理解數(shù)學(xué)是做好數(shù)學(xué)教學(xué)的前提

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）07-0033-05引用格式：.理解數(shù)學(xué)是做好數(shù)學(xué)教學(xué)的前提[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2025（7）：33-37.

一、問題的提出

筆者在調(diào)研中發(fā)現(xiàn)教師對數(shù)學(xué)理解不到位導(dǎo)致教學(xué)低效的現(xiàn)象普遍存在．例如，教師知識傳授生硬直接，忽視知識發(fā)展的必要性，使得學(xué)生陷入機(jī)械記憶的囧途，思考能力鈍化難以體會數(shù)學(xué)的理性魅力；教學(xué)流于淺層，缺少對教材內(nèi)容的深度理解，不重視厘清知識發(fā)生發(fā)展的內(nèi)部邏輯及其本質(zhì)，使得學(xué)生的認(rèn)知停留于淺層，難以走向深度明理；教學(xué)時就知識講知識、就題講題，導(dǎo)致知識呈碎片化、割裂化，忽視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)、實(shí)質(zhì)性結(jié)構(gòu)挖掘不到位，使得學(xué)生難以建構(gòu)具有支撐意義的結(jié)構(gòu)化知識體系，阻礙深度學(xué)習(xí)發(fā)生．“散、碎、淺”的教學(xué)使學(xué)生成為知識技能的記憶模仿者，難以成為問題的發(fā)現(xiàn)者、提出者，難以發(fā)揮“數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用”的育人價值．因此，教師明白“教什么”很重要，理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提.

物的基本特質(zhì)．?dāng)?shù)學(xué)知識的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)知識所固有的基本特質(zhì)或根本屬性.數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)知識的本質(zhì)體現(xiàn)為對事物進(jìn)行抽象后得到數(shù)學(xué)研究對象一一數(shù)學(xué)概念，進(jìn)一步抽象、推理、建模得到研究對象的數(shù)量關(guān)系及空間形式的屬性、關(guān)系和規(guī)律．把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，需要教師從對數(shù)學(xué)淺層的“知其然”“機(jī)械用”的工具性理解過渡到“知其所以然”，以及知識間深層、復(fù)雜、遠(yuǎn)距關(guān)聯(lián)的關(guān)系性理解．例如，數(shù)與式之間是具體與抽象、特殊與一般的關(guān)系，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、整式、分式的運(yùn)算看似規(guī)則不同，其實(shí)有著“運(yùn)算單位一致性”的共同本質(zhì).

2.體會數(shù)學(xué)思維特征

心理學(xué)研究表明，思維的發(fā)展是智力、能力發(fā)展的核心．?dāng)?shù)學(xué)的思維作為人們理解與解釋現(xiàn)實(shí)世界的特有思考方式，體現(xiàn)在揭示事物本質(zhì)、建構(gòu)對象之間關(guān)系、合乎邏輯地推理論證、借助數(shù)學(xué)符號形式推理運(yùn)算、從具體到一般、形式化等方面，進(jìn)而發(fā)展抽象概括、條理表達(dá)、重論據(jù)、遵邏輯的良好思維品質(zhì)與理性精神．章建躍博士將數(shù)學(xué)思維的特征概括為“一個結(jié)構(gòu)、兩個方向、三種語言、四種形式”，即數(shù)學(xué)地認(rèn)識事物的基本結(jié)構(gòu)是“定義概念一推導(dǎo)性質(zhì)一建立聯(lián)系一實(shí)踐應(yīng)用”；數(shù)學(xué)思維有兩個相輔相成的方向或

二、理解數(shù)學(xué)的基本內(nèi)涵

1.把握數(shù)學(xué)知識本質(zhì)

從哲學(xué)的視角來看，事物的本質(zhì)是區(qū)別于其他事方面一一歸納和演繹；數(shù)學(xué)思維的工具是三種語言，即符號語言、圖形語言和文字語言；數(shù)學(xué)思維的基本形式有邏輯推理、代數(shù)運(yùn)算、幾何直觀、數(shù)形結(jié)合.數(shù)學(xué)思維是人類智慧的升華，是數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展的根基，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重．體會數(shù)學(xué)的思維特征是教師理解數(shù)學(xué)必經(jīng)的靈魂之旅，是教師把握好數(shù)學(xué)教學(xué)的本末與主次的關(guān)鍵.

