非線性變系數Bagley-Torvik方程的三點邊值問題

中圖分類號：0241.4 文獻標志碼：A

Three-Point Boundary Value Problems for Nonlinear Variable Coefficient Bagley-Torvik Equations

LIU Xue-ling，HUANG Jing＊，ZHANG Zong-biao （Department of Electronic and Information Engineering，Bozhou Colege，Bozhou 2368oo，Anhui，China）

Abstract：This paper conducts an in-depth study of the numerical methods for the three-point boundary value problem of the nonlinear variable coefficient Bagley-Torvik equations， explores its numerical solutions，and validates the feasibility of the proposed methods through numerical examples. Initially， the three-point boundary value problem of the Bagley-Torvik equations is transformed into an equivalent F-H integral equation. Subsequently， the piecewise Taylor series method is employed to numerically solve the F-H integral equation. Finally，the validity and practicality of the method are verified through numerical examples and error analysis.

Key words：nonlinear variable coeficient Bagley Torvik equation; three-point boundary value; F-H integral equation; error estimation； piecewise Taylor series

0 引言

階微分方程的數值解的探討變得愈發重要[1-3].其中，分數階Bagley-Torvik微分方程作為分數階微分方程領域的一個標志性方程，不僅具有高度的典型性和代表性，它源自Bagley和Torvik在牛頓流體中針對薄板運動研究所開創的數學模

在過去的幾十年里，分數階微分方程理論在物理、化學、生物學、流體動力學、聲學、電磁學以及經濟學等眾多學科中應用廣泛，這使得對分數型[4].對Bagley-Torvik方程的求解，文獻[5]通過引入非局部Taylor級數展開方法，推導出分數階導數的Euler-Lagrange方程，為解決Bagley-Torvik方程的邊值問題提供了一種有效途徑.文獻[6]利用Hermite配點法求解了Bagley-Tor-vik方程邊值問題的數值解，并驗證了該方法的精度和效率.在分數階微分方程的數值求解領域，研究者給出了多種高效方法，包括主要差分法、Adomian分解法、Schaefer不動點定理以及La-place變換等，這些方法在文獻[7-12]中有詳盡的討論.受這些研究成果的啟發，本文聚焦于非線性變系數Bagley-Torvik方程的三點邊值問題，利用積分方法將其轉換為F-H積分方程，并對其 F- H積分方程中的未知函數進行分段泰勒級數展開，以此求解F-H積分方程的數值解，最后通過數值實例進行了驗證和誤差分析，確保了所提方法的準確性和實用性.本文的研究成果不僅為分數階微分方程的求解提供了新的理論視角和方法工具，也為相關領域的實際問題提供了有效的解決方案.

1Fredholm-Hammerstein 積分方程

Riemann-Liouville定義的分數階導數為

D_t^vf（t）=

n-1

在這里，考慮具有非線性變系數Bagley-Torvik方程的三點邊值問題：

其中： P（x）∈C²[a，b]，q（x），F（x，φ（x））∈ L[a，b] 均為已知函數， λ，α₀，β 為已知常數，φ（x） 是未知函數.

為了證明在求解微分方程的邊值問題時，積分方程的方法是有效的，下面利用積分方法，將邊

值問題（1）轉化為F-H積分方程.

為了書寫方便，以下簡記

其中

V₁（x，t）=（x-t）q（t）+

V₂（x，t）=

定理1若 （b-a）+λ（ξ-a）≠0，λ∈C 且 P（x）∈C²[a，b]，q（x），F（x，φ（x））∈ L[a，b] ，則帶有三點邊值條件的分數階Bagley-Torvik方程（1）等價于以下方程，

其中

a?t?min{x，ξ}?b.

證明 當 1?αlt;2 時，對式（1）關于 x 積分兩次可得

令式（3）中 x=b ，有

將式（4）代人（3）有

令式（3）中 x=ξ ，有

由（5）和（6），結合邊值條件 φ（b）+λφ（ξ）=β 可得

下面討論 x，ξ，t 的不同情況.

（i）當 a?t?min{x，ξ}?b 時，

F（t，φ（t））dt+l（x）.

（ii）當 a?max{x，ξ}?t?b 時，

l（x）.

