情境化試題的編制思路與深度思考

在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)試題編制方式大多是對(duì)教材習(xí)題或高考原題的模仿與改進(jìn).但這種方式由于缺乏對(duì)試題內(nèi)在本質(zhì)的深入探究，導(dǎo)致編制出的試題創(chuàng)新性不足，易使命題者陷入盲目模仿高考題的循環(huán)，不利于有效培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維與解決實(shí)際問(wèn)題的能力．為打破這一困境，本文以足球游戲?yàn)槔敿?xì)闡述如何將生活情境融入數(shù)學(xué)試題編制，并對(duì)試題進(jìn)行深度挖掘，旨在探索更科學(xué)、更有效的情境化試題編制方法.

考試題的同源性，更有助于把握數(shù)學(xué)知識(shí)的核心本質(zhì)，提升試題編制的質(zhì)量與針對(duì)性.本文選取人教A版（2019）普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)第七章第1節(jié)課后習(xí)題\"拓廣探索\"作為研究起點(diǎn)．該習(xí)題為：“證明：當(dāng) P（AB）gt;0 時(shí)， P（ABC）=P（A） ·P（B|A）P（C|AB） ，據(jù)此你能發(fā)現(xiàn)計(jì)算 P（A₁A₂...A_n） 的公式嗎？\"這一習(xí)題蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想與方法，為后續(xù)情境化試題的編制提供了堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ).

基于高考評(píng)價(jià)體系的“同境異構(gòu)”情境化試題案例

題實(shí)踐中發(fā)揮著至關(guān)重要的引領(lǐng)作用.該體系強(qiáng)調(diào)高考命題需貫穿“核心價(jià)值金線”，即試題應(yīng)充分體現(xiàn)社會(huì)主義核心價(jià)值觀，落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)；“能力素養(yǎng)銀線\"則著重考查學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力，確保高考能夠有效選拔具備核心素養(yǎng)的優(yōu)秀人才．而情境作為考查的重要載體，有機(jī)融合核心價(jià)值與能力素養(yǎng)，使試題更具現(xiàn)實(shí)性和應(yīng)用性，成為連接\"金線”和\"銀線\"的關(guān)鍵橋梁.

課本知識(shí)溯源

2020年頒布的《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》作為新時(shí)代高考內(nèi)容改革的核心理論依據(jù)與實(shí)踐指南，對(duì)高考的考查內(nèi)容和考查要求進(jìn)行了全面、系統(tǒng)的界定，這明確揭示了教科書(shū)習(xí)題在高考命題過(guò)程中的關(guān)鍵作用.因此，相較于單純模仿高考題，深入鉆研教材習(xí)題.

基于高考評(píng)價(jià)體系“立德樹(shù)人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)\"的核心功能，情境化試題編制需圍繞這一目標(biāo)制定科學(xué)合理的考查目標(biāo).具體而言，應(yīng)依據(jù)必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值四個(gè)考查內(nèi)容維度進(jìn)行價(jià)值引領(lǐng)；通過(guò)創(chuàng)設(shè)多樣化情境，運(yùn)用文字、數(shù)據(jù)、圖表、圖象等多種形式，圍繞特定主題構(gòu)建情境模型，呈現(xiàn)符合基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性要求的解題信息，并設(shè)計(jì)相應(yīng)問(wèn)題任務(wù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生知識(shí)掌握程度、思維能力和核心素養(yǎng)的全面測(cè)評(píng).

1.情境設(shè)置

筆者所在學(xué)校作為傳統(tǒng)的市級(jí)體育強(qiáng)校，女子足球項(xiàng)目成績(jī)卓越，多次在國(guó)家級(jí)比賽中斬獲佳績(jī)．女足隊(duì)員們無(wú)論嚴(yán)寒酷暑，始終堅(jiān)持刻苦訓(xùn)練，其拼搏精神與團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力令人欽佩.基于學(xué)校這一特色資源，筆者期望設(shè)計(jì)一道融合女子足球元素的數(shù)學(xué)試題，將學(xué)生熟悉的校園生活情境與數(shù)學(xué)知識(shí)考查有機(jī)結(jié)合.恰逢高三年級(jí)階段性測(cè)試，選取足球訓(xùn)練間隙的趣味游戲作為試題背景：日常足球訓(xùn)練間隙，女足隊(duì)員常開(kāi)展趣味傳球游戲.該游戲由5名隊(duì)員參與，其中1名為進(jìn)攻者，4名為防守者.4名防守隊(duì)員分別站在正方形的四個(gè)頂點(diǎn)處，彼此間進(jìn)行傳球.當(dāng)任意1名防守隊(duì)員成功將球傳給其他防守隊(duì)員后，需即刻退出游戲，由接球隊(duì)員繼續(xù)主導(dǎo)傳球；若防守隊(duì)員在傳球過(guò)程中，球被進(jìn)攻隊(duì)員觸碰，或出現(xiàn)傳丟球的情況，則判定為“死球”

