破解不等式恒成立問題的策略

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）16-0021 -03

不等式恒成立問題綜合考查函數、導數、不等式等知識，能有效檢測學生的邏輯思維、運算求解和綜合運用知識的能力.因其涉及知識面廣、題型多變且思維難度大，成為高中數學教學與學習的難點，深入研究不等式恒成立問題的解題策略，能為教學提供有效方法，助力學生突破學習瓶頸，提高數學素養[1].

1 主元法

主元法是指在一個多元數學問題中，以其中一個變量為“主元”，將問題轉化為該主元的函數、方程或不等式等問題，其本質是函數與方程思想的應用.數學中的多元變量問題，若按常規思路確定主元，可能導致問題復雜化，此時，若能針對題目的結構特征，改變思考的角度，選擇合適的主元切入問題，可以大大降低題目難度.

例1已知函數 f（x）=x|x-a|-2a² .若當 xgt; 2時 f（x）gt;0 ，則 α_a 的取值范圍是

分析本題的研究對象為含參數 a 的函數f（x）=x∣x-a∣-2a² .若采用常規方法，將其寫成分段函數并繪制圖象草圖，進而求解 a 的取值范圍，不僅運算量較大，還極易忽略 Δ_a 為負數的情況.實際上，本題考查學生的數學思維，體現了“多想少算”的命題理念.

解析當 xgt;2 時 ，f（x）gt;0 等價于 x（x-a） -2a²gt;0 或者 x（a-x）-2a²gt;0

把 Ψ_a 視作“主元”進行變形，可得 （a+x） （ a 或者 由此推出 -x 最終得出 Φ_a 的取值范圍是 -2?x?1

點評主元法關鍵在于根據不等式特點合理選擇主元，通常選擇次數較低、系數較為簡單的變量為主元.當不等式中某個變量的范圍已知時，常將該變量作為主元.主元法能有效降低問題維度，適用于多元不等式恒成立問題.

2 數形結合法

面對不等式恒成立問題時，我們能夠將不等式兩邊的表達式分別視作兩個獨立函數，然后精準繪制出它們的圖象.此時，借助圖象間的位置關系，便能直觀地判斷出不等式恒成立所需滿足的條件.而切線法作為數形結合法的特殊情形，是通過深度剖析函數圖象的切線來精準確定不等式恒成立的邊界條件.

例2已知函數 f（x）=xe^x ，若 恒成立，則實數 Δ_a 的最大值為

解析 由題意可得

當 xgt;-1 時， f^′（x）gt;0 ；當 xlt;-1 時，f^′（x）lt;0. 故 f（x） 在 （-∞，-1） 上單調遞減，在 上單調遞增.

若 f（x）=xe^x 的圖象與直線 相切時，設切點為 ，則切線斜率 a=f^′（x₀） ，所以該切線方程為

注意到切線過點 ，則

整理，得 2x₀²-x₀-1=0 ，解得 x₀=1 或

當 x₀=1 時， a=f^′（1）=2e ：

當 1時，a

結合圖1可得實數 a 的取值范圍為 即實數 Ψ_a 的最大值為2e.

例3已知函數

于 x 的不等式 f（x）gt;ax-e（ e是自然對數的底數）在 上恒成立，則 Ψ_a 的取值范圍

解析 f（x）gt;ax-e 在 上恒成立，等價于f（x） 的圖象恒在直線 y=ax-e 的上方.

兩邊平方后得 （x+1）²+y²=1（y?0） ：

所以 的圖象是以 為圓心，半徑為1，并且在 x 軸的下半部分的半圓， y =xlnx（x gt;0），由y'=lnx+1=0，得x=1

當 時， y^′lt;0 ，函數 y=xlnx 在 單調遞減，當 時， y^′gt;0 ，函數 在 單調遞增，當 時，函數 y=xlnx 取得最小值

如圖2所示，畫出函數 f（x） 的圖象

直線 y=ax-e 恒過定點（0，-e），當直線y=ax-e 與 （ xgt;0 ）相切時，設切點P（x₀，x₀lnx₀） ，由 ，可得 k=1+lnx₀ .由1 ，解得 x₀=e ，則切線的斜率為2.

當直線 y=ax-e 與 $y = - ＼ ＼sqrt { - ＼left（ x + 1 ＼right） ^ { 2 } + 1 } ＼ （ ＼$

?0 ）相切時，直線 y=ax-e 與半圓 （x+1）²+y²=1

L （y?0） 相切，由 =1，解得a 由圖2可知， a 的取值范圍是

點評本題的關鍵是正確畫出函數 f（x） 的圖象，并會根據直線與曲線相切求直線的斜率

3轉化為函數的最值問題

轉化為函數最值問題，關鍵是構造合適的函數，利用導數求函數的最值.要注意函數的定義域和單調性對最值的影響

例4 已知正數 a，b 滿足 +1 ，則

解析 由 ，得

設 f（x）=e^x-4x（xgt;0） ，則 f^′（x）=e^x-4. 當 時 f^′（x）gt;0 ，當 0′（x）lt;0 ，所以 f（x） 在 ^{（0，ln4）} 上單調遞減，在 （ln4，+∞） 上單調遞增，則 f（x）_min=f（ln4）=4-8ln2. 故 f（2a）=e^2a-8a ，當且僅當 2a=ln4 ，即 時取等號.

設 ，則 當 時 g^′（x）gt;0 ，當 時 g^′（x）lt;0 ，所 以 g（x） 在 上單調遞增，在 上單調 遞減，所以 故 g（b） （204號 ，當且僅當 時取等號.

又 f（2a）?g（b） ，則 f（2a）=g（b）=4-8ln2 ，此 時 則

4一些特殊方法

4.1 必要性探路

先通過對不等式恒成立的必要條件進行探究，縮小參數的取值范圍，再在此范圍內證明充分性.通常取一些特殊值或對不等式進行初步放縮，得到參數的一個大致范圍，然后在此基礎上進行深入分析[2].

4.2 特殊值法

利用問題中的特殊情況、特殊值或特殊性質來解決不等式恒成立問題.通過對特殊情形的分析，找到一般性的規律或結論，或者直接得出滿足不等式恒成立的條件.

4.3 選項代入驗證

對于一些給定參數取值范圍，判斷不等式是否恒成立的問題，可以在取值范圍內選擇一些具有代表性的值代人不等式進行驗證.如果這些特殊值都滿足不等式恒成立，再結合函數的性質或進一步的推理來確定整個取值范圍是否滿足不等式恒成立.

5 結束語

不等式恒成立問題作為高中數學的重要內容，考查形式多樣，難度較大.本文介紹的主元法、數形結合法、轉化為函數最值問題等方法為解決此類問題提供了多種途徑.此外，破解恒成立問題的策略還有必要性探路、特殊性法、選擇代人驗證等特殊方法等，讀者需根據具體問題選擇恰當的策略來解決，

在教學中，教師應引導學生根據題目特點靈活選擇方法，培養學生的數學思維和創新能力.同時，不等式恒成立問題與其他數學知識聯系緊密，未來可進一步研究其與數列、解析幾何等知識的綜合應用，拓展解題策略，提升學生綜合運用知識的能力.通過不斷探索和總結，幫助學生更好地掌握不等式恒成立問題的解法，提高數學學習效果.

參考文獻：

[1］李鴻昌.一道新高考導數壓軸題的解法探究[J].高中數學教與學，2021（15）：22-23.

[2]李鴻昌.破解一類導數壓軸題的新思路[J].中學數學雜志，2019（05）：31-33.