基于教材例題和習題的數學跨學科教學路徑探索

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）07-0043-05引用格式：．基于教材例題和習題的數學跨學科教學路徑探索：以“測量金字塔的高度”為例[J].中國數學教育（初中版），2025（7）：43-47.

跨學科教學承載著學生綜合素養和實踐能力培育的重任.如何開展數學跨學科教學？難點之一就是教學資源的開發．教材是教學的立足之本．教師可以從教材內容或考試素材中選取具有實踐性、應用性的素材，通過溯源問題條件的來源、結論的應用及與其他學科產生關聯，與相關學科教師進行協作，充分挖掘該問題的數學教育價值，形成數學跨學科的教學資源．下面以蘇科版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“教材”）和人教版教材中有關測量金字塔高度的例題為例，談談基于教材例題和習題的數學跨學科教學問題，供教師們參考.

一、教材質疑，生成問題

蘇科版教材九年級下冊“6.7用相似三角形解決問題”中有這樣一個問題：古埃及國王曾請一位學者測量金字塔的高度，當這位學者確認在陽光下他的影長等于身高時，要求他的助手同時測出金字塔的影長，以及金字塔底部正方形的邊長，這樣他就知道了金字塔的高度.

上述問題取材于有關古希臘思想家、科學家、哲學家泰勒斯（約公元前624年一公元前546年）的一個流傳甚廣的傳說.

質疑：太陽光線是否能與地面成 45^° 角？若能，此時金字塔的邊緣會與光線垂直嗎？若不能，泰勒斯的測量方法就行不通．該問題涉及太陽光線與地面的夾角問題，是一個與地理學科有關的問題.

二、合作研討，確定主題

該質疑是對早有史書記載的一個問題的質疑，容易激發學生的興趣．此外，要很好地解答對泰勒斯的測高問題的質疑，需要用到一些地理知識和相關數學史，這恰好是一個跨學科教學的素材．筆者通過查閱相關資料并與地理教師合作、探討，與教研組其他教師共同討論，最后確定本次跨學科學習的主題一一測量金字塔的高度.

實施方案：學生自主完成學習清單（如表1）上的內容，為解決主要目標問題掃清知識障礙．在教師的引導和問題的驅動下，在師生、生生相互合作交流中，解決目標問題.

三、課堂實施，評價反饋

活動1：例題生疑.

情境：據說，古埃及的大金字塔建成一千多年后，還沒有人能夠準確地測出它的高度．泰勒斯在游歷埃及時，曾用一種巧妙的方法計算出了金字塔的高度，使當時的古埃及國王羨慕不已．泰勒斯的方法既巧妙又簡單：選一個天氣晴朗的日子，在金字塔邊豎立一根小木棍，然后觀察木棍陰影的長度變化，等到陰影長度恰好等于木棍長度時，趕緊測量金字塔影的長度，因為在這一時刻，金字塔的高度也恰好與塔的影子長度相等．也有人說，泰勒斯是利用棍影與塔影長度的比等于棍高與塔高的比計算出金字塔高度的.如果是這樣，就需要用到“相似三角形對應邊成比例”這個定理.

問題1：泰勒斯是如何測金字塔高度的？

從故事中我們可以看到有兩種方法：一種是當木棍的影長與木棍相等時，此時的塔高等于其影長；另一種是利用棍影與塔影的長度之比與木棍與金字塔的高度之比相等來測量的.

例1古埃及國王曾請一位學者測量金字塔的高度．當這位學者確認在陽光下他的影長等于身高時（如圖1），要求他的助手測出金字塔的影長DB和金字塔底部正方形的邊長．這樣他就知道了金字塔的高度.

如圖2，AC是金字塔的高， DB 是金字塔的影長，如果此時測得影長 DB 為 32m ，金字塔底部正方形的邊長為 230m ，你能幫助這位學者計算這座金字塔的高度嗎？

問題2：對于這個解答，大家是否深信不疑呢？你有什么疑問？

學生提出如下疑問.