2.條件創(chuàng)設(shè)

為使試題具有可操作性和數(shù)學(xué)邏輯性，對(duì)游戲情境設(shè)定相關(guān)條件：假設(shè)每一名防守隊(duì)員出現(xiàn)“死球\"的概率均為 ，且每一名防守隊(duì)員接到球的概率相等．這一條件設(shè)定在簡(jiǎn)化問(wèn)題的同時(shí)，也為后續(xù)的概率計(jì)算提供了統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)和基礎(chǔ).

3.有效設(shè)問(wèn)

在上述情境與條件基礎(chǔ)上，設(shè)置具體問(wèn)題：現(xiàn)設(shè)定A， _B，C，D 四名隊(duì)員首先作為防守者，由A隊(duì)員發(fā)球， ε_E 隊(duì)員作為進(jìn)攻隊(duì)員．計(jì)算經(jīng)過(guò)3次傳球后， D 隊(duì)員才持球的概率．此問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的概率知識(shí)，分析和解決實(shí)際情境中的問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)相應(yīng)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力.

4.問(wèn)題求解

在中學(xué)階段，只需在理解問(wèn)題的基礎(chǔ)上，運(yùn)用基礎(chǔ)的概率方法，便能解決這道概率應(yīng)用題，得出該問(wèn)題的一個(gè)封閉答案．假設(shè)經(jīng)過(guò)3次傳球后， D 隊(duì)員才持球?yàn)槭录嗀，則 P（A）=

問(wèn)題的深度挖掘 一數(shù)學(xué)建模 問(wèn)題的構(gòu)建

盡管上述試題已經(jīng)得到解答，但其背景中仍有許多值得深入探討的問(wèn)題．例如，為何選定4名防守隊(duì)員，而不是更多或更少的隊(duì)員？在現(xiàn)實(shí)情況下，隊(duì)員間足球技術(shù)的差異會(huì)導(dǎo)致“死球\"的概率不同，而且如果防守隊(duì)員長(zhǎng)時(shí)間無(wú)法搶到球，可能會(huì)降低他們的參與積極性．此外，設(shè)計(jì)這類試題對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)工作有何具體意義？鑒于這些思考，有必要進(jìn)一步增加試題的開(kāi)放性，以充分激發(fā)學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中的主動(dòng)性和決策能力.

1.情境創(chuàng)設(shè)

在平時(shí)枯燥的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練過(guò)程中，為有效激發(fā)學(xué)員更深層次的參與熱情，教練往往會(huì)安排一些游戲活動(dòng)，讓學(xué)員在緊張的訓(xùn)練之余能夠得以放松.現(xiàn)根據(jù)相關(guān)情況，給出合理性建議，并形成書(shū)面報(bào)告供教練參考.

2.條件創(chuàng)設(shè)

在日常的足球訓(xùn)練中，女足隊(duì)員們常利用休息時(shí)間參與足球趣味游戲，以提高團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和踢球技能我們對(duì)其中一款游戲進(jìn)行了詳細(xì)研究，其規(guī)則如下：共有 _n+1 名隊(duì)員（分別標(biāo)記為 參與游戲，其中1名為進(jìn)攻隊(duì)員， n 名為防守隊(duì)員．防守隊(duì)員圍成一個(gè)圓圈，進(jìn)攻隊(duì)員在圓圈內(nèi)任意位置發(fā)起進(jìn)攻．每當(dāng)任意1名防守隊(duì)員成功傳球后，她將立刻退出游戲，剩余隊(duì)員繼續(xù)傳球.若最后只剩1名防守隊(duì)員，或者在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)防守方達(dá)到預(yù)定的傳球次數(shù)且未發(fā)生“死球”，則防守方獲勝，游戲結(jié)束；反之，若防守隊(duì)員在傳球過(guò)程中出現(xiàn)“死球”則進(jìn)攻方獲勝若防守方獲勝，則雙方保持原有身份，繼續(xù)下一輪游戲；若進(jìn)攻方獲勝，則防守隊(duì)員與進(jìn)攻隊(duì)員交換身份，開(kāi)始新一輪游戲.

