指向運算一致性的小數除法教學策略研究

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2025）20-0032-04

一、緣起：運算一致性的教學現狀

小數除法是教師普遍認為的難點，它承擔著承上啟下的功能，既是對之前整數除法算理算法的遷移，也是鋪墊六年級分數除法的載體。教師教學時發現有以下易錯點（如圖1）。

分析這些易錯點，筆者發現原因如下。

（一）明法不明理，思維遷移斷層

易錯點 ① 是典型的只明算法不明算理的錯誤，對于商中的6和2，沒有理解其表示的是6個1和2個0.1，2的由來是8個 0.1÷4 得到2個0.1。究其原因，是教師教學時側重于算法和算理的講解，沒有縱觀全局建構，致使學生知其然而不知其所以然，無法建構起數運算的一致性。

（二）前后缺銜接，難構知識體系

易錯點 ② 從表面上看是學生沒能構建全局性理解，不會把小數除法和整數除法中已學過的商不變性質結合起來。究其原因，是教師教學時缺乏對教材整體性的把控，缺乏對四則運算內在邏輯的探討，致使學生不能形成知識體系。

（三）運算不一致，缺少統領概念

易錯點 ③ 是因為學生對計數單位組成的思考有限，一旦理解9表示的是9個0.01，他們就會豁然開朗。《義務教育數學課程標準（2022年版）》強調運算教學的整體性與一致性，指出要感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，并提出要對四大領域的課程內容進行結構化整合，呈現整體性、一致性和階段性的特點。但教師的教學缺乏有效的統領，導致學生對算理一致性即計數單位的認識思考較少。

基于上述分析，筆者以小數除法的起始課“除數是整數的小數除法”為例，闡述小數除法的教學策略。

二、探尋：運算一致性的價值思考

運算一致性的思考貫穿運算教學，它是教師對學生認知生長點的把握，能讓教師更好地開展教學，讓學生在高通路遷移中習得知識，拓寬知識生成的路徑。指向運算一致性的計算教學能幫助學生構建整體性的知識圖譜，從而構建結構化的知識體系，有效發展學生的核心素養。

三、落地：運算一致性的教學實踐

運算一致性以小數、分數、整數的四則運算為載體，通過整體梳理尋找縱橫兩線之間的聯系，做到前后關聯、環環相扣和整體建構，是算理和算法相互融合的思想方法。

（一）尋根：構建數運算一致性的全局性理解

1.梳理教材，厘清縱橫雙線

從當前數的運算來看，加減乘除各有算理，而整數、小數、分數則各有算法。因此，教師開展基于運算一致性的小數除法教學之前，需對書本知識進行全局性的整理，尋找其相關聯的部分。可以從兩個維度分析教材整體的一致性。

（1）縱向維度

梳理教材可以發現縱向維度的一致性，即整數除法和小數除法算理算法的一致性在于：初步平均分不同數位上計數單位的個數，當計數單位不夠分時，轉化為更小的計數單位。

（2）橫向維度

橫向維度的一致性即四則運算之間的算理一致性。教師回顧四則運算時需思考四則運算最基礎的是什么運算。回歸本源，四則運算實際上是對計數單位進行操作（如圖2）。

根據上述分析，教師在開展基于運算一致性的教學活動前需橫向打通整數、小數、分數算理算法的一致性，縱向溝通四則運算的一致性，不再只將數的運算局限于算法上。

2.前測摸排，直擊學生痛點

為了更好地開展以理解運算一致性為導向的運算教學，教師需摸清學生的已有經驗和認知起點。人教版教材的編排以長度單位為載體，從小數除以整數開始，然后過渡到整數除以整數，包括末尾添0繼續除和商0占位兩種情況。為了把握學生的學習起點，筆者進行了以下嘗試。

（1）相似比較，化繁為簡

基于上述思考，筆者設計了兩道前測題（如圖3），對同一教師執教的兩個水平相當的班級進行前測。其中前測（1）以學生熟悉的元、角、分引入小數除以整數，前測（2）摒棄情境，直接出示算式讓學生計算。

其中，前測題（1）的正確率為 98% ，前測（2）的正確率為 96% ，兩道題的正確率相差不大，說明學生已經能夠根據已有經驗正確計算 22.4÷4 。對于前測題（2），利用元、角、分進行轉化的學生僅占10% ，多數學生能夠直接計算 22.4÷4=5.6 ，說明這部分學生已具備將現實情境抽象到數學層面進行思考的能力。因此，教師不必強行創設情境以引出算式。

（2）尋求起點，跳起來摘桃

從前測題的答題結果發現，學生能借助已有的經驗完成小數除以整數的運算。于是，筆者為第一個班級設計了前測題（3）：列豎式計算21-5。計算過程中，對于余下的1，學生只能聯想到有余數的除法。于是，在第二個班級進行前測前，筆者讓學生說一說余下的1還可以怎么分，并畫或寫出自己的想法。分析學生的解決過程，筆者發現對于整數除以整數的問題，學生的思維還停留在有余數的除法。學生通過情境能想到單位的轉化，但若沒有計量單位的支撐，理解起來就很困難。因此，教師在教學中應當直擊學生痛點，重組學生學材、重構教學框架，讓學生在豎式計算中理解算理，注重一致性的教學，讓學生能夠“跳起來摘桃”。