（1）為什么BC與金字塔的邊緣垂直？

我們知道一天中某地方的一個物體（如一棵樹）的影子的方向是變化的．我國古代的日晷就利用了這個規律來計時.

（2）太陽光線與地面的夾角會是 45^° 嗎？

平時我們看到一天中樹的影子除了方位發生改變外，其長短也會改變，呈早、晚影子長，中午影子短的規律．這說明太陽光線與地面的夾角是變化的.那么是否存在某個時刻，使太陽光線與此地地面的夾角是 45^° 角呢？

活動2：由疑促學.

問題3：太陽直射點的定義是什么？有怎樣的變化規律？

若一條太陽光線的延長線穿過地球中心，此時這條太陽光線與地面的交點即為太陽光線的直射點．夏至日這天，太陽直射點位于北緯 23^°26^′ ，此后太陽直射點逐漸向南移動，北半球受太陽光照射的時間逐漸減少.北緯 23^°26^′ 的緯線是太陽光在北半球上直射點的最北界限．因此，把這條緯線稱為北回歸線．冬至日時，太陽直射點位于南緯 23^°26^′ ，此后太陽直射點開始逐漸向北移動，到夏至日時，再次直射北回歸線.南緯 23^°26^′ 的緯線則是太陽光在南半球上直射點的最南界限．因此，把這條緯線稱為南回歸線．具體運行規律如圖3所示.

問題4：什么是太陽高度？什么是正午太陽高度，其計算公式是什么？

太陽光線與地平面之間的夾角，叫作太陽高度角，簡稱太陽高度．一天中太陽高度最大值出現在正午，稱為正午太陽高度，此時太陽光線與地平面的夾角是一天中最大的.

正午太陽高度公式為 H=90^°-|β-α| ，其中 H 表示正午太陽高度， β 表示當地點 B 的地理緯度， α 表示太陽直射點A的地理緯度.若將當地點 B 的緯度 β 取正值，此時與其不在同一個半球的太陽直射點 A 的緯度取負值，與其在同一個半球的太陽直射點A的緯度取正值.

證明：當A， B 兩地在同一個半球時，不妨設同在北半球.

如圖4，若地點 B 的緯度 β 比太陽直射點 A 的緯度 α 大，則 H=90^°-∠EBF=90^°-∠AOB=90^°-（β-α）.

如圖5，若地點 B 的緯度 β 比太陽直射點 A 的緯度α 小，則 H=90^°-∠EBF=90^°-∠AOB=90^°-（α-β）. 于是有 H=90^°-∣β-α∣ ： ①

若將當地點 B 的緯度 β 取正值，此時與其不在同一個半球的太陽直射點A的緯度取負值，在同一個半球的太陽直射點 A 取正值，則正午太陽高度 H=90^°- |β-α| ：

活動3：釋疑建模.

問題5：胡夫金字塔所在地的緯度是多少？是否存在某一時刻，使太陽光線與此地地面的夾角是 45^° ？

胡夫金字塔位于北緯 29^°58^′45\" ，為了便于計算，將胡夫金字塔的地理緯度規定為北緯 30^°

由 H=90^°-∣30^°-α∣≥45^° ，得 -15^°?α?75^° .因為 -23^°26^′?α?23^°26^′ ，所以 -15^°?α?23^°26^′ ，所以只要太陽的直射點在南緯 15^° 至北回歸線之間，金字塔所在地的太陽高度就能達到 45^°

問題6：按照例1中的方法，估計泰勒斯是在一年中的什么時候去測量金字塔高度的.

若以北半球每年的6月22日前后作為夏至日，此時太陽直射點在北回歸線上.假設太陽直射光線是勻速移動的，則太陽直射點每天移動的緯度為 23^°26^′×4÷ 365≈0.26^° ；若以北半球每年的12月22日前后作為冬至日，此時太陽直射點在南回歸線上，從南緯 23^°26^′ 到南緯 15^° ，移動的緯度為 8.43^° ，需要的天數為 8.43÷ 0.26≈33 （天）.12月22日后的33天是次年的1月24日.當太陽直射點再次回到南緯 15^° 時，約是次年的11月19日．也就是說，金字塔所在地要想達到太陽高度角為 45^° ，只要在這年的1月24日至11月19日內就可以.

