些癥狀會增加踝關節反復受傷的風險，并可能影響行走、跑步等日常活動。此外，卒中后神經系統受到損害，可導致踝關節周圍的肌肉疲軟無力，使患者無法像正常人一樣行走。

為了避免踝關節損傷帶來的各種問題，患者需要及時進行大量重復的康復訓練[4。經過一定時間的訓練，恢復踝關節的相關肌肉力量和平衡能力，進而使腳踝恢復正常的運動功能[5]。傳統的腳踝康復通常由醫生親自指導和訓練患者，這一過程不僅耗時費力、過程復雜，而且成本高昂，增加了患者及其家庭的經濟負擔，難以滿足患者對于腳踝康復的迫切需求[6-7]。隨著機器人技術在康復領域的研究和廣泛應用，使用踝關節康復機器人[8-10來替代傳統的康復方法已成為一種發展趨勢。這些康復機器人不僅提高了康復效率，減輕了醫生的工作負擔，而且能夠通過規律且合適的康復運動幫助患者更快地康復[1-12]

經過多年研究，國內外已經研制出多種踝關節康復機器人。PAYEDIMRRI等[13提出的基于Steward-Gough平臺設計的RutgersAnkle并聯機器人是較為典型的最早應用于人體腳踝的康復機構，可以根據患者的具體需求和康復進度調整訓練程序，且可遠程控制、評估、指導患者的日常訓練；但RutgersAnkle的設計、制造以及操作十分復雜，成本高昂且運動范圍有限，限制了該康復系統的普及。CHO等[4設計了一款串聯型踝關節康復機器人，其腳踏板可實現空間的復合轉動；但是，該機構只有2個自由度，只能實現腳踝的背伸/跖屈、內翻/外翻康復訓練。DAI等5提出了一款并聯式踝關節康復機構，可以實現腳踝的復合運動；但是同樣只具有2個自由度，且運動時機構的旋轉中心不能和人體腳踝的運動中心相重合。樊曉琴等提出了一款名為（ 2-SPS+PU ）amp;R的混聯式踝關節康復機構，不僅能實現踝關節基本動作的康復運動，還能實現踝關節的牽引運動。黃鍵等提出了一款并聯3-URS踝關節康復機器人，可以實現踝關節3個自由度方向上的運動。王海芳等[18提出了一款名為3-SPS/S的3自由度并聯康復機構，通過3個電動推桿實現機構3個自由度的旋轉。但以上兩種康復機構都無法實現運動時機構的旋轉中心和人體腳踝的運動中心相重合。李劍鋒等[19-21]也從不同角度設計了不同的踝關節康復機器人，并進行

了相關的理論分析。此外，市面上功能相對齊全、比較成熟的產品有上海某智能技術公司開發的AnkleMo-tus[22]。但這種康復器械體積龐大、價格昂貴，只適合在醫院或治療中心使用，不適合家庭使用；不適用于卒中患者的早期臥床不起階段。

結合前人的研究成果，基于并聯機構具有的較低的慣性、較小的能量消耗、高精度、重復定位能力以及高載荷能力等優點，本文設計了一款2-UPSRRR踝關節并聯康復機構。該機構結構簡單、易于操作、成本低廉，可以很好地滿足腳踝損傷患者的康復需求。

1基于踝關節運動特征的并聯康復機器人機構設計

1. 1 踝關節的運動分析

為了方便理解，通常將踝關節的基本運動23描述為背伸/跖屈、內翻/外翻、內旋/外旋。背伸是指腳尖向上抬起的動作，使腳背靠近小腿。跖屈是指腳尖向下的動作，像踩油門或站立時腳尖觸地的動作。內旋是指腳踝向體內側旋轉的動作。外旋是指腳踝向體外側旋轉的動作。內翻是指腳底向身體中線方向移動、使得腳的內側抬起的動作。外翻是指腳底向身體中線外側移動、使得腳的外側抬起的動作。圖1為踝關節基本運動示意圖。

