考慮不對中誤差的人字齒輪雙側應力偏載分析

中圖分類號：TH132.41 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.07.016

0 引言

人字齒輪具有結構緊湊、承載能力大、傳動平穩等優點，被廣泛應用于航空航天、軍民艦船、交通運輸和清潔能源等領域。在齒輪加工過程中，機床變形和刀具磨損等都可能導致人字齒輪雙側輪齒產生非對稱的加工誤差。齒輪存在不對中誤差時，會引起人字齒輪雙側輪齒載荷產生差異；嚙合過程中，輪齒承受周期性載荷作用，承載較大一側的輪齒會加速疲勞失效。研究不對中誤差對人字齒輪應力差異性的影響，可為提高人字齒輪強度、改善系統性能提供依據。

目前，學者們主要將精力集中于行星輪系中輪間均載的研究上。李凱陽等分析國內外文獻發現，誤差是影響載荷分布不均的根本原因，改善均載最有效的方法就是降低系統對誤差的敏感程度，主要措施就是柔性化零部件和浮動零部件。XU等2-3通過物理試驗法和動力學模型研究了太陽輪支承剛度、行星架支承剛度和行星輪支承剛度對均載的影響，得到了行星輪軸支承剛度對均載性能影響最大的結論。KAHRAMAN等4-5通過試驗模型與解析模型，分別對行星輪系均載特性進行了研究。結果表明，隨著齒圈柔性增大，均載性能會得到改善。ZHANG等建立了計及內齒圈周向柔性和行星輪軸軸向柔性的動力學模型，分析了滑動軸承的動力特性、工作條件和柔性結構對均載特性的影響。王海旭等針對系統的均載特性研究發現，可以通過添加柔性支承來改善載荷分配不均問題。單來陽等8建立了同軸面齒輪傳動系統彎扭耦合動力學模型。研究發現，合理的輸人件浮動量會改善系統均載特性。MO等通過集中參數法建立了人字型行星輪系統，分析了多種誤差作用下系統的均載特性，認為偏心誤差對均載影響最大。

均載問題同樣存在于單個齒輪部件上，相關研究涉及齒輪傳動系統的振動響應和固有特性。LI[通過試驗測試和有限元分析，對薄壁直齒圓柱齒輪的共振頻率特性進行了研究，發現齒輪腹板位置軸向變化會影響薄壁齒輪的固有頻率。MO等建立了星型齒輪傳動系統，認為齒廓非對稱齒輪的工作狀態更穩定。YUAN等2建立了考慮轉軸柔性的寬面圓柱齒輪轉子系統的準靜態接觸分析模型，研究表明，軸承非對稱布置會引起部分輪齒不接觸和系統振動加大。CHEN等[13提出了一種新型的高階相位調諧齒輪，并通過理論分析和試驗證明了錯齒降低了齒輪嚙合振動的能力。WANG等4建立了雙斜齒輪的動力學模型，計算了軸向位移響應，并與試驗結果進行比較，驗證了齒輪左、右兩側的軸向力不能完全抵消的結論。

目前，關于不對中誤差對人字齒輪雙側應力差異性問題的研究少有報道。本文分析了人字齒輪不對中誤差對雙側應力差異性的影響，以指導人字齒輪設計和齒輪加工精度選擇，預防人字齒輪單側承載過大而導致的失效。分析了人字齒輪不對中誤差與應力偏載系數之間的關系，并結合有限元模型進行了驗證；分析了雙側輪齒在單個嚙合周期中齒根應力值及應力偏載系數的變化情況；研究了不對中誤差、轉矩、彈性模量和齒輪軸向支承剛度對應力偏載系數的影響規律，為改善人字齒輪雙側輪齒均載性能和延長系統壽命提供了參考。

1人字齒輪應力差異性理論分析

借鑒文獻[15]、文獻[16]中表達人字齒輪雙側不對中誤差的形式，以人字齒主動輪的右側輪齒為基準，使左側輪齒相對于右側輪齒逆時針轉動角度δ，8即為不對中誤差，如圖1所示。為方便理論分析和內容描述，本文建立了直角坐標系，并假設其 X 軸的正方向為水平向右，Y軸的正方向為豎直向上， Z 軸的正方向為垂直于紙面向外。因此， δ 繞著Z軸逆時針為正方向，順時針為負方向；即當 δgt;0 時，左側輪齒相對于右側輪齒超前角度δ進入嚙合。

