探究高中物理雙導體棒在磁場中運動的綜合問題

1引言

導體棒在磁場中的運動問題，由于其中涉及了電學和力學兩大領域中的多個物理知識點，解題過程不僅復雜煩瑣，且綜合性極強.

2 等長雙導體棒模型

例1如圖1所示，間隔為 L 且足夠長的光滑平行金屬導軌固定在同一水平面上，虛線MN右側區域存在磁感應強度為 B 、方向豎直向下的勻強磁場.質量均為 Ψ_m 、長度均為 L 、電阻均為 R 的導體棒a，b ，垂直導軌放置且保持與導軌接觸良好.開始時導體棒 b 靜止于與MN相距 x_?0 處，導體棒 a 以水平速度 v₀ 從MN處進入磁場.不計導軌電阻，忽略因電流變化產生的電磁輻射，且運動過程中導體棒 α_a ，b 沒有發生碰撞.試求：

（1）導體棒 b 中產生的焦耳熱；

（2）導體棒 b 中通過的電荷量；

（3）導體棒 Φ_a，b 間的最小距離.

解析（1）導體棒 a 進入磁場后，導體棒 a_λ，b 及導軌組成的回路磁通量發生變化，產生感應電流.在安培力的作用下，導體棒 a 做減速運動、導體棒 b 做加速運動，直至二者的速度相等.在這一過程中，該系統的動量守恒，以 的方向為正方向，有 mv₀= 2mu，再結合能量守恒定律，會有

Q. 導體棒 b 中產生的內能是 經過整理后可得 知

（2）以導體棒 b 為研究對象，根據動量定理，可得FΔt=mv ，而 F=BIL，q=IΔt ，聯立上述三式可解得

（3）假設經過時間 Δt ，導體棒 a_λ，b 的速度相等，此過程中安培力的平均值為 F ·

設導體棒 a_λ，b 間的最小距離為 x ，以導體棒 b 為研究對象，根據動量定理，可得 FΔt=mv ，而 F= ΔΦ=BL（x-x） ，聯立上式后可解得x=x。

點評在解決等長雙導體棒在磁場中運動的綜合問題時，首先應根據題目中給出的已知條件明確各個物理量，然后選擇合適的物理原理和定律，對導體棒在磁場中的運動過程進行分析，進而建立數學模型，以此來求解出未知的物理量.

3不等長雙導體棒模型

例2如圖2所示，左側四分之一圓弧軌道半徑是 R ，現將其固定在光滑地面上，與右側未固定水平平行直導軌不連接， PQ 間距是 L ，右側有豎直向上的勻強磁場，磁場范圍足夠大，磁感應強度大小是B ，右側導軌不等寬，彎折部分 MN 的電阻是 ，質量是 Ψ_m ，長度是 ，導軌其他部分電阻和質量不計，不計一切摩擦.導體棒 a 的質量是 m ，電阻是 r ，長度是 L ，從軌道與圓心等高點由靜止釋放，導體棒 b 的質量是 ψ_m ，電阻是 ，長度是 ，初速度是零，導體棒a 到達 MN 之前速度已經達到穩定狀態， PQ 與 MN 之間距離是 L_o ，重力加速度為 g .試求：

（1）導體棒 a 滑至 PQ 位置時， a 對軌道的壓力；（2）從導體棒 a 滑過 PQ 開始計時，定性畫出導體棒 Φ_a，b 的 v-t 圖像；（3）導體棒 a 與 MN 之間的最小距離；（4）整個過程導體棒 b 產生的焦耳熱.

解析（1）導體棒 a 從初始位置到最低點，根據動量定理，可得知 mu2，可解得u= .在最低點運用牛頓第二定律，則有 F_N-mg= R，可解得FN=3mg.最后再結合牛頓第三定律，可得知導體棒 a 對軌道的壓力大小是 3mg ，方向豎直向下.

（2）假設導體棒 a_λ，b 的速度分別是 v_a，v_b ，當導體棒 α_a 進入磁場區域，右側導軌所受到的安培力方向向右，所以左右導軌會分離.

MN段所在導軌所受到的安培力與導體棒 b 所受到的安培力相同，根據題意可知，這二者質量相同，所以它們的加速度、速度均相同.

右側導軌與導體棒 b 相對靜止一起運動，切割磁感線總長度亦是 L ，整個回路中的電動勢是 E= BLv_a-BLv_b ，穩定狀態時 E=0 ，所以 v_a=v_b ，則導體棒 α_a 到達穩定狀態前，做減速運動，導體棒 b 做加速運動， E 減小， I 減小.

由 F_Z=BIL 可知，安培力減小，所以加速度減小，導體棒 α_a 做加速度減小的減速運動，導體棒 b 做加速度減小的加速運動.

以導體棒 a_λ，b 以及右側導軌作為一個整體，該系統所受的合外力為零，根據動量守恒定律可知，mu=3mu共，可解得共=

綜上所述，導體棒 a_λ，b 的 v-t 圖像如圖3所示，

（3）選取水平向右為正方向，對導體棒 a 應用動量定理，可得知一B 化簡后可得 ，可解得 Δx= ，則導體棒 α_a 與 MN 之間的最小距離是

（4）以導體棒 Φ_a，b 以及右側導軌作為一個整體，從導體棒 a 進入磁場區域到達到穩定狀態的過程中，根據能量守恒定律，可得知 3mv_?²+Q ，可解得 mgR，則導體棒b產生的焦耳熱是

點評在解決不等長雙導體棒在磁場中運動的綜合問題時，需要特別注意的是，兩根導體棒長度不等，是否會對后續的計算產生影響.解決此類問題的過程如下：明確已知條件；靈活應用物理原理與定律；分析導體棒在磁場中的運動過程；建立數學模型，并聯系方程式對未知量進行求算.

4結語

通過對兩道典例的深入探討，不難看出，動量守恒定律、動量定理和能量守恒定律在解決此類問題時所起到的重要作用.在解決雙導體棒在磁場中運動的綜合問題的過程中，除了提升學生的問題分析能力，還極大地鍛煉了學生對相關知識內容的綜合實踐能力，同時培養了學生在解決實際問題時的創新思維能力與邏輯思維能力.