3.詮釋數(shù)學(xué)育人價值

數(shù)學(xué)是人類文明成果的重要組成部分，承載著熠熠生輝的數(shù)學(xué)思想和源遠(yuǎn)流長的深厚文化.數(shù)學(xué)在思想、文化、美學(xué)等方面有著極其深遠(yuǎn)的育人價值．理解數(shù)學(xué)需要教師能夠詮釋數(shù)學(xué)知識蘊(yùn)含的科學(xué)方法、理性精神等豐富的思想內(nèi)涵；了解數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史脈絡(luò)，體悟數(shù)學(xué)史在觀念、思維方式方面的深遠(yuǎn)影響；欣賞數(shù)學(xué)之美，理解數(shù)學(xué)簡潔、統(tǒng)一、對稱、秩序等美學(xué)意蘊(yùn)；挖掘人文價值，發(fā)揮數(shù)學(xué)研究對象中的德育價值與人文關(guān)懷.

理解數(shù)學(xué)，即對數(shù)學(xué)知識知本質(zhì)、會例釋、善聯(lián)系，把握數(shù)學(xué)知識的邏輯體系和結(jié)構(gòu)，深刻認(rèn)識蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法和價值觀資源.理解數(shù)學(xué)需要教師能夠以聯(lián)系發(fā)展、結(jié)構(gòu)化的視角把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，以上位的觀點(diǎn)、理性的視角體會數(shù)學(xué)思維的特征，以深刻的認(rèn)識、宏觀的視角詮釋數(shù)學(xué)的育人價值．教學(xué)中應(yīng)該從哪幾個視角理解數(shù)學(xué)提升教學(xué)品質(zhì)？下面，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行探索思考．

三、基于理解數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)實(shí)踐與思考

1.揭示學(xué)習(xí)之因，做好課堂引入

好的開始是成功的一半．一節(jié)高品質(zhì)數(shù)學(xué)課的引人應(yīng)該讓學(xué)生明白為何學(xué)，體會知識發(fā)展的必然性，揭示學(xué)習(xí)之因，感受數(shù)學(xué)發(fā)展的軌跡．正如史寧中教授所言，任何一個概念、方法的引入必然有他的必要性，硬性規(guī)定對培養(yǎng)孩子的思考能力、核心素養(yǎng)都不利.

案例1：乘法公式的探究引入.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）關(guān)于乘法公式的要求：理解乘法公式（a+b）（a-b）=a²-b² ， （a±b）²=a²±2ab+b² ，了解公式的幾何背景，能利用公式進(jìn)行簡單的計算和推理．為了更好地厘清知識間的邏輯關(guān)系、把握其數(shù)學(xué)本質(zhì)、設(shè)計教學(xué)，筆者查閱了2012年出版的人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）、蘇科版教材、滬科版教材、北師大版教材，梳理不同版本教材中乘法公式的引入設(shè)計并進(jìn)行對比研究，如表1所示.

總體來說，各版本教材在乘法公式引人環(huán)節(jié)可以概括為兩種方案.

方案1：從幾何背景出發(fā)，通過“圖形面積問題”形成意義建構(gòu)，揭示式子特征，形成猜想，通過多項(xiàng)式乘法進(jìn)行代數(shù)推理予以證明得到乘法公式.

方案2：以多項(xiàng)式相乘特例為引子，依據(jù)多項(xiàng)式乘法 （a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd 探究并通過代數(shù)推理得到乘法公式，然后設(shè)計“圖形面積問題”形成幾何解釋.

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，在教學(xué)中要了解數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與來源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價值與意義，強(qiáng)化對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，關(guān)注數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)背景，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識結(jié)構(gòu).