教師出示2023年11月、12月及2024年1月的月歷圖片（圖略），便于學生計算.

如圖6，當太陽的直射點與地點 B 不在同一個半球時，有 H=90^°-∠EBF=90^°-∠AOB=90^°-（β+α）. ②

問題7：當太陽光線與地平面的夾角為 45^° 時，金字塔的某一邊緣與太陽光線一定垂直嗎？

這個要求比較難，若按照坐北朝南的習慣，則在正午時分，金字塔朝南的邊緣與太陽光線垂直，而要達到太陽光線與地面成 45^° 角，只有1月24日與11月19日這兩天滿足要求．這說明傳聞中的第一種測量方法對時間要求很嚴格，可以說不具有普遍性．那么在其他日期如何測量呢？

問題8：當太陽光線與金字塔朝南的邊緣不垂直時，即太陽光線與金字塔朝南的邊緣的夾角不是 90^° ，能求出金字塔的高度AC嗎？

如圖7，假設 AC 的影子 CB 與金字塔邊緣 GF 的所夾銳角為 θ ，即 ∠FEB=θ ，由于太陽光線與地面的夾角是 45^° ，所以只要能計算出 BC 的長就可以了。

如圖8，過點 B 作 BH⊥GF 于點 K ，過點 C 作 CH⊥ BH于點H.因為∠BCH=∠FEB=0，所以 BC=BH （20所以 BH 的長為金字塔邊長的一半與塔頂的影子 B 到GF的距離BK之和，記為l，則金字塔高度h= sinθ

例2據傳說，古希臘數學家、天文學家泰勒斯曾利用相似三角形原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度.

如圖9，木桿 EF 長 2m ，它的影長 FD 為 3m ，測得 OA 為 201m ，求金字塔的高度 BO

該題為人教版教材九年級下冊“27.2.3相似三角形應用舉例”的例4.當金字塔的影子成一個等腰三角形時， BO 的影子與塔底的一邊緣垂直（這個時刻在一天中是存在的），則 OA 等于這個等腰三角形的高與塔底正方形邊長的一半的和．由 ΔABO～ΔDEF ，得 ，所以

問題9：這個測量方法需要等到金字塔的影子是等腰三角形時才可以實施，如果是任意一天去測金字塔的高度，該如何測呢？

如圖10，設木桿長為 a ，影長為 b ，BH為 l ，由相似三角形的性質，得 所以金字塔高度 h=AC=

在 中， a ，b，l， θ 均可以通過測量得到．因此，這個方法具有普適性，可以將其作為測量金字塔高度的計算公式，

活動4：練習自評.

練習：建筑樓房時，要更多地考慮整棟樓全年均有太陽光照，這就涉及前后兩棟樓之間的最短距離一一樓間距（或樓影）的計算問題.某地位于北緯 32.5^° ，A棟樓高33層，層高2.8米，若要B棟樓底層全年有陽光，則樓間距至少要達到多少米？

學生完成練習題并完成自我評價表（如表2）.

四、教學反思，形成路徑

1.以教材例題、習題為藍本，選取跨學科內容

研究發現，初中數學教材中的部分例題和習題不僅蘊含多學科知識和思想方法，還與學生的實際生活緊密聯系，在一定程度上為學生進行數學跨學科學習提供了有效的學習資源．因此，教師可以通過對例題和習題條件的溯源、問題背景的深挖、結果的應用，尋找跨學科教學的素材．上述案例對泰勒斯測金字塔高度問題的條件進行了溯源和問題背景的挖掘，發現了該問題與地理、天文、歷史等相關聯，從而建立了該問題與其他學科知識的聯系．事實上，一道數學應用題可以看成一道用數學模型解決的實際問題，且這個數學模型隱藏著與其他學科知識的聯系，這個聯系就是我們進行數學跨學科教學的關鍵點．為了便于教師開展數學跨學科教學，建議教材或與教材配套的教師教學用書中豐富具有探索性的跨學科例題．同時，教師應積極開發數學跨學科教學資源，形成校本教學資源庫.