各種旋轉運動的范圍區間因人而異，但大致在一個范圍之內。踝關節運動范圍如表1所示。

1. 2 機構設計

踝關節康復機構的三維模型如圖2所示，主要由3個電動推桿（P）、動平臺、編碼器、伺服電動機以及約束支鏈構成。其中，兩個電動推桿通過虎克鉸（U）與靜平臺相連，通過球鉸（S）與動平臺相連。另一個電動推桿用來調節機構的角度，可以使患者在康復過程中改變小腿的姿勢，增加舒適性。約束支鏈相當于一個RRR支鏈，保證3個轉軸相交于一點。采用電動推桿驅動3個移動副 P_1? P₂ 、 P₃ ；伺服電動機驅動轉動副 R₁ 。通過調節電動推桿 P₁^′ 、 P₂^′ 的伸縮，可實現動平臺的背伸/跖屈、內翻/外翻動作；通過伺服電動機的旋轉，可實現動平臺的內旋/外旋動作。在轉動副 R₂ 和 R₃ 的轉軸上配備有角度編碼器，以便根據每個編碼器的角度信息實時地掌握動平臺的姿態角參數。驅動支鏈分布在動平臺的兩側。

電動推桿電動機為步進電動機，運行時可以通過可編程控制器設置電動推桿以及伺服電動機合適的運轉速度以及行程。為避免電器元件出現故障而導致運動范圍超出患者腳踝的承受范圍，增加了機械限位，如圖3所示。根據患者腳踝的承受范圍，將螺栓固定在合適的位置，一旦裝置運轉超過程序設置的范圍，螺栓可阻擋裝置繼續旋轉，從而保障患者的安全。

為了讓患者腳踝的運動中心與機構的運動中心貼合，在動平臺上增加了高度調節裝置，如圖4所示。

設計的動平臺由上平臺和下平臺構成。轉動調節旋鈕可改變上平臺的高度，使患者的腳踝旋轉中心與設備旋轉中心大致對齊。在康復階段，使用彈性帶將患足固定在動平臺上，確保轉動過程中患足相對于上平臺的位置保持穩定，不發生滑動或偏移，有效避免不必要的傷害，提高了康復設備的兼容性和實用性。

2 理論分析

2.1 坐標系建立

圖5所示為2-UPS/RRR機械裝置的機構簡圖以及坐標系。

圖5中，坐標系定義如下：軸交點 o 為兩個旋轉軸空間的位置，定坐標系 O-XYZ 以 o 點為原點，水平方向設為 X 軸，垂直方向設為 Z 軸，根據右手定則確定Y軸方向；動坐標系 m-xyz 的原點與固定坐標系的原點重合。圖5中，3個轉動副 R₁ 、 R₂ 、 R₃ 的軸線交會于一點，該點是機構旋轉中心與腳踝旋轉中心的重合處。3個轉動副 R₂ 、 R₃ 、 R₁ 的旋轉角度分別表示為 α，β 和 γ 。位于靜平臺的兩個虎克副的旋轉軸中心點設為 A_i（i=1 ，2），位于動平臺的兩球副球心點設為 B_i（i=1 ，2）。

2.2 自由度計算

由于推桿 P₃^′ 只用來調節角度，對機構自由度不產生影響，故只分析上半部分的自由度。選取其中一條支鏈，基于螺旋理論，分析并聯踝關節康復機器人的運動自由度。初始狀態下，虎克副的一個軸線橫向平行于 X 軸，另一個軸線縱向平行于Y軸。基于此來構建坐標系，圖6所示為UPS-1支鏈的螺旋系。

該螺旋系表達式為

式中， h₃ 為原點處力矩向量各分量的大小。

通過式（1）可以看出，6個螺旋線是線性無關的，可利用螺旋間的互易積等于0的規律來尋求支鏈的反螺旋，即

S₁₁^r=（0，0，0; 0，0，0）

根據式（2）可以推斷，這條運動支鏈UPS并未對動平臺引入新的運動約束。同樣，另一側的支鏈也并未對動平臺產生任何運動約束。依據Kutzbach-Grubler自由度計算公式，有