方案1是通過觀察圖形特征，從不同角度計算圖形面積得出猜想引入乘法公式，雖然這種方式較為直觀，但是圖形何以來？學(xué)生能做到但不易想到，與學(xué)生所學(xué)習(xí)的章節(jié)主題“整式乘法”銜接不夠自然．其實(shí)，從知識發(fā)生發(fā)展的邏輯來看，乘法公式的產(chǎn)生源自多項(xiàng)式乘法的特殊情況．對于 （a+b）（c+d）=ac+ ad+bc+bd ，當(dāng) a=c ， d=-b 時，即平方差公式 （a+b）? （a-b）=a²-b² ；當(dāng) a=c，b=d 時，即完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b² 而 （a-b）² 實(shí)際上是 （a+b）² 的變式從代數(shù)和的角度來看，它們是辯證統(tǒng)一的， （a-b）²= a²-2ab+b² 的得出自然而然.

方案2是基于數(shù)學(xué)內(nèi)部情境引入，更符合知識發(fā)生發(fā)展的邏輯，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究從一般到特殊的思想，更有利于學(xué)生體會到從數(shù)及數(shù)的運(yùn)算發(fā)展到一般化的式及式的運(yùn)算，數(shù)的乘法有特例可以簡便運(yùn)算，乘法公式是整式乘法的特例值得研究，因此，在教學(xué)中可以以方案2引入探究，并在此基礎(chǔ)上拓寬探究空間，鼓勵學(xué)生自主提出特例，如 （a+b+c）（a-b-c） （a±b）³ 等，使學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑形成遷移聯(lián)系，在知識間建立有意義關(guān)聯(lián)．基于數(shù)學(xué)知識本源，揭示研究之因，提高學(xué)生的理性思考能力，促進(jìn)學(xué)生將知識體系化，有利于學(xué)生從“學(xué)會”走向“會學(xué)”，增強(qiáng)對未來學(xué)習(xí)的支撐意義.

2.厘清知識邏輯，挖掘教材價值

數(shù)學(xué)教學(xué)以知識為載體展開，而知識的發(fā)生發(fā)展是有邏輯的．如果教師對知識的底層邏輯挖掘不到位，對數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系與結(jié)構(gòu)理解浮于表面，就會陷入單純、散裂的知識教學(xué)，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)便如無源之水，難以彰顯．高品質(zhì)的數(shù)學(xué)課需要教師對所教知識的整體脈絡(luò)及結(jié)構(gòu)有深入的理解，要能夠從高觀點(diǎn)理解教材，把握知識邏輯及其所承載的思維邏輯，進(jìn)而挖掘教材價值，靈活運(yùn)用教材中的素材，而非照本宣科.

案例2：直線、射線、線段概念課教學(xué).

直線、射線、線段是最基本的幾何圖形，它們是幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，對于發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、推理能力、抽象能力有著重要的價值．同時，該節(jié)課作為幾何的入門課，其建構(gòu)研究圖形的一般方法、路徑對后續(xù)幾何知識學(xué)習(xí)有著統(tǒng)領(lǐng)意義．在實(shí)施蘇科版教材七年級上冊“直線、射線、線段”的教學(xué)時，為了更好地理解其數(shù)學(xué)本質(zhì)，明晰知識間的邏輯關(guān)系，進(jìn)而厘清教學(xué)邏輯，提升數(shù)學(xué)課堂的思維品質(zhì)，筆者查閱并梳理2024年和2012年出版的不同版本教材中關(guān)于“直線、射線、線段”內(nèi)容的設(shè)置，如表2所示.

《標(biāo)準(zhǔn)》在第四學(xué)段對線段、射線、直線內(nèi)容要求給出了明確表述，四個版本教材的編寫都體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，但是知識的編排順序存在差異，內(nèi)容呈現(xiàn)上也有略微差異．對比不同版本新、舊教材，發(fā)現(xiàn)人教版、蘇科版的新、舊教材在知識呈現(xiàn)順序上均有明顯調(diào)整.

雖然四個版本的新、舊教材中都強(qiáng)調(diào)了“三線”的關(guān)系，但是主從關(guān)系存在差異．那么知識之間的本質(zhì)關(guān)系是什么？追溯《幾何原本》，其中是基于點(diǎn)、線、直線、面、角等23個定義、5條公設(shè)及5條公理構(gòu)建的邏輯體系，線段、射線并不在23個定義之列，那么基于幾何知識發(fā)展邏輯的視角，直線是射線、線段的上位概念，它們之間是整體與部分、一般與特殊的關(guān)系，而“三線”都可以用兩個大寫字母來表示.基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”中，“最短”的邏輯根源皆是基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”的唯一性．由此可見，蘇科版新教材將原本位于舊教材第一學(xué)習(xí)順序的基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”調(diào)整至基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”之后，更符合知識發(fā)生發(fā)展的邏輯，即先探究基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”并形成圖示、名稱、確定條件、表示方法及依據(jù)的探究框架，然后通過類比遷移，讓學(xué)生自主探究射線、線段．這種方式更有利于學(xué)生明晰知識發(fā)展的邏輯，促進(jìn)知識結(jié)構(gòu)化，體悟公理化思想.