3.有效設(shè)問(wèn)

為確保游戲的公平性和可行性，提出以下問(wèn)題任務(wù)：請(qǐng)結(jié)合每位隊(duì)員的“死球”概率，建立合理的評(píng)價(jià)模型，對(duì)該游戲的可行性進(jìn)行評(píng)估．此問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法，綜合考慮多種因素，解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力.

4.問(wèn)題求解

要解決這個(gè)問(wèn)題，我們首先需思考：防守隊(duì)員成功將球傳出去后，由誰(shuí)來(lái)接球？如果進(jìn)攻隊(duì)員靜止地站在圓圈內(nèi)，比如站在圓圈的中心，此時(shí)防守隊(duì)員將球傳給身邊隊(duì)員的成功率是最高的．這既保證了球能夠成功傳出，同時(shí)在隊(duì)員數(shù)量減少的情況下，防守方獲勝的概率也會(huì)增大.然而，考慮到進(jìn)攻隊(duì)員可以出現(xiàn)在圓圈內(nèi)的任意位置，此時(shí)制定者可以做一個(gè)合理假設(shè)，即每一名隊(duì)員接到球的可能性相同.這樣做既能簡(jiǎn)化問(wèn)題，又能較好地還原實(shí)際情境．實(shí)際上，在數(shù)學(xué)建模中，適當(dāng)做出假設(shè)是學(xué)生處理建模問(wèn)題的一項(xiàng)重要能力.

進(jìn)一步思考，在實(shí)際訓(xùn)練中，每一名隊(duì)員的傳球技巧存在差異，這顯然會(huì)對(duì)“死球”發(fā)生的概率產(chǎn)生影響，也就是說(shuō)，每一名隊(duì)員的“死球\"概率不同.由此，一個(gè)新的問(wèn)題出現(xiàn)了：如何合理選取防守隊(duì)員的“死球\"概率呢？在這種情況下，制定者需要利用網(wǎng)絡(luò)資源，從權(quán)威數(shù)據(jù)源中挑選合適的數(shù)據(jù).在挑選數(shù)據(jù)時(shí)，為了更貼合實(shí)際情況，建議制定者根據(jù)正態(tài)分布原理進(jìn)行選擇．在解決了“死球\"概率和成功接球概率的問(wèn)題之后，接下來(lái)需要思考的是：建立怎樣的模型來(lái)判斷游戲是否可行？

我們?cè)诖颂峁┮环N思路供讀者參考．足球游戲通常在訓(xùn)練間隙進(jìn)行，游戲時(shí)間有限.從教練的角度來(lái)看，希望既能讓隊(duì)員放松，又能較好地節(jié)省隊(duì)員體力；從隊(duì)員的角度出發(fā)，希望在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)人員多次輪換，避免某個(gè)隊(duì)員一直擔(dān)任防守隊(duì)員，以增強(qiáng)游戲的趣味性．由此，可以得出整個(gè)數(shù)學(xué)建模過(guò)程：

（1）模型假設(shè)

① 由于進(jìn)攻隊(duì)員在圓圈內(nèi)的位置是隨機(jī)的，因此假設(shè)每一名防守隊(duì)員的接球概率相等.② 由于每一名隊(duì)員的傳球能力不同，因此假設(shè)每一名防守隊(duì)員的“死球\"概率不同.

（2）符號(hào)說(shuō)明 （3）模型建立與求解

為避免防守隊(duì)員故意拖延時(shí)間導(dǎo)致游戲不公平，可增設(shè)游戲規(guī)則：在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，防守隊(duì)員必須成功完成至少 k₀ 次傳球，否則防守失敗，進(jìn)攻方獲勝.

在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，設(shè)防守方可傳球 k（k₀?k?n-1 ）次，記防守方傳球 k 次后獲勝的概率為 P_k ，防守方獲勝的概率為 P（A） ，則：

P_i1）?（1-P_i2）?（1-P_i3）…?（1-P_ik）=

由此可得：

（其中， （i₁，i₂，…，i_k） 為 1，2，…，n 的一個(gè) ?k 元排列）

參考OPTA數(shù)據(jù)公司公布的歐洲專業(yè)頂尖球員失球率數(shù)據(jù)（一般在20%～30% ，結(jié)合球隊(duì)球員數(shù)量（如11名球員）及正態(tài)分布特性（如68-95-99.7規(guī)則），選取近似服從正態(tài)分布的球員數(shù)據(jù)，利用MATLAB編程計(jì)算得出 P（A）=0.006.

