四階半正變系數常微分系統固結梁邊值問題正解的存在性

關鍵詞：變系數；半正問題；拓撲度理論；正解中圖分類號：0175.14 文獻標識碼：A 文章編號：1674-0033（2025）04-0014-05

Abstract：The boundary value problem of a four order semi-positive variable coefficient ordinary diferential system fora consolidated beam with two-end fixed-support boundary conditions，

∣u^（4）（x）+a（x）u（x）=λf₁（x，ν（x））， ，x∈（0，1）， ∣ν^（4）（x）+b（x）ν（x）=λf₂（x，u（x））， ∈（0，1）， u（0）=u（1）=u'（0）=u'（1）=0， ν（0）=v（1）=v'（0）=v'（1）=0，

it is studied by using the topological degree theory and Schauder's fixed-point theorem，where λgt;0 isa parameter， a，b∈C [O，1]，and the nonlinear terms are continuous functions and satisfy certain conditions， the existence of positive solutions of the system is explored by constructing operators and proving relevant lemmas.When the nonlinear terms are continuous functions，satisfy the semi-positive assumption f_i（x，0）

Key words： variable coefficients; semi-positive problem; topological degree theory; positive solution

四階常微分方程邊值問題是描述在彈性變形下梁狀態的數學模型，也稱彈性梁問題，理想的彈性變形條件對梁結構前期分析及后期延性調整起著至關重要作用。由于其重要的物理意義和實際應用價值，研究者們對不同邊界條件下四階常微分方程解或正解的情況進行了研究[-10]。Benhassine通過臨界點理論探討了兩端簡單支撐邊界條件下常系數彈性梁方程 y^（4）（x）+My^′′（x）= λf（x，y（x）），x∈（0，1） 多重變號解的存在性，其中 f∈ C（[0，1]×R，R），M∈R，λgt;0°Wang 等8應用單調迭代技巧獲得了兩端滑動支撐邊界條件下的常系數非線性四階常微分方程 y^（4）（x）+（k₁+k₂）y^′′（x）+k₁k₂y（x）= λh（x）f（y（x）） ， x∈（0，1） 正解的存在性，其中 f∈ C（[0，∞），R） 。 Ma^[9] 運用分歧技巧關注了兩端簡單支撐邊界條件下變系數四階常微分方程y^（4）（t）+β（t）y^′′（t）=a（t）f（y（t）），t∈（0，1） 結點解的存在性，其中 β∈C[0，1]，β（t）lt;π²，f：RR 連續且滿足 f（u）ugt;0 Ma等借助非共軛理論和Elias's譜理論給出了兩端固定支撐邊界條件下算子 u^（4）+p（t）u，t∈[0，1] 的譜結構和正性。 Ma^[9] 對四階常微分方程的研究是在變系數條件下進行的。但現有文獻對四階常微分方程系統問題的研究較少。 An 等通過變分法探究了一類二階-四階耦合常微分系統邊值問題解的存在情況。 Wang 等[2利用錐上的不動點定理獲得了四階常微分方程非線性系統：

正解的存在性，其中 f_i∈C（[0，1]×[0，+∞）×[0，+∞）. 。注意到，Wang等2獲得的是常系數四階系統問題當非線性項為正時正解的存在性結果。

在文獻[10]和文獻[12]的基礎上，本文考慮非線性項變號且具有變系數的四階常微分方程系統問題正解的存在情況，主要運用拓撲度理論研究兩端固定支撐邊界條件下四階半正變系數常微分系統邊值問題：