基于改進蝴蝶優化算法的土壤水動力參數反演

關鍵詞：蝴蝶優化算法；隨機游走算法；土壤水動力參數；目標函數中圖分類號：S152.7 文獻標識碼：A文章編號：0439-8114（2025）05-0063-07DOI：10.14088/j.cnki.issn0439-8114.2025.05.010開放科學（資源服務）標識碼（OSID）

Inversion of soil hydrodynamic parameters based on improved butterfly optimization algorithm

LIUXue，LIANGSu-yu，ZHUYan-jie，WANGHuai-yu

HeilongjiangIstituteofEcologHeilongjangKeyLaboratoryofForestEcologndForestryngineering，Hrbin50in

Abstract：Toefectivelyobtaintheparameters toreflecttheprocessofwatermovementinsoil，ahydrodynamicparameterinvesion model wasproposedbasedonanimprovdbuterflyoptimizationalgorithm（IBOA）.Buildinguponthetheoreticalframeworkofsoilwatermovementquations，firstly，thebuterflyoptimizationalgoritm（BOA）wasusedtofindtheoptimalsolutionthroughthecombinationof globalsearchandlocalsearch，andtheswitchingprobabilityintheBOAwasobtainedthroughtherandomwalkalgorithm，o astoimprovethesituationthatthealgorithmwaseasytofallintothelocaloptimum.Secondly，theimprovedalgorithmasaplidto thedataundertheconditionsofusingHYDRUS-1Dtosimulatetheunifordistributionofunsaturatedsoilmoistureintheinitialwater content.Atlast，theappropriateobjectivefunctionasselectedandtheimprovedbuterflyotimizationalgorithmwasusedfornver sion.Theresultsshowedthattheaveragerelativeerorofteparameterinversionvalueoftheimprovebuterflyoptimizationalgoritm was 0.22% 2 3.60% ，which could better invert soilhydrodynamic parameters.The improved butterflyoptimization algorithm could ffectively improve the accuracy of the estimated parameters and obtain high-quality global optimal solutions.

Keywords：butterflyoptimizationalgorithm；randomwalk algorithm；soilhydrodynamicparameters；objectivefunction

以土壤吸水力和導水率函數為代表的土壤水動力特性決定了土壤中水分的運動過程。其評價對農業土壤的水分調控與高效利用具有重要意義，對評價土壤中化學污染物的動態及地下水污染情況也至關重要。土壤水動力函數可以用Gardner模型、Brooks-Corey模型等數學表達式來描述[1]。近年來，

Gardner-Russo模型和VanGenuchten模型等也被研究人員大量使用。Feng等2使用非飽和土一維固結理論和VanGenuchten模型分析了機場工程地基填筑階段非飽和土地基的沉降規律和應力變化規律。Fiori等3使用Gardner-Russo模型模擬水分保留曲線，并應用于含水層回灌入滲池設計中。但這些模型需要使用大量的數據，而這些數據的獲得需要投入眾多人員在田間或室內采集，以測定出土壤水動力性質。除人工采集易出現偏差外，模型的非線性特性也制約著試驗的準確性。基于此，使用間接方法測定土壤水動力參數成為研究的熱點內容。隨著遺傳算法的不斷完善，許多學者提出了基于優化算法、遺傳算法的土壤水分特征曲線模型參數反演方法。Lassabatere等4開發了BEST的土壤動力參數估計方法，可以從顆粒分布分析中估計形狀參數，從零壓頭入滲試驗中估計尺度等參數。楊坤[5提出了基于遺傳算法的土壤水分運動參數模型，該模型使用優化計算模型，并在此基礎上對模型的可行性進行了驗證。郭向紅等提出了基于較強局部優化能力的Levenberg-Marquardt算法來反演土壤水動力參數的混合遺傳算法，提高了傳統遺傳算法的收斂速度。馬亮采用隨機粒子群算法構建了VanGe-nuchten模型參數的反演模型。Drisya等[8]開發了使用遺傳算法的自動校準框架，該遺傳算法具有啟發式搜索過程的優化能力。Yang等結合粒子群優化算法（PSO）和InfoWorks集成集水區建模（ICM）軟件構建求解目標函數和水力過程的耦合優化-仿真模型。崔凱興等[設計了基于PSO的無人水下航行器水動力參數辨識模型，該模型可以提高無人水下航行器在小樣本且存在噪聲干擾情況下水動力參數辨識的準確性。