（ii）當 a?ξ?t?x?b 時，

φ（x）+

（a-x）V₂（b，t）}/

[（b-a）+λ（ξ-a）]φ（t）dt=

F（t，φ（t））dt+l（x）.

iv）當 a?x?t?ξ?b 時，

φ（x）+

F（t，φ（t））dt+l（x）.

同理當 0lt;αlt;1 時，定理1同樣成立.

從定理1可以看出，F-H積分方程中的核對Olt;αlt;1 和 1?αlt;2 的情形稍有不同.前者是連續的，而后者是弱奇異的，與文獻[13]結果類似.接下來，利用分段泰勒級數展開方法獲得具有弱奇異核的F-H積分方程（2）的數值解

2 Fredholm-Hammerstein積分方程的數值解

在本節，將會利用分段泰勒級數展開方法求解具有弱奇異F-H積分方程的數值解.

定理2在區間 [a，b] 內選擇等距間斷點： a =x₀1lt;…m=b（m?1） .令 x_q=a+ qh 則帶有弱奇異性的F-H積分方程（2）的數值解為

φ_m，n（x）=l（x）-

為了書寫方便將 φ^（j）（x_q） 簡記為φ^（j）（j=0，1，…，n;q=0，1，…m-1） ，對 φ（x_q +hη） 進行泰勒展開，有

x_q?θ_q?x_q+1，x_q?θ_q?x_q+hη.

證明 對公式（2）進行 i 次積分可得

將式（2）記為 i=0 時，式（14）中交換積分順 序可得

下面選擇一系列等距的間斷點： a=x₀1 lt;…m=b（m≥1）. （

這里令 x_q=a+qh（q=0，1，…，m），h= b-a，令χx=x（k=1，2，…，m），則式（15）可以表示為

將 F（t，φ（t）） 泰勒展開得

F（x_q+hη，φ（x_q+hη））=

將式（13）和（18）代人式（15）可得

其中 i=0，1，…，n;k=1，2，…，m .由公式（19）可以得到公式（2）的離散格式為

將式（20）代人式（19）中，得 φ（x） 數值解為

φ_m，n（x）=l（x）-

在第三節中，將給出具體的數值例子分析（12）中的數值解 與準確解的絕對誤差.

3 例題

本節提供兩個例子以驗證所提方法的有效性.首先，討論參數 Ψ_m 和 n 對數值解的影響.其次，給出方程的數值解與準確解并比較分析其準確性.

例1考慮 0lt;αlt;1 的情況，并給出當 α= 1/2 的例子.

其中 ，方程的準確解為 φ（x）=x³

接下來，將區間 [0，1/5] 分成等距 Σ_m 段，對未知函數 φ（x） 展開至 n 階.下面討論當 （m，n）= （4，0），（m，n）=（4，1），（m，n）=（4，2），（m，n） δ=（8，0） 和 （m，n）=（8，1），（m，n）=（8，2） 時，利用Matlab計算得到數值解與準確解的絕對誤差，誤差見表 1.φ_m，n（x） 表示例題中方程的數值解，φ（x） 表示例題中方程的準確解.

從表1中可以看出，隨著 Ψ_m 或 n 的增加，絕對誤差 ∣φ（x）-φ_m，n（x）∣ 逐漸減小，所以只要選取合適的 m，n ，就可以得到比較精確的數值解

例2考慮 1?αlt;2 的情況，并給出 α=3/2 的例子.

其中 ，方程的準確解為 φ（x）=x²

接下來，研究參數 m 和 n 對數值解的影響.不同的 （m，n） 對數值解與準確解之間的絕對誤差見表2.從表2可以看出，隨著 Ψ_m 或 n 的增加，絕對誤差 ∣φ（x）-φ_m，n（x）∣ 在減小，所得到的結果與文獻[13-15]的結果一致.

4結語

本文深人研究Riemann-Liouville定義下非線性變系數Bagley-Torvik方程的三點邊值問題.通過將該微分方程轉化為之等價的F-H積分方程，為求解該問題提供了有效的數值途徑.通過具體數值實例，驗證了所提方法的實用性和準確性.論文研究結果為解決類似積分方程的數值問題提供了一定理論依據.展望未來，計劃繼續利用該數值解法探究分數階積分方程的數值解，著重探究解的存在性和唯一性問題.

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[責任編輯：趙慧霞]