（4）模型的結(jié)論

由于防守方獲勝的概率 P（A）= 0.006，趨近于0，表明在一輪游戲中，防守方獲勝屬于小概率事件，即防守隊(duì)員和進(jìn)攻隊(duì)員在有限時(shí)間內(nèi)進(jìn)行身份輪換近乎必然．這一結(jié)果能夠較好地滿足教練節(jié)省隊(duì)員體力、促進(jìn)隊(duì)員放松以及隊(duì)員希望增加輪換、提升游戲趣味性的需求，從而驗(yàn)證了該游戲設(shè)計(jì)的可行性.

情境化試題的編制思路與深度思考

1.情境化試題的編制思路

教育部在《教育信息化“十三五”規(guī)劃》中明確倡導(dǎo)推動(dòng)高考改革，強(qiáng)調(diào)使用貼近實(shí)際生活和具體情境的試題，以全面考查學(xué)生綜合素質(zhì)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.隨著教育改革的持續(xù)推進(jìn)，提升教師的命題能力已成為教師專業(yè)發(fā)展的必然趨勢(shì).高考情境化試題對(duì)教師的教學(xué)能力和學(xué)科素養(yǎng)提出了更高要求，教師不僅要熟練傳授學(xué)科知識(shí)，更要注重培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新思維．在日常試題編制過(guò)程中，教師可遵循以下流程： ① 深入分析教材知識(shí)，選取具有代表性和啟發(fā)性的知識(shí)點(diǎn)作為命題基礎(chǔ)； ② 結(jié)合學(xué)生生活實(shí)際和社會(huì)熱點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)、真實(shí)的問(wèn)題情境；③ 合理設(shè)置條件，確保情境的邏輯性和問(wèn)題的可解性； ④ 有效設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題；⑤ 通過(guò)“同境異構(gòu)\"的方式，對(duì)試題進(jìn)行拓展和優(yōu)化，豐富試題的考查維度；⑥ 對(duì)試題進(jìn)行深度挖掘，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和綜合素養(yǎng).

2.情境化試題的深度思考

情境化試題大多以數(shù)學(xué)建模為核心，其過(guò)程是將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求解.這一過(guò)程的關(guān)鍵在于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象理解、參數(shù)確定、模型選擇和數(shù)學(xué)表達(dá).在創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題時(shí)，需要著重關(guān)注以下幾個(gè)方面.

（1）精確的數(shù)學(xué)表達(dá)：運(yùn)用準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述實(shí)際問(wèn)題，尤其是在模型建立過(guò)程中，對(duì)關(guān)鍵信息和條件的表述必須清晰、嚴(yán)謹(jǐn)，避免產(chǎn)生歧義，確保學(xué)生能夠準(zhǔn)確理解問(wèn)題本質(zhì)，為模型構(gòu)建奠定基礎(chǔ)

（2）科學(xué)的參數(shù)設(shè)置：根據(jù)學(xué)生的知識(shí)水平和認(rèn)知能力，合理設(shè)置和調(diào)整模型參數(shù).對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，可通過(guò)降維、簡(jiǎn)化等方式，降低問(wèn)題難度，使學(xué)生能夠在現(xiàn)有知識(shí)框架內(nèi)解決問(wèn)題，同時(shí)又能有效考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和建模能力.

（3）多元問(wèn)題的設(shè)計(jì)：基于同一問(wèn)題背景，從不同維度設(shè)計(jì)問(wèn)題，如評(píng)價(jià)型問(wèn)題、優(yōu)化型問(wèn)題、預(yù)測(cè)型問(wèn)題等.通過(guò)多樣化的問(wèn)題設(shè)計(jì)，培養(yǎng)學(xué)生的多角度思考能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

本文以足球游戲?yàn)榘咐接懥饲榫郴囶}的編制思路，并進(jìn)行了深度思考，為數(shù)學(xué)教學(xué)中情境化試題的編制提供了切實(shí)可行的方法與策略，這不僅有助于提升教師的命題能力，更能夠有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.