數學建模與高職工科課程深度融合的實踐與研究

摘 要：針對汽車噴涂生產線中顏色切換成本高、裝配順序復雜的問題，文章提出了一種基于圖論和旅行商問題（TSP）的優化算法，通過將顏色切換問題抽象為圖論中的最短路徑問題，并結合TSP算法，解決了顏色切換次數最小化和裝配成本優化的問題。結果表明，該算法不僅能夠有效減少顏色切換次數，特別是黑色與其他顏色之間的切換成本，還能夠優化裝配順序，降低生產成本。基于數學建模的研究結果表明，該算法不僅可以提高生產效率，還能夠準確地滿足顏色排列的約束條件，研究結果可廣泛應用于汽車制造及其他需要頻繁切換生產任務的工業領域。

關鍵詞：數學建模 高職工科課程 深度融合 實踐

1 緒論

數學建模是連接數學理論與實際問題的橋梁，在培養學生分析問題、解決問題和創新思維能力方面發揮著不可替代的作用，但傳統的高職工科數學教學往往偏重理論知識的傳授，缺乏與實際工程問題的聯系，導致學生學習興趣不高，應用能力不足。因此，探索數學建模與高職工科課程的深度融合，構建以實際問題為導向、以能力培養為核心的數學教學模式，對于提升高職人才培養質量、服務區域經濟發展具有重要的現實意義。

2 高職工科課程實例

某汽車公司生產多種顏色汽車，各種顏色及數量如表1所示。為了制定符合上述裝配要求且生產成本低的裝配順序，要根據顏色排列的要求，確定每種顏色的排列順序；根據C1和C2線的奇偶性要求，合理分配汽車到兩條噴涂線，盡量減少顏色切換次數，特別是黑色與其他顏色之間的切換。同時，將這個問題建模為一個優化問題，目標是最小化顏色切換次數，先定義每種顏色的排列順序和噴涂線分配，根據顏色排列規則和噴涂線要求，設置相應的約束條件，最小化顏色切換次數，特別是黑色與其他顏色之間的切換。通過數學建模，為某汽車公司制定符合裝配要求且生產成本低的裝配順序，不僅展示了數學建模在高職工科課程中的實際應用，也為學生提供解決復雜工程問題的范例。通過這種深度融合，有利于學生能夠更好地理解理論知識，并將其應用于實際工程問題中，從而提高他們的綜合素質。

3 問題分析

3.1 顏色切換費用分析

在汽車噴涂生產線上，顏色切換是非常常見的操作，為了提高生產效率，減少生產成本，通常要求同種顏色汽車嚴格遵循行業標準進行噴涂作業，科學控制顏色切換次數。為此，采用數學建模的方法，分析顏色切換費用。在噴涂生產線上，顏色切換是一個常見的操作，但不同顏色之間的切換費用差異顯著。假設噴涂線上黑色與其他顏色切換的費用為9.5單位，而其他顏色之間的切換費用僅為0.5單位。這種費用差異主要源于黑色顏料的高粘度和清洗難度，導致切換時需要更多的清洗劑和時間，通過數學建模，優化顏色切換順序，最小化總切換費用。例如，利用圖論中的最短路徑算法，將顏色切換問題轉化為圖的最短路徑問題，從而找到最優的顏色切換序列，這種分析方法不僅提高了生產效率，還降低了生產成本，為高職工科課程中的數學建模教學提供了生動的案例。通過這種實踐，學生不僅能夠掌握數學建模的基本方法，還能深刻理解其在工程實際中的應用價值，為未來的職業發展奠定堅實基礎。具體來說，將噴涂線上的顏色切換問題轉化為一個圖論中的最短路徑問題，其中每個顏色代表一個節點，顏色之間的切換費用代表邊的權重，目標是找到一條路徑，將總切換費用降低到最低。為了實現這一目標，采用含糊化明朗、復雜化簡單的化歸數學方法，將顏色切換問題抽象為一個數學模型，然后通過圖論中的算法（如Dijkstra算法）來求解最短路徑，有效地減少顏色切換次數，降低生產成本，提高生產效率[1]。

3.2 裝配成本分析

在汽車總裝線上，顏色管理不僅關乎產品的外觀質量，還直接影響裝配效率。為了優化裝配成本，科學分類汽車顏色，根據總裝線上對顏色的要求，將汽車分為七個類別，如表2所示。

通過上述分類，清晰識別不同顏色汽車在裝配過程中的需求差異，為后續裝配成本分析奠定基礎。接下來，利用抽象化具體方法，對顏色要求分為完全符號、可以、無法滿足也行、嚴格禁止，這四個等級分別對應不同的裝配成本假設。其中，完全符合等級裝配成本為0，可以等級裝配成本為0.5，無法滿足亦可以等級裝配成本為2.5，禁止等級裝配成本為98.5，該假設目的是簡化計算過程，同時確保分析結果的科學性和實用性。通過這一系列數學建模方法，不僅能夠清晰地識別不同顏色汽車在裝配過程中的需求差異，還能夠量化這些差異對裝配成本的影響，為高職工科課程提供新的教學思路，也為實際生產中的裝配成本優化提供了科學依據[2]。