將齒輪嚙合過程分為4個階段，如圖2所示。階段1時，左右側輪齒均未嚙合，左側和右側嚙合副間隙分別為 B_L1 和 B_R1 。階段2時，右側輪齒未嚙合，左側齒輪剛接觸，左側和右側齒輪副間隙分別為0和B_R2（B_R2=B_R1-B_L1） 。階段3時，右側輪齒剛接觸且間隙為0，左側齒輪嚙合變形量為 l_n1 。階段4時，右側輪齒嚙合變形為 l_n2 ，左側齒輪嚙合變形為 l_n1+l_n2 。

為量化人字齒輪雙側輪齒承載能力的差異性，定義雙側應力偏載系數 D_ι 的計算式為

式中， F₁ 人 F₂ 分別為齒輪左側嚙合力和右側嚙合力；σ₁ 、 σ₂ 分別為齒輪左側應力和右側應力。

D₁ 越接近2，雙側輪齒應力差異越大。當 D₁=2 時，人字齒輪處于單側輪齒嚙合。當 D₁ 在（0，2）范圍時，雙側齒輪嚙合。 D₁ 越接近0，雙側輪齒均載性能越好。當 D_l=0 時，齒輪處于雙側完全均載狀態。

為研究應力偏載系數與不對中誤差的關系，基于傳動誤差式（2）進行相關分析。由齒輪承載變形引起的法向變形量 l_n 用式（3）表示。

式中， Δθ 為傳動誤差； θ_?1 為主動輪轉動角度； θ₂ 為從動輪轉動角度； z₁ 為主動輪齒數； z₂ 為從動輪齒數； m_n 為法向模數； α_r 為端面壓力角； β 為分度圓螺旋角； β_b 為基圓螺旋角。

當主動輪左側輪齒相對于右側輪齒超前一個8角度時，其對應的法向超前量用式（4）表示，人字齒輪的總嚙合力 F_z 用式（5）表示。

式中， T 為輸入轉矩。

結合式（1）、式（4）和式（5），得到應力偏載系數D₁ 與平均嚙合剛度 K_m 、誤差 δ 和轉矩 T 的關系，即

式中， m_n，z₂，α_n， β 和 β_b 都是常數量。可以得出以下3條結論：

1）在齒輪嚙合剛度和不對中誤差一定的情況下，輸入轉矩的增大會減小雙側應力偏載系數，改善雙側輪齒均載性能。

2）在齒輪嚙合剛度和輸入轉矩一定的情況下，不對中誤差的增大會增大雙側應力偏載系數，降低雙側輪齒均載性能。

3）在齒輪輸入轉矩和不對中誤差一定的情況下，嚙合剛度的增大會增大雙側應力偏載系數，降低雙側輪齒均載性能。

2人字齒輪應力差異性仿真分析

2.1人字齒輪嚙合模型有限元建模

本文分析的人字齒輪嚙合副系統的模數、齒數、壓力角和密度等參數如表1所示。采用參數化建模方式生成齒輪幾何結構，為兼顧計算效率和計算精度，主、從動輪保留5個輪齒進行有限元建模。對齒面嚙合側與齒根部位進行網格加密，如圖3所示。有限元仿真具體設置如下：

1）單元屬性。主、從動輪均采用六面體縮減積分單元C3D8R。

2）相互作用。采用面-面接觸類型，選擇主、從動輪的嚙合表面分別為主、從動面。

3）分析步。為保證齒輪初始接觸分析收斂和模擬齒輪嚙合狀態，設置兩個靜力學通用分析步，分別用于消隙和加載。

4）邊界條件。分別在主、從動輪幾何中心點設置 R_Pl 和 R_P2 。將 R_Pl 和 R_P2 分別耦合到主、從動輪內孔表面，采用運動分布耦合類型。釋放 R_Pl 繞Z軸的旋轉自由度， R_Pl 其余自由度與 R_P2 的所有自由度全部固定。

5）嚙合模擬與加載。第一分析步：齒輪副裝配后，在主動輪 R_Pl 上繞 Z 軸順時針方向施加微小角位移，從動輪 R_p2 固定不動，使兩輪齒面進入接觸狀態；第二分析步：在主動輪 R_p1 上施加轉矩T，從動輪 R_P2 完全固定，進行靜力學仿真模擬。為了模擬主動輪中間齒從嚙入到嚙出的全過程，控制主動輪以1.2^° 為步長，順時針旋轉30次；從動輪根據傳動比和嚙合關系進行相應轉動。重復上述兩個分析步，完成嚙合過程模擬仿真。