國內外研究人員利用生物系統的關鍵特征開發出各種元啟發式算法并用于各種問題優化，然而傳統的優化算法并不能在非線性和多模態的問題中獲得令人滿意的結果。在工程中，許多設計應用程序需要在高度復雜的約束下短時間內獲得最優解。這使得國內外眾多研究人員開始研究類似人工蟻群、螢火蟲等元啟發式算法，用以解決全局優化問題。Rizk-Allah等[1]提出新的混合ACO-FA算法，解決了求解無約束優化問題。Elloumi等12]利用人工蟻群算法優化粒子群算法，利用混合算法解決維數和搜索空間增加時模型的求解能力。陳愷等3在圖像分割中利用螢火蟲算法解決多自標和復雜圖像等問題。相較于傳統技術，元啟發算法在解決非凸優化問題上表現優異。但如帝王蝴蝶算法和粒子群算法，在尋優過程中會隨著選擇、擾動等原因將采樣限定在已知的感興趣區域中。基于此，Arora等[4]提出蝴蝶優化算法（Butterflyoptimization algorithm，BOA），這是一種基于蝴蝶覓食行為的元啟發算法，在復雜函數尋優問題中有著良好的表現。該算法對參數較少、原理較為簡單并且具有多峰問題的參數如土壤水動力參數，擁有強大的處理能力。針對以上問題，本研究提出基于改進蝴蝶優化算法（IBOA）的土壤水動力參數反演模型，用于非飽和土壤水分運動參數的求解。

1 背景知識

1.1 土壤水分運動方程

式（1）所示為達西定律。

式中，在一維非飽和土壤條件下， q（h） 為土壤水分通量， K（h） 為非飽和土壤導水率， h 為土壤吸水力， z 為空間坐標值， ? 為流動方向與垂直軸之間的夾角（垂直流動 ?=0^° ，水平流動 ?=90^° ）。

在土壤質地均勻、各項屬性相同的剛性多孔介質中，一維垂直入滲問題可用Richards方程計算初始含水率均勻分布，算式如下。

式中， θ 為土壤體積含水率， T 為時間， θ₀ 為初始含水率， θ_s 為土壤飽和含水率。

在求解土壤含水率和土壤基質勢之間的關系時，使用Brooks-Corey求解方程來分析模型。

式中， S_e 為有效飽和度， θ_r 為土壤滯留含水率，n 為形狀系數， h_d 為進氣吸力。

根據Mualem模型[15]可以得出式（1）中的非飽和土壤導水率 K（h） 。

式中， K_s 表示飽和導水率； Ω_m 表示模型參數，其與孔隙分布有關。

1.2 目標函數

提高反演結果的精確度最有效的方法是選取合適的目標函數[16]。對于參數反演的非惟一性問題，也可以通過目標函數來解決。因此，目標函數對于參數反演模型具有重要意義。本研究中構建目標函數的重要參數為累積入滲量、含水率、時間及濕潤鋒深度的誤差。分別選取累積入滲量、濕潤鋒深度在模擬時間10等分、土壤含水率在最終時刻10個深度上的試驗數據，計算出相應的人滲時間，并依據以上參數構建目標函數。本研究采取目標函數1和目標函數2的代數方法進行反演。

