四階非局部微分方程結點解的全局分歧

摘要：利用分歧方法，研究四階Kirchhoff型梁方程兩點邊值問題

結點解的分歧行為，其中 λ∈R 是參數， M ： 和 f ： 是光滑函數．當 M 和 f 滿足適當條件時，獲得了其結點解的存在性結果.

中圖分類號：0175.8 文獻標志碼：A 文章編號：1671-5489（2025）04-1005-06

Global Bifurcation of Nodal Solutions for Nonlocal Fourth-Order Differential Equation

YANG Xinzhe （School of Mathematics and Statistics，Xidian University，Xi'an 71ol26，China）

Abstract：By using the bifurcation method，the author study the bifurcation behavior of nodal solutions for two-point boundary value problems of fourth-order Kirchhoff type beam equation

where is a parameter， M ： and f ： are smooth functions. When M and f satisfy suitable conditions，the author obtain the existence results of their nodal solutions. Keywords： eigenvalue； Kirchhoff type beam equation； global bifurcation; nodal solution

引言與主要結果

梁是工程建筑中的基本構件，其靜態形變是由四階微分方程刻畫的．本文考慮四階Kirchhoff 型梁方程兩點邊值問題

其中 λ∈R 是參數， M ： 和 f ： 是光滑函數．方程（1）與Berger板模型[1]

相關，還與一些描述梁在外力 e 和其他彈力作用下形變平衡狀態的模型[2有關

修正型d'Alembert波動方程

是一個二階非局部方程，其中參數 E，ρ，h，L，P₀ 都是正數并具有實際物理意義．文獻[3-5]研究了與生物動力學和物理學相關的Kirchhoff型模型.

方程（1）的一個顯著特征是含有非局部項 ，因此并不是逐點恒等的方程，而是一個非局部方程，給方程的可解性研究帶來困難．當不含非局部項時，關于四階微分方程正解和結點解（即解的每個零點都是簡單的）的存在性研究已有一些結果[6-9]．例如， Ma^[6] 利用分歧理論研究了四階微分方程邊值問題

結點解的存在性，其中： β∈C[0，1] 且 β（t）lt;π² ： ?t∈[0，1] ， a∈C（[0，1]，[0，∞）） 且在[0，1]的任意子區間上不恒為0； f∈C（R，R） 且對任意 s≠0 ， f（s）sgt;0

目前對四階非局部問題解的分歧行為研究報道較少． Wang^[10] 證明了在 f 次線性增長， M（t）= a+bt 的特殊情況下四階非局部問題正解的存在性．注意正解可視為結點個數為0的一類特殊的結點解．由于當邊界條件為簡單支撐時，四階微分方程邊值問題的正解具有凸性，但對于結點解沒有類似的性質，因此給結點解的研究帶來了實質性困難.

本文研究四階Kirchhoff型梁方程兩點邊值問題（1）結點解的分歧行為．由于 f 在無窮遠處為次線性，導致全局分歧理論不能直接使用，因此本文將利用連通分支取極限的方法處理此類情形.

若 u，v 屬于 Sobolev 空間 X：=W^2，2（0，1）?W_?0^1，2（0，1） ，則其上內積和范數分別為

令 E=W₀^1，2（0，1） ，其上的范數為

記 S_k⁺ 為 X 中滿足以下條件的函數集合：在開區間（0，1）內恰有 （k-1） 個結點（即非退化的零點），且在 t=0 附近取正.記 S_k^-=-S_k⁺ ，而 S_k=S_k⁺∪S_k^- ．在 X 中它們是互不相交的開集．令Φ_k^±=R×S_k^± ， ：

本文總假設：

（ H₁ ） f（t，0）=0 =0，?t∈（0，1），a（x）：=D_uf（t，0）gt;0， （204

（ H₃ ）存在 κgt;0 ，使得 f（t，u）≥κu ，

（ H₄ ）存在 m₀gt;0 ，使得 M（t）≥m₀ ， ?t?0 ：

（ H₅ ）存在 M_∞gt;0 ，使得 lim_t∞M（t）=M_∞

本文的主要結果如下：

定理1假設條件（ H₁ ），（ ΔH₂ ）和（ ΔH₄ ）成立．對每個 k∈N 和 v∈{+，-} ，考慮問題（1）從（λ_{k，M（0）}[a]，0） 處發出的 S_k^v 型解的分支