2.以跨學科團隊為基礎，共研跨學科主題

跨學科教學需要教師團隊形成合力機制．由于數學跨學科教學涉及其他學科，且數學教師對其他學科知識的掌握和理解可能不準確，要想滿足傳授知識的科學性，數學教師除自我研究外，還必須與其他學科教師合作，以便解決教學中的疑問.例如，本案例中關于太陽高度的問題，除了教師本人查閱太陽光與地面的夾角相關問題外，還要向地理教師請教，聽取地理教師的專業講解．綜合各方面的看法，形成教學主題，根據課題進行合作和研究，共同編寫好學生自主學習的清單或活動方案，讓學生依據清單進行探索和相互交流.

3.以“三度”評價方案為參照，指導跨學科設計

教學評價既是檢驗教學效果的方法，也是改進教學行為的手段．跨學科教學的評價方案應與跨學科教學的實施方案同步完成，確保“教一學一評”一致性，以免使教學最后流于形式.有研究者綜合理論認識和實踐經驗，給出了跨學科教學的“三度”評價方案．“三度”包括指向學習內容的學科整合程度、指向學習過程的學習投入程度和指向學習結果的問題解決程度，學科整合是跨學科教學區別于其他教學方式的基本前提和特征；學習投人是跨學科教學有效開展的重要保障；問題解決是跨學科教學的直接結果.跨學科教學完成后，教師可以采用文字或表格的形式呈現每名學生或每個學習小組共同的表現性評價結果．在上述案例的設計中，數學學科的幾何性質、代數運算、數學推理、問題的數學模型等都與地理學科中的知識融合，從地理學科中提出問題，借助數學知識解決問題．對于一些鋪墊性知識，先讓學生自主解決.在課堂問題的驅動下，學生積極思考，主動參與，熱情飽滿，并成功解決有關泰勒斯測量金字塔高度的疑問．最后，通過自我評價表和練習題診斷學生學習過程中存在的問題，進而促進學生學習行為和教師教學行為的改進.

4．以學生自主學習為主，實施跨學科教學

上述案例是以學生為主體、以教師為主導來實施教學的，先讓學生對照學習清單，自主學習以獲得問題的答案．在尋找答案的過程中，學生可以通過互聯網檢索資料，或閱讀文獻，或與其他學生協作．課堂上，教師啟發學生提出問題、分析問題、解決問題.跨學科教學中，教師需要轉變學生的學習方式，發揮學生的主體作用，引導學生進行合作探究，在學科知識交互的場域中引導學生進行深度思考，實現對知識的遷移和運用，從而培養學生的問題解決能力.

五、結語

在實際教學中，數學跨學科課程的具體開發是一個難點，筆者提出的基于教材例題和習題的數學跨學科教學方式，是開發課程資源的一種嘗試，旨在為教師掌握跨學科課程開發的基本方法、立足真實問題選擇跨學科主題、研析跨學科教學的內在機理，以及組織實施跨學科主題的學習活動等提供參考.

參考文獻：

[1］李楸婷，張慕橙，曾昌璽．跨學科情境視域下初中數學教材例習題的價值及教學策略[J]理科考試研究，2023，30（20）：14-17.

[2]劉祖希.圖說數學跨學科教學[J]．中學數學雜志，2023（10）：19-22.

[3］李洪修，崔亞雪.跨學科教學的要素分析、問題審視與優化路徑[J].課程·教材·教法，2023，43（1）：74-81.

[4」顧萬全，申大魁.地理教學中數學思想方法的滲透：“地理 + 數學”跨學科主題學習的實踐路徑探索［J]．中學地理教學參考（下旬），2023（9）：57-60，70.

[5]曹勇兵.數學之父：泰勒斯[J].中小學數學（高中版），2011（10）：46-48.