（二）扎根：踐行數運算一致性的結構化操作

1.直接計算引入，建立思考

前測（3）中的難點也是學生認知的矛盾沖突點。對此，教師可以直接用算式引入，讓學生列豎式計算，從而引出余數1，使其直面數學的思考。

[教學片段1]

展示學生列豎式計算21÷5的兩種結果（如圖4），并提問：“哪個豎式的計算結果是正確的？計算結果還是停留在有余數的除法上嗎？右邊的豎式的計算結果是小數，對嗎？”

通過整數除法引發學生思考是否能繼續往下分，這樣的認知沖突能夠引發學生對知識進行前后聯系，激發起他們解決問題的欲望，促使學生在原有知識體系的基礎上建立新的聯系。

2.多元表征余數，形成算理

學生在前測題（3）中闡述余數的分法稍顯困難，這是因為他們在運算時缺乏對除法一致性的思考。

[教學片段2]

提問：“余下的1到底應該怎么分？能不能把你的想法用圖畫或文字的形式表達出來？有困難的同學可以參考錦囊中的情境進行理解。”在學生完成后，出示兩份學生作品（如圖5）并提問：“余下的1為什么變成了10？商中的2是怎么來的？”

從學生的作品中不難看出，學生嘗試把無法平均分的單位轉化為更小的單位再平均分。因此學生的多元表征事實上是一致性建構的奠基石，以多元表征承載單位不斷細分的過程。

3.聚焦豎式內容，突破難點

當學生經歷了算理的形成過程后，運算一致性的鋪墊已經完成。學生將聚焦豎式，在豎式計算中理解算理，溝通整數除法和小數除法的算理一致性。

[教學片段3]

引導學生聚焦豎式（如圖6）：哪些地方體現了將無法平均分的單位轉化為更小的單位再平均分的過程？這里的20和10分別表示什么意思？商中的4和2又分別表示什么意思？

此過程充分展現了整數和小數除法算理的一致性：這里的20是因為2個十不能平均分成5份，從而轉化成20個一進行平均分；余下的1個一也不夠分成5份，因此轉化成了更小的單位，即轉化為10個0.1進行平均分；商中的4表示將20個一平均分成5份的結果，而0.2表示將10個0.1平均分成5份的結果。學生恍然大悟：原來小數除法的算理和以前學的整數除法算理本質是一樣的，只不過是出現了小數，計數單位發生了變化。學生由此理解了豎式計算中的每一步都是對計數單位進行平均分，并構建起整數和小數的聯系。

4.個性遷移算式，深化本質

在小數除法算理教學中，教師不能只關注到把幾個一轉化成幾十個十分之一，還要引導學生進一步細分貫通所有的小數除法算理，真正達到一通百通。為了貫穿一致性和增加趣味性，教師可以引導學生自主編題，使其理解運算本質。

[教學片段4]

活動：自編一道除數是整數的小數除法算式。筆者在反饋中選擇以下三種類型（如圖7），引導學生選擇其一列豎式進行計算。

通過個性化編題，學生深入了解了細分的意義和作用，實現了高通路遷移。

（三）生根：探索數運算一致性的拓展性思考

1.謀求過程關聯，融會貫通

在經歷縱向運算一致性的探究后，學生對小數的四則運算已經形成初步的認識。結合之前所學習的整數四則運算，其中暗藏玄妙的溝通也漸漸浮現：加減法的變式是將相同的計數單位相加減，乘法變式是計數單位乘計數單位時產生了新的計數單位，抑或計數單位的個數乘計數單位的個數產生了新的計數單位的個數。由于除法的變式不能直接平均分，所以選擇較小的計數單位來解決問題。

通過變式，學生能夠初步體會小數和整數的四則運算的意義、算理、算法是一致的，明白抓住計數單位這個核心去思考是關鍵。

2.猜想分數運算，展望未來 學生在剛才的過程中已然體驗整數和小數縱向和橫向運算一致性的產生過程。在“數的認識”板塊還有分數這一知識，學生在低學段時接觸過分數，教師可以引導學生猜想分數的運算。

[教學片段5]

提問：“猜一猜分數的四則運算是否和整數、小數四則運算一樣，要圍繞計數單位進行。說一說分數的計數單位又是什么。”讓學生圍繞計數單位展開猜想。

以猜想作為結尾，能夠為未來分數四則運算的學習埋下種子，引導學生思考分數的計數單位，通過遷移學習厘清算理，最終形成完整的知識圖譜，構建整數、小數、分數運算的一致性。

以上環節用計數單位貫穿教學整體，在變化中找不變，引領學生從縱橫兩條線體會運算一致性。

運算一致性以知識本質為載體，串聯起零散的知識，構建完整的知識體系。把握了運算的一致性，學生的自主遷移能力將會更強，學生對運算的理解也將更深刻。教師教學時不能急于求成，要靜待花開。

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（責編吳美玲）