2.2不對中誤差對應力偏載系數的影響

設計9組存在不對中誤差的人字齒輪嚙合副有限元模型。其中，不對中誤差δ分別為 0^° 、 0.0025^° /0.005^° 、 0.007 5° 、 0.01^° 、 0.012 5° 、 0.015^° 、0.0175^° 、 0.02^° 。圖4所示為應力及其偏載系數隨不對中誤差變化的曲線。結果表明，當不對中誤差δ為 0^° 時，左側和右側輪齒的應力相同，應力偏載系數為0，即齒輪雙側完全均載。當不對中誤差δ在（0， 0.015^° ）范圍內時，以左側輪齒受力為主；隨著不對中誤差的增加，左、右側應力值之間的差值逐漸增大，應力偏載系數呈現線性增加的趨勢。當不對中誤差8在 [0.015^° ， 0.02^° ]范圍內時，右側輪齒完全不受力，左側輪齒單側承載，此時應力偏載系數為2。提取不對中誤差分別為 0^° 、 0.01^° 、 0.02^° 時的齒面嚙合應力，如圖5所示。由圖5可知，隨著不對中誤差的增大，右側輪齒的接觸范圍逐漸減小，直至為無應力狀態；整個齒面上的接觸應力最大值隨著誤差的增大而增大，依次為789、863.5、 1 150MPa ，人字齒輪的整體嚙合性能降低。

2.3轉矩對應力偏載系數的影響

以不對中誤差為 0.01^° 的有限元模型為研究對象，分析不同轉矩對應力偏載系數的影響。當輸入轉矩小于等于 500N?m 時，人字齒輪左側輪齒處于嚙合狀態，右側輪齒則處于空載狀態，應力偏載系數為2，如圖6所示；當對主動輪施加大于 500N?m 的轉矩時，右側輪齒也進入嚙合。隨著轉矩的增加，主動輪左側與右側齒根應力差值基本不變，應力偏載系數逐漸減小，即人字齒嚙合副雙側輪齒的均載性能越來越好。分別提取250、1500、 2500N?m 轉矩下的齒輪嚙合應力云圖，如圖7所示。由圖7可知，隨著轉矩的增加，人字齒輪由左側承載變為雙側承載，最后雙側輪齒上的接觸應力逐漸趨于接近，整體嚙合性能得到提升。這與式（6）得到的結論相同，即雙側應力偏載系數與轉矩成反比。

2.4彈性模量對應力偏載系數的影響

齒輪副中的輪齒彎曲剛度 K_b 、剪切剛度 K_s， 徑向壓縮剛度 K_a 和赫茲接觸剛度 K_h 、輪體等效剛度 K_f 以及綜合嚙合剛度 K_e 都與彈性模量成正相關。故可以通過改變彈性模量來間接地研究嚙合剛度對應力偏載系數的影響。將人字齒輪嚙合副的有限元模型中的不對中誤差設置為 0.01^° ，主動輪的輸入轉矩設置為 1000N?m 。圖8所示為應力及其偏載系數隨彈性模量變化的曲線。仿真結果表明，隨著齒輪模型彈性模量的增加，主動輪左側和右側齒根的拉、壓應力差值越來越大。應力偏載系數也隨彈性模量的增加成線性增加。這是由于彈性模量增加，嚙合剛度增大；同時，嚙合相位超前側輪齒將承受更大的載荷，即齒輪雙側均載性能變差。這與式（6）得到的結論相同，即雙側應力偏載系數與嚙合剛度成正比。由圖9所示的不同彈性模量下齒面應力分布可知，左側輪齒相對于右側輪齒，接觸斑點更大和接觸線更長。隨著彈性模量的增大，齒輪雙側接觸斑點和接觸線長度差異變大，雙側輪齒均載性能降低，整體嚙合性能降低。

2.5齒輪軸向支承剛度對應力偏載系數的影響

為研究齒輪軸向柔性對人字齒輪雙側應力差異性的影響，在有限元仿真軟件設置中，通過改變軸承支承剛度矩陣 K_be=diag{k_?XX ， k_YY ， k_zz ， k_θXθX ， k_θYθY} 中的 k_zz 項來實現軸向柔性的調整，矩陣中具體數值如表2所示。設計了三類仿真模型，第一類是主動輪軸向剛度在 [10⁶ ， 10¹²]N/m 范圍變化，從動輪完全固定。第二類是從動輪軸向剛度在 [10⁶ ， 10¹²]N/m 范圍變化，主動輪完全固定。第三類是主動輪和從動輪的軸向剛度同時在 [10⁶ ， 10¹²]N/m 范圍變化。