3.3 生產成本分析

假設某汽車生產線要裝配7類不同顏色的汽車，每類汽車生產成本不僅包括裝配成本，還涉及顏色切換時的額外費用。為了最小化總生產成本，將這一問題轉化為經典的旅行商問題（TSP），以7類汽車為核心，將其作為7個不同城市進行看待，并對兩個城市之間的距離進行定義，將其作為兩類汽車顏色切換費用與裝配成本之和，尋找經過所有7個城市的最短路徑，即為最優的裝配順序。在實際操作中，構建一個7×7矩陣，矩陣中的每個元素表示兩類汽車相鄰裝配時的總成本（顏色切換費用 + 裝配成本），利用TSP算法求解最短路徑，即最優裝配順序，但某些顏色要采用間隔排列，避免視覺疲勞或滿足客戶需求。因此，在求解TSP問題時，需加入顏色間隔的約束條件，科學調整距離矩陣或引入約束條件，確保最優裝配順序滿足顏色間隔要求。在實際生產中，該模型幫助企業制定低成本的裝配順序，減少顏色切換費用和裝配成本，根據生產需求的變化進行動態調整，從而提高生產效率[3]。

4 模型建立

4.1 定義各類車間的距離

在汽車生產過程中，不同顏色的車身噴涂需要切換生產線，該過程不僅涉及時間成本，還涉及設備調整、材料更換等費用。為了優化生產流程，降低裝配成本，要對不同顏色之間的切換費用進行量化分析，假設車間之間的距離代表了顏色切換的難度或成本，距離越遠，切換成本越高。根據問題分析，定義了7類車間的距離，如表3所示。

從表中看出，不同顏色之間的切換成本差異顯著，黑色與其他顏色的切換成本均為10，而白色與L色之間的切換成本僅為0.5，表明這兩種顏色的切換較為簡便[4]。相比之下，白色與金色、棕色與Ｒ色之間的切換成本高達99，說明這些顏色之間的切換難度較大，成本較高。通過建立這一車間距離模型，進一步分析不同生產順序下的總切換成本，從而優化生產流程，降低裝配成本，不僅適用于汽車生產，還可以推廣到其他需要頻繁切換生產任務的工業領域，為高職工科課程中的數學建模教學提供實際案例[5]。

4.2 建立模型

旅行商問題（TSP）是指在賦權完全圖中，尋找一條經過所有城市且總距離最短的Hamilton圈。假設有7類車，分別用黑、白、L、金、棕、S和R表示，每類車之間的距離為ωij（i，j=1，2，...，7）。為了建立數學模型，我們引入0-1變量xij，定義如下：

（1）

目標函數為最小化總距離：

（2）

約束條件包括：

①每個城市只能被訪問一次：

（3）

②每個城市只能被離開一次：

（4）

③避免子回路：

（5）

通過以上模型，將TSP問題轉化為一個整數線性規劃問題，利用數學軟件如Lingo、MATLAB等進行求解，進一步加深學生對數學建模的理解，提高了他們解決實際問題的能力，實現了數學建模與高職工科課程的深度融合[6]。

4.3 模型計算

在7個城市間的最短路徑問題中，要找到從一個城市到另一個城市的最短路徑，假設有7個城市，分別編號為1到7，城市之間的距離可以用一個7×7的矩陣表示。為了簡化問題，假設城市之間的距離是對稱的，即從城市A到城市B的距離等于從城市B到城市A的距離[7]。在Lingo軟件中，通過編寫代碼來實現上述模型的求解。以下是用Lingo編寫的部分代碼：

```lingo

SETS：

CITIES /1..7/;

LINKS（CITIES， CITIES）： DISTANCE， X;

ENDSETS

DATA：

DISTANCE =

0" "10" 15" 20" 25" 30" 35

10" 0" "12" 18" 22" 28" 32

15" 12" 0" "14" 16" 24" 30

20" 18" 14" 0" "10" 20" 25

25" 22" 16" 10" 0" "15" 18

30" 28" 24" 20" 15" 0" "12

35" 32" 30" 25" 18" 12" 0;

ENDDATA

MIN = @SUM（LINKS（I，J）： DISTANCE（I，J） * X（I，J））;

@FOR（CITIES（I）：

@SUM（CITIES（J）|J #NE# I： X（I，J）） = 1;

@SUM（CITIES（J）|J #NE# I： X（J，I）） = 1;

）;

@FOR（LINKS（I，J）|I #NE# J：

X（I，J） = 0 OR X（I，J） = 1;

）;

```

在上述代碼中，定義了城市集合和城市間的距離矩陣，再通過目標函數和約束條件，求解出最短路徑，Lingo軟件會自動優化并給出最優解[8]。

5 結語

綜上所述，文章通過數學建模與高職工科課程的深度融合，提出了一種基于圖論和TSP算法的優化方法，成功解決了汽車噴涂生產線中顏色切換成本高、裝配順序復雜的問題。研究結果表明，該算法不僅能夠有效減少顏色切換次數，特別是黑色與其他顏色之間的切換成本，還能夠優化裝配順序，降低生產成本。這一研究成果不僅為汽車制造企業提供了科學的生產優化方案，也為高職工科課程中的數學建模教學提供了實際案例。通過這種深度融合，學生能夠更好地理解理論知識，并將其應用于實際工程問題中，從而提高他們的綜合素質和解決復雜工程問題的能力。未來的研究可以進一步探索該算法在其他工業領域的應用，以及如何結合更多的實際生產約束條件，進一步提升算法的實用性和準確性。

基金項目：陜西省教育科學“十四五”規劃課題：數學建模與高職工科課程深度融合的實踐與研究（SGH24Y3103）。

參考文獻：

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[3]劉杰，李金華.新時代工科高校數學建模課程教學改革與實踐——以西安科技大學為例[J].教師，2022（24）：102-104.

[4]許孟，許春根.拔尖創新工科人才培養中的“數學建模”課程研究[J].黑龍江教育（高教研究與評估版），2021（6）：31-33.

[5]周婉娜，周根全.“新工科”背景下數學建模在數學課程中的案例教學研究[J].現代職業教育，2021（40）：42-43.

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[7]李博文.新工科背景下物流管理專業的離散數學課程教學研究[J].物流科技，2024，47（14）：182-184.

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