HPM視角下三角函數概念的教學實踐與思考

引言

自新一輪課程改革以來，課標的修訂、教材的新編，使三角函數的概念編寫發生了較大變化.不同版本教材先后使用過“任意角終邊上任意一點的坐標\"“任意角終邊與單位圓的交點坐標\"來定義三角函數.教材對三角函數定義方式的選擇體現了怎樣的教材編寫理念？三角函數不同定義方式的產生又有怎樣的歷史原因？對于使用過不同版本教材進行學習或教學的教師來說，存在較多困惑，本文旨在探討HPM視角下三角函數概念的教學，通過追溯三角函數概念的歷史發展，分析不同歷史時期數學家對三角函數的理解和應用，構建更加符合學生認知規律的教學路徑，以期促進學生對三角函數概念的理解.

史海鉤沉

1.幾何階段希臘天文學家希帕科斯（約前180—前125）是三角學最早的創建者之一.他將球面三角方法引用于平面三角形，在制作弦表時，其使用的“正弦”是指“圓弧所對弦的弦長”希臘天文學家托勒密（約100—178）繼承了梅內勞斯等人的研究成果，進一步豐富了弦表．他使用的\"正弦”同樣是“圓弧所對弦的弦長”，不過將圓的半徑從 R=57.18 改成了 R=60.6 世紀，印度數學家阿耶波多在制作弦表時，其使用的“正弦\"是指“圓弧所對弦的半弦長”.德國數學家雷格蒙塔努斯（1436—1476）采用了印度人的“正弦\"定義，即“圓弧所對弦的半弦長”并首次對三角學做了完整、獨立的闡述，使三角學正式從天文學中獨立出來[1]24.8世紀，中國也有了正切表和正弦表．9世紀，阿拉伯天文學家阿爾·巴塔尼創立了系統的三角學術語，包括三角函數的許多重要概念，比如正弦、余弦、正切、余切等[2].在這一階段，無論是古希臘、印度，還是阿拉伯、中國，三角函數表仍是在給定半徑長時弧與弦的對應關系，仍停留在表格形式，角的范圍也只限制在[0^°，180^°]^[3].

2.代數階段[1]24

16世紀，哥白尼的學生雷提庫斯（1514—1576）最先給出角的正弦概念，把弧的正弦改成了銳角的正弦.三角形就形成了三角關系的基本結構，相應的圓成了從屬.他把正弦、余弦、正切等定義成直角三角形的邊長之比，從而使平面三角學從球面三角學中獨立出來，至此三角學真正形成了.在這一階段，三角學從天文學中分離出來，成為數學的一個獨立分支.值得注意的是，這時所討論的“三角函數”僅限于銳角三角函數，而且研究銳角三角函數的目的在于解三角形和三角計算，屬于常量數學的主要內容.

3.解析階段[4]

18世紀初，英國數學家牛頓最早將arcsinx和sinx展開為冪級數： ．同時期，歐拉用三角級數表示了函數．變量數學逐漸成為主要內容.

1748年，歐拉在其著作《無窮分析引論》中提出三角函數是對應的函數線與圓半徑的比值（這是用角的終邊上任意一點的坐標來定義三角函數的）.此后，歐拉令圓的半徑等于1，用角的終邊與單位圓的交點坐標重新定義三角函數，使三角研究大為簡化.歐拉的這一理論革新，使三角學從靜態研究三角形解法的狹隘范疇中解放出來，轉而用于反映現實世界中一切可用三角函數描述的運動或變化過程，推動三角學發展成為一門具有現代特征的學科．在這一階段，三角學從常量數學轉變為變量數學，逐步建立起了解析理論體系.

4.史料評析

從三角函數概念的歷史發展來看，第一階段聚焦于正弦概念.其產生與發展主要服務于解決天文學中的測量問題，定義中的“弧長\"關聯球面弧長，“弦長\"作為測量目標，研究范疇集中于球面三角學.到了第二階段，正弦、余弦、正切等概念相繼出現，主要用于解決平面三角形中邊角的計算問題.這一時期，三角學突破了“圓\"的限制，轉向平面三角形領域，推動平面三角學快速發展.在第三階段，三角函數概念逐漸完善.其發展一方面旨在刻畫現實世界中運動與變化的過程，另一方面也是為了適應數學內部微積分等理論發展的需求．顯然，三個階段的三角函數的研究對象各有側重：第一階段以球面三角形為研究主體；第二階段主要研究平面三角形，前兩個階段角的研究范圍存在較大局限性；第三階段則著重研究現實中的周期現象．由此可見，任意角三角函數并非簡單由銳角三角函數推廣而來，二者產生的背景不同，所呈現的性質也存在差異．換言之，銳角三角函數與任意角三角函數源于不同的問題背景，當二者相遇，弧度制應運而生，促使兩部分內容融合為一個有機整體.基于歷史發展脈絡，三角函數概念的學習應當突破銳角三角函數的局限，以周期現象為實際背景，運用解析幾何的研究方法，構建“創新\"的三角函數模型.