四個版本的新、舊教材中線段和差與兩點(diǎn)間距離的呈現(xiàn)順序存在差異，人教版新教材將原本位于舊教材最后學(xué)習(xí)順序的基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”及兩點(diǎn)間距離的內(nèi)容調(diào)整至線段的和差之前，進(jìn)行順序調(diào)整的底層邏輯是什么？定性分析和定量分析的相互轉(zhuǎn)化是幾何知識發(fā)展的基本機(jī)理，兩點(diǎn)間的距離是基于“線段是兩點(diǎn)間的最短路徑”這一性質(zhì)對線段長度的量化描述，是用數(shù)量刻畫兩點(diǎn)間的空間關(guān)系，進(jìn)行定量分析，亦即“線段可度量”是線段長短比較和運(yùn)算的前提和依據(jù)，由此啟示我們在線段和差的教學(xué)中，不應(yīng)僅僅停留在對圖示的淺層感知，還要引導(dǎo)學(xué)生明晰底層邏輯“線段可度量”是線段可運(yùn)算的核心依據(jù).

四個版本的教材中并未均提及兩直線交點(diǎn)情況、點(diǎn)線的位置關(guān)系，它們與本知識版塊的聯(lián)系是什么？是否有學(xué)習(xí)的必要？《幾何原本》中對直線的定義是“直線是點(diǎn)沿著一定方向及其相反方向無限平鋪”，即點(diǎn)是直線最基本的構(gòu)成要素．史寧中教授曾指出，與研究對象的存在性相比，研究對象之間的關(guān)系更為本質(zhì)．可見，教學(xué)中增加平面內(nèi)點(diǎn)與直線、直線與直線的位置關(guān)系的研究是有必要的．通過圖形語言、符號語言的抽象，不僅可以促進(jìn)知識間的關(guān)聯(lián)與系統(tǒng)化，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，還有助于啟迪學(xué)生形成對幾何世界的客觀認(rèn)識.幾何既關(guān)注單個圖形的性質(zhì)又關(guān)注圖形之間的關(guān)系，進(jìn)而明晰幾何研究的一般路徑是“背景一定義與表示一性質(zhì)（關(guān)系、規(guī)律）一結(jié)構(gòu)與聯(lián)系一應(yīng)用”，引導(dǎo)學(xué)生以聯(lián)系、發(fā)展的眼光看問題，促進(jìn)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

3.教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，觸發(fā)深度學(xué)習(xí)

《標(biāo)準(zhǔn)》指出，在教學(xué)中要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系．北京師范大學(xué)郭華教授曾指出，深度學(xué)習(xí)的五個特征分別是聯(lián)想與結(jié)構(gòu)、活動與體驗(yàn)、本質(zhì)與變式、遷移與應(yīng)用、價值與評價．其中，聯(lián)想與結(jié)構(gòu)特征需要學(xué)生具備記憶、理解、關(guān)聯(lián)的能力，以及系統(tǒng)化的思維及結(jié)構(gòu)能力的共同參與，聯(lián)想重在喚醒或改造學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，觸發(fā)新知生成，而結(jié)構(gòu)是對經(jīng)驗(yàn)與知識的整合與結(jié)構(gòu)化．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，以聯(lián)想、結(jié)構(gòu)的方式去學(xué)習(xí)，是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)發(fā)生的重要特征．這依賴于教師對數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的緣起及知識間的結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)有充分的認(rèn)識，理解數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，以聯(lián)系的視角有意義地建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則、定理等，促進(jìn)知識結(jié)構(gòu)化.

案例3：分式的學(xué)習(xí).