圖10所示為應力及其偏載系數隨主動輪軸向支承剛度變化的曲線。計算結果表明，當僅改變主動輪軸向剛度時，隨著軸向剛度增加，齒輪雙側的拉、壓應力之間的差值越來越大。由圖10（b）可知，當軸向剛度等于 10⁶N/m 時，雙側均載性能最好。當軸向剛度大于 10¹⁰N/m 后，雙側應力偏載系數在1.22左右變化。分別提取軸向剛度為 10⁶ 、 10^° 10¹²N/m 情況下齒輪的雙側接觸應力，如圖11所示。由圖11可知，隨著軸向剛度的增大，齒輪雙側接觸斑點面積差異變大，這與齒根應力偏載系數變化趨勢相同；左側齒面上的接觸應力最大值也隨著軸向剛度的增大而增大，依次為578.7、745.7、863.4MPa，表現為整體嚙合性能降低。當僅改變從動輪軸向剛度時，其應力變化曲線及應力偏載系數變化曲線分別如圖12（a）、圖12（b）所示。當同時改變主、從動輪軸向剛度時，其應力變化曲線及應力偏載系數變化曲線分別如圖13（a）、圖13（b）所示。綜上可知，人字齒輪的軸向剛度越大，雙側應力差異越大，均載性能越差。

當主從動輪軸向支承剛度為 10⁶N/m 時，第一類模型中，主動輪軸向位移最大為 11.04μm ，如圖14（a）所示。第二類仿真模型中，從動輪軸向位移最大為 11.04μm ，如圖14（b）所示。第三類仿真模型中，主動輪的軸向位移最大為 5.53μm ，從動輪的軸向位移最大為 5.53μm ，兩個齒輪間的軸向相對位移量為 11.06μm ，如圖14（c）所示。而且，三類模型均隨著軸向剛度的增大，軸向相對位移量逐漸減至0；隨著軸向剛度的增大，齒輪的軸向柔性減小，主從動輪之間軸向自補償能力降低，雙側輪齒應力差異性增大。

3結論

以人字齒嚙合副為研究對象，分析了不對中誤差與輪齒雙側應力偏載系數之間的關系。通過有限元仿真，研究了不同參數下人字齒輪雙側齒根應力值和應力偏載系數的變化規律，驗證了理論分析的正確性。得到如下結論：

1）應力差異性理論分析中，應力偏載系數與嚙合剛度、不對中誤差均成正比關系，與轉矩成反比；即嚙合剛度或不對中誤差越大，人字齒輪雙側均載性能越差，而增大轉矩會改善偏載問題。

2）有限元仿真分析中，齒根拉、壓應力的變化趨勢相同，均隨著轉矩的增大而增大。存在不對中誤差的人字齒輪，雙側齒面接觸應力隨雙側齒根應力差值減小而變得更加均勻，均載性能得到改善。隨著不對中誤差或者彈性模量的增加，雙側齒根應力差值增大，齒面接觸應力差異性增大。

3）當主動輪、從動輪或者兩者軸向剛度都設置為柔性時，齒輪雙側應力差異性會隨著軸向剛度值的增大而增大。故可以通過調整人字齒輪軸向柔性來改善齒輪雙側均載性能。

本文的研究對象為平行軸齒輪傳動系統，其構型相對于星型、行星齒輪傳動系統而言較為簡單。故人字齒星型、行星齒輪傳動系統雙側輪齒不對中誤差對動應力、固有特性、均載特性或振動響應的影響機制也值得深入研究。

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Analysis of stress difference on both sides of the herringbone gear consideringmisalignment error

ZHANG Chunpeng1LIU Hexiang1SUN Qiyuan1YANG Yazhou2 （1.SchoolofMachineryandAutomation，WeifangUniversity，Weifang26lo61，China） （2.Qingdao GermanLitho Co.，Ltd.，Qingdao 266109，China）

Abstract：Objective]Heringbone gears inevitably exhibit bilateral tooth misalignment during manufacturing，which may causeexcesiveloaddiferencesbetweenbilateralteethorevensingle-sideloading，leadingtoprematuregearfailure.Taddress this isse，theinfluenceofmisalignmenterroronthestressdierencebetweenbilateralteethwasstudied.[Methods]Through thetheoreticalderivation，therelationamongmesingstifess，misalignmenterror，torquevariation，andstressderence coeficientwasobtained.Basedonthe finiteelement simulation modelconsidering misalignment eror，the influenceof misalignmentohngsissndueeoottesiletrsomprsiestressndtressdereit of herringbonegearbilateraltethwascalculated.Thecontactstressdistributionofbilateraltethwasanalyzed，theinteralsof single-sidemesinganddouble-sidemeshingwereetermined，andtheorrectnessofteoreticalanalysisasvrified.eults] The simulationresults show that inaddition to improving machining accuracy，increasing system torque，reducing meshing stfness，andenhancingtheaxialflexibilityofgearshaftsareefectivemethods toreducethestressdifferenceofherringbone gear bilateral teeth.

Keywords：Herringbone gear;Misalignment error; Contact stress;Stress difference coefficient