式中， F 為機構自由度數； n 為桿件數； g 為鉸鏈數；f_i 為第 i 個鉸鏈的自由度。因此， F=6×（6-7-1）+（2× 2+2×1+2×3+1×3=3 。機構自由度為3，可以實現腳踝3個方向的基本運動。

2.3 位置逆解

采用閉環矢量法求解圖5所示機構的運動學逆解。選擇 Z-Y-X 型歐拉角來表述機構動平臺姿態信息， B_i 點在靜平臺坐標系 O-XYZ 的坐標設為 B_i^o ， B_i 點在動坐標系 m-xyz 中的坐標設為 B_i^m ， A_i 點在靜平臺坐標系 O-XYZ 的坐標設為 A_i^o ，如式（4）所示。動平臺繞Z軸旋轉的角度設為 γ ，繞Y軸旋轉的角度設為 β ，繞 X 軸旋轉的角度設為 α 。據此，可以計算得出所有點的坐標。

動平臺繞 oz 、OY、 OX 的旋轉矩陣分別為

R_m^o 為坐標系 m-xyz 到坐標系 O-XYZ 的旋轉變換矩陣。由式（5）＼～式（7）可得

式中，s表示 sin 函數；c表示 cos 函數。

根據人體腳踝的一般尺寸以及運動范圍，設置動平臺長度為 275mm ，寬度為 130mm ，驅動支鏈1與驅動支鏈2的初始長度為 215mm 。在定坐標系 O- XYZ 中，借助SolidWorks軟件中的測量工具，可獲得靜平臺上點 A_i（i=1 ，2）的坐標，即

同理，測得驅動桿1、驅動桿2與坐標軸的夾角；結合兩桿的長度，即可得知 B_i 點的坐標，即

由 B_i^o=R_m^oB_i^m 可求得

由此，支鏈 i 長度 l_i（i=1 ，2）可表示為

明確了動平臺的旋轉角度，即 α 、 β 、 γ 的具體數值，就可以算出每個連桿的長度 l_i° 比較當前與初始狀態下連桿長度 L 的差值，就可以求出驅動桿長度的變化。

2.4位置逆解驗證

首先，將運動時間設為 2s ，步長設為 0.01s ，在Adams軟件中建立虛擬模型，將驅動副 P_1? P₂ 的位移量設為 l₁ 與 l₂ 。背伸/跖屈運動時，將式（14）設為動平臺質心處的驅動方程，繪制 l₁ 與 l₂ 隨時間 Φ_t 的變化曲線。同樣，將式（15）設為動平臺進行內翻/外翻時質心處的驅動方程，式（16）設為內旋/外旋時動平臺質心處的驅動方程，分別繪制 l₁ 與 l₂ 隨時間 Φ_t 的變化曲線。最后，將動平臺質心的驅動方程代入運動學逆解方程中，通過Matlab軟件分別繪制3種運動下 l₁ 與 l₂ 隨時間 Φ_t 的變化曲線。將Adams軟件與Mat-lab軟件求出的驅動副運動曲線數據進行對比，驗證位置逆解的正確性。

1）利用Adams軟件與Matlab軟件求出的驅動支鏈在進行背伸/跖屈運動時的曲線規律如圖7所示。

從圖7可以看出，此時Adams軟件與Matlab軟件計算出的1號驅動桿與2號驅動桿的曲線運動規律及數值一致，表明康復機構在進行背伸/跖屈運動時的位置逆解正確。

2）利用Adams軟件與Matlab軟件求出的驅動支鏈在進行內翻/外翻運動時的曲線規律如圖8所示。

從圖8可以看出，此時Adams軟件與Matlab軟件計算出的1號驅動桿與2號驅動桿的曲線運動規律及數值一致，表明康復機構在進行內翻/外翻運動時的位置逆解正確。

3）利用Adams軟件與Matlab軟件求出的驅動支鏈在進行內旋/外旋運動時的曲線規律如圖9所示。

從圖9可以看出，此時Adams軟件與Matlab軟件計算出的1號驅動桿與2號驅動桿的曲線運動規律及數值一致，表明康復機構在進行內旋/外旋運動時的位置逆解正確。

2.5 位置正解

本文采用數值法來求解并聯機構位置正解。根據式（13）可知，機構驅動桿長 l_i 的非線性方程組表達式為

式中， A₁ 、 A₂ 均為連接驅動支鏈到靜平臺上的點的坐標向量； B₁ 、 B₂ 均為連接驅動支鏈到動平臺上的點的坐標向量； P 為動平臺質心在靜坐標系 O-XYZ 中的位置向量。