查閱2012年出版的人教版、蘇科版、滬科版、北師大版教材，發(fā)現(xiàn)分式概念學(xué)習(xí)的起始都是基于將實(shí)際情境問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，列出代數(shù)式進(jìn)而歸納得出分式的共同特征．形如 ， A ， B 均為整式且 B 中含有字母的式子稱為“分式”.這符合概念課實(shí)施的一般套路，即背景引入一歸納特征一形成概念.學(xué)生雖然能意識到分式是解決現(xiàn)實(shí)生活問題的重要模型，有學(xué)習(xí)的必要性，但是并不能知曉學(xué)習(xí)分式的根本原因，更做不到讓已有的關(guān)于“數(shù)”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)自覺而有意義

地參與到分式的學(xué)習(xí)中去.

從數(shù)學(xué)知識的內(nèi)部發(fā)展邏輯而言，式是數(shù)的一般化，數(shù)是式的特例．?dāng)?shù)的運(yùn)算有加、減、乘、除，那么式應(yīng)該有相同的運(yùn)算．減法是加法的逆運(yùn)算，乘法是特殊的加法，除法是乘法的逆運(yùn)算．因此，整數(shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)順序是先學(xué)加減后學(xué)乘除，那么整式的運(yùn)算也應(yīng)該是同樣的順序，這是知識發(fā)展的必然邏輯.

基于以上思考，教師可以在分式概念課起始階段先設(shè)計問題“從小學(xué)到初中，數(shù)系經(jīng)歷了從整數(shù)、分?jǐn)?shù)到有理數(shù)再到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充．整數(shù)是我們最先學(xué)習(xí)的一類數(shù)．我們知道整數(shù)的基本運(yùn)算有加、減、乘、除，類比整數(shù)的運(yùn)算，整式的運(yùn)算有哪些？我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些整式的運(yùn)算？你認(rèn)為我們還要研究關(guān)于整式的什么運(yùn)算？兩個整數(shù)相除的結(jié)果是整數(shù)或分?jǐn)?shù)，兩個整式相除的結(jié)果有多少種可能？”然后幫助學(xué)生建立宏觀知識圖，如圖1所示．最后通過實(shí)際問題解釋分式的現(xiàn)實(shí)意義，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，以及普遍聯(lián)系的辯證唯物主義觀點(diǎn).

經(jīng)歷以上知識建構(gòu)，學(xué)生從宏觀的視角理解分式是數(shù)學(xué)發(fā)展的邏輯必然，體會分式與分?jǐn)?shù)、分式與整式之間的緊密聯(lián)系與區(qū)別，類比分?jǐn)?shù)的研究路徑（基本性質(zhì)一分?jǐn)?shù)運(yùn)算）和整式的研究路徑（概念一運(yùn)算一方程一解決實(shí)際問題），自主提出下一步研究分式的脈絡(luò)，并進(jìn)行深人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與探究．在知識結(jié)構(gòu)化的過程中，鼓勵學(xué)生形成數(shù)學(xué)對象研究的一般路徑，發(fā)展抽象能力，以及發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的能力；在聯(lián)想與結(jié)構(gòu)、遷移與應(yīng)用中，觸發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，發(fā)展高階思維的結(jié)構(gòu)性、主動性、創(chuàng)新性等特質(zhì).

四、結(jié)束語

理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)是數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的三大基石.教師的知識掌握程度對教學(xué)實(shí)踐起著關(guān)鍵的影響，教師的知識變化會引發(fā)教學(xué)活動實(shí)施與決策的變化，更會影響學(xué)生的學(xué)習(xí)與生成．理解數(shù)學(xué)是做好數(shù)學(xué)教學(xué)的前提.隨著時代的發(fā)展，數(shù)學(xué)學(xué)科自身在發(fā)展，數(shù)學(xué)育人的目標(biāo)也發(fā)生了根本性的變化，從知識目標(biāo)到素養(yǎng)目標(biāo)，是立足基礎(chǔ)知識與基本技能的迭代發(fā)展而不是舍本求末，教師對數(shù)學(xué)的理解也應(yīng)與時俱進(jìn)，不斷迭代發(fā)展，知行合一，在實(shí)踐與探索的漫漫長路上，不斷上下求索.

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