融史于教

1.復習回顧，情境創設

問題1初中角的概念與高中任意角的概念的區別有哪些？

生1：角的范圍不同.初中研究360^° 以內的角，高中研究實數范圍內的角.

生2：研究視角不同.初中角的概念是靜態角，高中任意角的概念是動態角.

問題2如圖1是我國古代生產生活中的水車，水車在運水的過程中，做圓周運動.將其抽象成圖2，提出問題：已知水車的中心0離水面的高度為 h ，它的半徑為 r ，觀測運水管P從水平位置的點A出發，逆時針方向做勻速轉動，旋轉角記為0.

（1）當0= 時，求運水管P到A水面的高度 H （2）根據（1）猜想運水管到水面的高度 H 與旋轉角0的函數關系式生3：（1）當 時， 中當 時， （2）猜想 H= h+rsin0.

設計意圖問題1旨在深化學生對三角函數研究視角從靜態到動態轉變的理解；問題2通過重構數學史上任意角三角函數的發生發展過程，以我國古代水車文化為背景，創新性地提出與圓周運動相關的實際問題.這一設計，一方面有助于培養學生運用數學知識解決實際問題的能力，另一方面也為任意角三角函數概念的學習奠定基礎.

2.推理探究，概念生成

師：這樣的猜想合理嗎？在運水管P逆時針運動的過程中，∠AOP從銳角推廣到了任意角 θ ，如何理解這里的任意角0的正弦值sino？

活動1探究運水管P在不同位置時的函數解析式，與猜想的結果進行比較，解釋sino的含義.

活動結果當P在水平位置 OA 上方時， H=h+MP ，與 H=h+rsinθ 作比較，需要 rsinθ=MP 即， 時，猜想成立；當 P 在水平位置 OA 下方時， H= h-MP ，與 H=h+rsinθ 作比較，需要rsinθ=-MP ，即 時，猜想成立．根據上述推理， sinθ 出現了兩種表達式：sin0=±MP

問題3數學追求表達的統一與簡潔，那么能否用一個量代替 ±MP 使sinθ有統一的表示？

生4：通過觀察，我發現MP和-MP的值剛好是圓心為 o ，半徑為r的圓上動點P的縱坐標！因此，可以建立直角坐標系，用點P的縱坐標y表示 ±MP 這樣sin0就能統一表示為 車

師：以 o 為原點， OA 為 Φ_x 軸，建立平面直角坐標系（如圖3所示），將角 θ 放入直角坐標系中（角0的始邊與 x 軸正半軸重合），以原點為圓心， r 為半徑作圓，與角0的終邊交于點 P（x，y） ，則

設計意圖活動1與問題3構成一個有機整體．首先，通過活動組織學生推導H的表達式，引導學生在將其與猜想的表達式進行比較時，發現任意角的正弦值存在正數與負數，從而形成認知沖突；其次，通過問題3促使學生思考如何“創新”合適的代數量統一sin0的表達式，讓學生初步感受三角函數與動點坐標的關系，進而自然且富有創造性地引入平面直角坐標系，生成任意角三角函數的定義.

問題4初中銳角三角函數的定義與該定義相符合嗎？

生5：符合.從點 P 向坐標軸作垂線構造直角三角形，此時銳角三角函數的定義與上述定義內涵一致.

師：類比任意角的正弦函數的定義，說說如何定義任意角的余弦函數和正切函數

生

師：很好！這樣我們就從水車轉動問題出發，借助平面直角坐標系中任意角的終邊與圓的交點的坐標關系，定義了任意角的三角函數.這個定義就是任意角三角函數的終邊定義.

設計意圖問題4意在引導學生體會數學概念發展的繼承性，即保持與原有概念相統一的特點，并在此基礎上不斷拓展深化．思考環節的設置，重點在于引導學生開展類比學習，推廣已有知識，從而更深入地理解任意角三角函數的概念.