1）若條件（ Δ[H₃ ）和 （H₅ ）也滿足，則連通分支 C_k^v 連接 （∞，∞） ：

2）若 lim_t∞M（t）=∞ ，則 Proj_RC_k^v=[l，+∞） ，其中 l?λ_{k，M（0）}[a]

推論1假設 （H₁），（H₂） 和（ ΔH₄ ）成立．若還滿足（ H₃ ）和（ H₅ ）或成立 lim_t∞M（t）=∞ ，則對每個k∈N 和 v∈{+，-} ，當 λgt;λ_{k，M（0）}[a] 時，問題（1）至少有一個 S_k^v 型結點解.

注1四階微分方程邊值問題與二階邊值問題有本質區別．近年來，關于二階非局部微分方程邊值問題的正解和結點解的存在性和多解性研究已取得了豐富成果[1-13]．但關于四階非局部問題的研究目前報道還較少，可能是二階微分方程的解具有凸性，研究解的存在性更便利．此外，對于四階微分方程，由非共軛理論可知極大值原理成立的區間是有界的[14].

注2當 M（t） 恒為一個常數時，問題（1）即退化為一般的四階微分方程兩點邊值問題，因此定理1相應推廣了文獻[8]中的定理3.1.

2 預備知識

定義 1^[15] 令 Y 是 Banach 空間， {C_n|n=1，2，…} 是 Y 中的一列子集，則 {C_n∣n=1，2，…} 的上極限 D 定義為

使得

定義 2^[15] 集合 M 中的最大連通子集稱為 M 的連通分支.

引理 1^[15] （204號 令 Y 是Banach空間， {C_n|n=1，2，…} 是 Y 中的一列連通子集．假設：

1）存在 z_n∈C_n（n=1，2，…） 和 z^*∈Y ，使得 ：

2） ，其中 ：

3）對每個 Rgt;0 ， （?_n=1^∞C_n）?B_R 都是 Y 中的相對緊集，其中

則存在一個無界連通分支 CO 且 z^*∈C

引理 2^[6] （204號 考慮特征值問題

其中 β∈C[0，1] 且 β（t）lt;π² ， ?t∈[0，1] ： η∈C（[0，1]，[0，∞）） 且在 [0，1] 的任意子區間上不恒為0.則：

1）問題（2）有無窮多個特征值，且

0lt;λ₁lt;λ₂lt;…lt;λ_klt;…∞，k∞;

2）每個特征值 λ_k 唯一對應的特征函數 ?_k 在（0，1）內有 （k-1） 個簡單零點，且在。點附近為正；

3）給定 [0，1] 的任意子區間，從屬于充分大特征值的特征函數在該子區間上一定改變符號；

4）對于每個 k∈N ， λ_k 的代數重數為1.

令

由條件（ H₁ ）和 （H₂ ）計算可得

問題（1）等價于

考慮線性問題

對給定的 A∈（0，∞） ，定義線性算子 T_A ： L²（0，1）X 為

T_Ae=u.

令 T=T_A∣_X ，則算子 T ： XX 是全連續的[6]．注意到 u∈X 是方程（3）的解當且僅當 u 是下列算子方程的解：

D_uF₁（λ，0）_w=λa（x）w，D_uF₂（λ，∞）w=0.

注3將方程（3）在 u=0 處線性化，得

由引理2可知，問題（4）的特征值 ， ．對每個 k∈N，λ_{k，M（0）}[a] 是簡單的，對應的特征函數 ?_k 在（0，1）內恰好有 （k-1） 個簡單零點，且在0點附近為正，滿足

引理 3^[16] 假設 （H₁），（H₂） 和（ H₄ ）成立，則問題（1）有一個分歧點為 （λ_{k，M（0）}[a]，0） ．而且在（204號 R×X 中存在兩個分離的集合 和 ，組成從 （λ_{k，M（0）}[a]，0） 處分歧產生的分支 C_k ，使得對每個 k∈N 和 v∈{+，-} 成立

Proj_RC_k^v?（0，∞）.