目標函數1：

式中， Σ_o 代表目標函數值， I_1i 代表累計人滲量的近似值， I_i 表示由HYDRUS-1D軟件模擬得到的累積入滲量， T_ci 表示入滲時間的近似解， T_i 表示 HY-DRUS-1D軟件模擬得到的入滲時間。

目標函數2：

mino=

式中， θ_1i 為土壤含水率的近似解， θ_i 為HYDRUS-1D軟件模擬得到的土壤含水率。

1.3 蝴蝶優化算法

蝴蝶不僅在定位香味來源的能力上較為優異，還可以區分出不同香味的強度等級。BOA是使用蝴蝶進行搜索代理的優化算法，在全局搜索階段，蝴蝶可以根據不同的香味生成不同的適宜度，而適宜度會隨著蝴蝶位置的不斷變化而發生變化。香味在一定范圍內傳播，一只蝴蝶飛向其他蝴蝶，是由于它感受到其他蝴蝶的香味，在一定范圍內的蝴蝶都會由于這類香味信息分享而感受到，從而形成龐大的信息網絡。但是脫離一定范圍，蝴蝶無法嗅到周圍的香味，便會開始隨機飛行，這個階段在算法中被稱為局部搜索。為建立搜索行為的數學模型，將上述蝴蝶的特征理想化為以下3點[4]：所有的蝴蝶都具有發出香味的能力，蝴蝶可通過香味而相互吸引；所有蝴蝶都會有兩種飛行狀態，一是隨機飛行，二是朝著發出香味強度最大的蝴蝶飛行；蝴蝶發出香味的強度可以依據目標函數計算。

蝴蝶的刺激強度 （I） 與編碼的目標函數 [f（x） 」相關聯。但是，目標函數是相對的，它會被其他蝴蝶感知。根據史蒂芬冪律，使用感知形態區分氣味和其他模態。當I較低的蝴蝶向I較高的蝴蝶移動時 ，f （ρ_x） 的增長速度比1快。因此，應允許 f（x） 隨吸收程度的變化而變化，其是通過功率指數參數來實現的。利用這些概念，在BOA中，蝴蝶個體產生香味作為刺激物理強度的函數如下。

f（x）=cI^a

式中， f（x） 表示其他蝴蝶對香味的感知程度；

∣c∣ 表示感官模態；1表示刺激強度； Ψ_a 表示依賴于模態的冪指數，代表不同程度的吸收。參數 a 是依賴于形態（香味）的冪指數，其取值表示BOA算法中蝴蝶散發香味的情況。有2種極端情況： a=1 ，最少會有1只蝴蝶持續散發香味，且一定會被其他蝴蝶在任何地方所感知，因此可以很容易達到單個（通常是全局）最優； a=0 ，則表示所有蝴蝶都無法感知其他蝴蝶所發出的香味。參數 ∣c∣ 是決定收斂速度以及BOA算法搜索狀態的關鍵參數。理想情況下 c∈[0，∞） 但實際是由待優化系統的特性決定的。由此可知， a 和 ∣c∣ 的取值對算法的收斂速度影響很大。

在算法每次執行若干次迭代中，算法會評估每個迭代階段蝴蝶所在解空間中的最新位置，進而計算出當前階段的適應度。根據式（7）解出各個位置上蝴蝶對香味的感知度。

BOA算法可分為兩個階段，分別是全局搜索階段和局部搜索階段。首先，蝴蝶在全局搜索階段向最合適的蝴蝶靠近，可以用式（8）表示。

x_i^t+1=x_i^t+（r²×g^*-x_i^t）×f_i

式中， x_i^t，x_i^t+1 分別表示迭代次數為 t，t+1 的第 i 只蝴蝶的解向量； g^* 表示在當前迭代的所有解中找到的當前最佳解 ;f_i 表示第 i 只蝴蝶的香味； r 為[0，1]中的隨機數。