問題5古希臘天文學家托勒密編制了從 0.5^° 到180間隔 0.5^° 的完整的弦表（弦長的表格），相當于計算出了從 0.25^° 到 90^° 的所有角的正弦值，那么，請思考：如何應用任意角三角函數的定義能更快捷地制作弦表？

生7：取圓的半徑 r=1 ，就可以快速制作出弦表.

師：很好！當半徑 _.r=1 時，正弦值就等于角的終邊與單位圓交點的縱坐標，這個值就是弦表中需要的半弦長

師：顯然，取半徑 _r=1 更便于三角函數的計算與研究，點的坐標與點運動后的弧長也都具有了更豐富的幾何意義．不妨將終邊定義發展為更為簡潔的單位圓定義.

三角函數的定義：設0是一個任意角， θ∈R ，它的終邊OP與單位圓相交于點 P（x，y） 那么， y 叫做θ的正弦函數，記作 sinθ ，即 γ=sinθ x 叫做e的余弦函數，記作 cosθ ，即 x=cosθ 叫做0的正切函數，記作 tanθ ，即 （x≠0） ）

設計意圖問題5借助數學史中正弦函數值的應用價值，引導學生思考并探索終邊定義的簡化方法，自然推導出任意角三角函數的單位圓定義．通過這一過程，幫助學生理解該定義的應用價值，初步感悟任意角三角函數值的幾何意義.

活動2在運用函數概念理解三角函數概念的基礎上，在弧度制下完成三角函數定義域的表格填寫任務，并將三角函數在各個象限內的值的符號，填入對應圖示的括號之中.

設計意圖引導學生從函數概念三要素的角度理解三角函數概念，明確三角函數的定義域；通過實際應用三角函數定義，培養學生初步運用能力，使其能夠借助數形結合思想，掌握三角函數值在各個象限的符號規律，從而深化對三角函數概念的理解與認識.

3.概念應用，深化理解

例1結合三角函數單位圓定義，□答下列三角函數值.（1）sin450^°;（2）cos3π （2 例2 （1）求 的正弦、余弦和正切值;（2）已知角 α 的終邊經過點 P（-3 ，-4），求角α的正弦、余弦和正切值.

設計意圖通過例1深化學生對任意角三角函數幾何意義的理解；通過例2深化學生對三角函數單位圓定義與終邊定義之間關系的認知，借助相似三角形實現兩種定義的相互轉化，從而使學生深入理解兩種定義的特點與優勢.

例3判斷下列三角函數值的符號（不用求出具體值）.

（3）tan556o.

例4設 sinθlt;0 且tan0gt;0，確定0是第幾象限的角.

設計意圖通過例3、例4，引導學生掌握正弦函數、余弦函數、正切函數的定義域，理解函數值在各個象限的符號變化規律，從而進一步深化對三角函數概念的理解，體會數形結合思想在三角函數學習中的應用.

思考

教學通過重構歷史順序、創設問題情境、凸顯單位圓的幾何意義，引導學生經歷三角函數概念發生發展的全過程，使其在歷史與現實的交匯中體會數學知識的生成邏輯．在教學過程中，首先運用重構式教學法，將歷史上三角函數概念的發展過程“圓弧所對弦長 $$ 圓弧所對半弦長 $$ 角度所對半弦長 $$ 直角三角形邊的比值一終邊定義 $$ 單位圓定義\"重構為“終邊定義 $$ 單位圓定義”，以數學建模為主導，帶領學生經歷三角函數概念發生發展的全過程；其次采用順應式教學法，對歷史上的水車問題進行基于教學需求的創設，從特殊到一般，立足銳角三角函數與任意角三角函數概念的關聯，引導學生發現并提出相關問題；最后運用復制式教學法，借助歷史上托勒密編制弦表的情境，設計弦表制作問題，引導學生簡化三角函數概念，進而引出單位圓定義．由此可見，融入數學史的教學，既能凸顯知識的生成過程，又能培養學生的批判性思維，還能發揮數學文化的育人價值，是數學學科德育的重要途徑.

參考文獻：

[1］陳曦，張海玲，王尚志.HPM視角下“任意角三角函數的概念\"教學研究[J].首都師范大學學報（自然科學版），2014（12）：23-27.

[2］樊靜妮.正弦函數歷史研究及其在HPM中的應用[D].西北大學，2013.

[3］江灼豪，何小亞.弧度制發展的歷史溯源[J].數學通報，2016，55（7）：14-17.

[4]汪曉勤，韓祥臨.中學數學中的數學史[M].北京：科學出版社，2002.