今

則 ，下面考慮輔助問題：

注4將方程（6）在 u=∞ 處線性化，得

由引理2可知，問題（7）的特征值 λ_k，M∞[c^[n]] 是簡單的，其對應的特征函數 ψ_k 在 （0，1） 內恰好有（k-1） 個簡單零點，且在。點附近為正，滿足

引理4假設 （H₂），（H₅） 成立，則 λ_k，M∞[c^[n]] 是問題（6）在無窮遠處唯一的分歧點．進一步，從（20 （λ_k，M∞[c^[n]]，∞） 處發出一條問題（6）的 S_k^v 型解的分支.

證明：令 ，則問題（6）等價于方程

將方程（8）在 u=0 處線性化，得

其特征值為 λ_k，M∞[c^[n]]（k=1，2，…） ．因為方程（8）在平凡解處產生的分歧等價于與問題（6）在無窮遠處產生的分歧，所以結論得證.

3 主要結果的證明

下面證明定理1.

1）由引理3和引理4可知，問題（6）存在從 （λ_{k，M（0）}[a]，0） 處分歧產生的無界分支 C_k^v[n] ，也是從（204號 （λ_k，M∞[c^[n]]，∞）， 處產生的無界連通分支．若 （λ，u）∈C_k^v[n] ，則 λgt;0 ，首先證明 C_k^v[n] 連接 （λ_{k，M（0）}[a]，0） （20和 （λ_k，M∞[c^[n]]，∞） ．為此只需證明當 λ 充分大時， S_k^v 型解的不存在性.

事實上，若 （λ，u） 是問題（6）的解．則

對某些 k∈N ， υ∈{+，-} ，反設存在序列 {（η_m，u_m）}?S_k^v ， ，使得

因為

所以當 Σ_m 充分大時， u_m 在（0，1）內必變號無數次，而這與 u_m∈S_k^v 矛盾．因此證得了當 λ 充分大時，不存在 S_k^v 型解.

在引理1的條件1）中選取 z^*=（λ_{k，M（0）}[a]，0） 即可．顯然

r_n=sup{|λ|+∥y∥|（λ，y）∈C_k^v[n]}=∞

成立，則引理1中條件2）成立．由Arzela-Ascoli定理和 f^[n] 的定義即得引理1中條件3）也成立.因此， {C_k^v[n]} 的上極限 中包含一個無界連通分支 C_k^v ，且 （λ_{k，M（0）}[a]，0）∈C_k^v

下面證明 sup{λ|（λ，y）∈C_k^v}=∞ ．反設若 sup{λ∣（λ，y）∈C_k^v}lt;∞ ，則存在序列 {（μ_m，y_m）}? {C_k^v} ，使得

其中常數 c₀ 與 k 無關．因為 （μ_m，y_m）∈{C_k^v} ，所以成立

令 ，則 $＼Vert { ＼textbf { ＼zeta } } _ { ＼boldsymbol { v } _ { m } } ＼Vert = 1$ ．因此選取收斂子列并重新編號，存在 （μ_?，v_?）∈ [0，c₀]×X ，且

使得

lim_m∞（μ_m，v_m）=（μ_*，v_*）.

由方程（9）和條件（ ?H₂ ）可知下式成立：

則 ?t∈[0，1] ， v_* 恒為0，與式（10）矛盾．因此sup ．故連通分支 C_k^v 從（λ_k，M（0）[a]，0） 發出并連接 （∞，∞） ：

2）對給定的 k∈N 和 v∈{+，-} ，問題（1）仍存在從 （λ_k，M（0）[a]，0） 處分歧產生的無界分支 C_k^v .但若 lim_t∞M（t）=∞ ，則在無窮遠處是不產生分歧的．為此，將證明問題（1）的任意 S_k^v 型解 u 都有先驗估計.

令 （λ，u） 是問題（1）的 S_k^v 型解．在問題（1）中選取 u 為試驗函數，可得

由條件（ H₂ ）知存在 Kgt;0 ，使得 f（t，u）?Ku ， ?u?0 ．因此

即

其中 η₁ 為以下問題的主特征值：

因為 lim_t∞M（t）=∞ ，所以存在 C_ηgt;0 ，使得 ．故由式（11）可知 是有先驗界的.最后由于 C_k^v 是無界連通分支，故 Proj_RC_k^v=[l，+∞） ，其中 l?λ_k，M（0）[a] ．定理1證畢.

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（責任編輯：趙立芹）