取 X=[α β γ』，化簡后得到

f_i（X）=l_i²-（B_i^o-A_i^o）^T（B_i^o-A_i^o）=0

將方程組的理論解設為 ，則 為該方程組的初始 值； δ 為方程組的誤差矢量， δ=[δ_?1 δ_?2 δ₃ J。可得

當 f_i（X_k+δ）=f_i（X^*）=0 時，可得一線性方程組：

將其展開為

簡記為

[J][δ]=[-f]

式中， [J] 為Jacobian矩陣。

接下來，根據Newton-Raphson迭代法尋求正解。將式（18）＼～式（20）聯立，可得到并聯機構關于動平臺末端位姿 α 、 β 、 γ 和桿長 l_i 的約束方程組，即

當桿長 l_i 的數值確定時，根據以上方程組即可求得動平臺的位姿參數 α 、 β 、 γ 的值。

3 工作空間分析

工作空間分析是機械設計和應用中的一個關鍵步驟。通過分析工作空間可以確定機構是否能夠覆蓋所需的工作范圍，同時可以更好地設計和優化機構結構，以適應特定應用的需求。基于第2.3節求出的位置逆解，設置驅動支鏈的移動范圍為 ±200mm ，虎克鉸的轉動角度范圍為 ±30^° ，幾何數據如表2所示。借助Matlab軟件編寫求解程序，代入相關的數據，求得的機構可達工作空間如圖10＼～圖13所示。

從圖10＼～圖13可以發現，工作空間整體區域沒有出現空洞，表明在此條件下康復機構可以到達區域內的所有位置。同時，將康復機構的運動角度數據列于表3中。與表1中人體踝關節的運動范圍進行對比發現，設計的康復機構的運動范圍可以滿足踝關節的運動范圍要求。

4結論

基于人體踝關節的基本運動與前人的研究成果，提出了一款2-UPS/RRR的康復并聯機構。設計了限位結構，保證機器不會給患者帶來二次傷害；使用螺旋理論以及Kutzbach-Grubler自由度計算公式計算了機構自由度；建立了位置逆解方程及正解方程，并采用Adams與Matlab軟件對逆解方程進行了聯合驗證。對并聯機構的可達工作空間分析表明，該康復機構運動范圍可以滿足人體踝關節的康復需求，且結構簡單、操作便捷、康復成本低廉，具有良好的應用價值。

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2-UPS/RRR parallel mechanism position inverse solution and reachable workspaceanalysis

LI ChangWANG Youqiang ZHENGYi WANG FeiyangWANG Dengze （SchoolofMechanicalamp;Automotive Engineering，Qingdao UniversityofTechnology，Qingdao，China

Abstract：[Objective]A2-UPS/RRRparallelmechanismwascreatedfortherehabilitationoftheankle.[Methods]The mechanism’sthre-dimensionalmodelwascreatedusingSolidWorkssoftware，andamoveableplatformwithanadjustable centerofrotationwasdesignedinaccordancewithvariousanklerotationcentersofdiferentpatients;thedegreeoffreedomof themechanismwascalculatedandanalyzedusingthehelixtheory，andtheresultswereverifiedbyusingtheKutzbach-Grbler formula;theinversesolutionequationforthemechanism'spositionandthepolynomialequationwerederived;theresults were jointlysimulatedandverifiedusingMatlabandAdamssimulationsoftware；theworkspaceof theparalelmechanism was solvedusing the limit search method.Results]Theresults indicate thatthe mechanismcanmeet therehabilitation training requirementsofthehumananklejoint.Theresearchcanprovidereferencefor thesubsequentphysicalprototypemanufacturing.

KeyWords：Ankle rehabilitation;Parallel mechanism; Degree of freedom; Position inverse solution