局部搜索可以表示為：

式中， x_j^t 和 x_k^t 分別表示第 j 只和第 k 只蝴蝶的解向量。

在搜索算法中，進行全局搜索或是局部搜索由切換概率來決定，因此，如何選取最優切換概率對于搜索算法極為重要。試驗中的停止條件由CPU最大時間或是迭代次數達到設定值決定，當結束迭代，視為算法得到目標函數的最優解。

2 數據

使用HYDRUS-1D軟件[17-19]模擬在不同初始和邊界條件下的一維土壤水分運動過程。具體做法是：10等分模擬時間，模擬出非飽和土壤水分在初始含水率均勻分布、定水頭條件下的一維垂直非飽和土壤水分入滲過程，并基于HYDRUS-1D軟件計算出不同時間的累積入滲量、人滲率、濕潤鋒深度和土壤含水率等參數，基于生成的數據選取合適的目標函數，并利用改進優化算法反演土壤水動力參數。其數學模型如式（10）所示。

土壤水動力方程采用VanGenuchten模型：

式中， α 表示與土壤平均孔隙半徑有關的系數；

1表示與孔隙連通性有關的參數，在多數土壤中取值為0.5。

HYDRUS-1D軟件自帶的美國農業部分類方案中11個土壤結構2的土壤水動力參數如表1所示。

3 改進蝴蝶優化算法

3.1 切換概率對BOA算法的影響

在控制蝴蝶全局搜索范圍和局部搜索精度的算法中，切換概率 （p） 起著至關重要的作用， p 的大小決定蝴蝶是進行全局搜索還是局部搜索。當 p 較大時，蝴蝶將開始全局搜索，尋找全局最優解，可獲得快速的收斂結果，但由于搜索范圍較大，精度較低。當 p 較小時，蝴蝶將開始局部搜索，尋找局部最優解，可獲得較高精度，由于每只蝴蝶周圍的環境不同，會引發大量的計算而延長搜索時間，因此，切換概率對于蝴蝶優化算法的性能極為重要。

隨切換概率取值的減小BOA的求解速度有所提升，作為全局搜索與局部搜索的重要參數，選取適當的切換概率或對其進行優化，對提升BOA性能具有重要意義。 p 的設定對算法性能影響很大，將 p 設置為固定值時，搜索到最優解的精度和速度都有一定的欠缺，使用線性遞減策略對參數 p 進行改進也會容易使算法陷入局部最優。為了更好地實現全局探索與局部開發的平衡，本研究提出改進的非線性自適應切換概率 （p_non） 方法，其計算式如下。

式中， Φ_t 為當前迭代次數； N_-iter 為最大迭代次數，設 N_-iter=500;p_max?p_min 為設定的切換概率最大值與最小值，通過大量仿真試驗后設置最大值、最小值分別

為0.95、0.60。 p_non 變化曲線如圖1所示。

3.2平衡優化器算法中平衡狀態池策略的引入

蝴蝶優化算法在搜索空間中隨機初始化種群的位置，但是利用這種隨機化方式生成初始種群，有可能會導致蝴蝶個體的位置分布不均勻，在迭代初期，所有個體沒有引導的方向，只有最優個體確定后，其余個體才以某種模式進行移動。因此，本研究引入平衡優化器算法中的平衡狀態池策略對種群位置進行改進。利用EO算法的平衡池思想來構建精英池，從而代替隨機選取個體的不足，增強算法全局尋優能力，避開局部最優解。

使用控制體積上的簡單混合動態質量平衡來推理EO方法，其中源函通過描述控制體積中非活性成分濃度的質量平衡方程來獲得。質量平衡方程為進入、離開和在控制體積中產生的質量守恒提供了基礎物理依據。由于平衡候選解的拓撲位置在初始迭代中是不同的，并且指數項會產生大的隨機數，這種逐步更新過程有助于粒子在搜索中覆蓋整個域。在最后的迭代中會發生相反的情況，當候選解以類似的配置圍繞最優點時，指數項生成小隨機數，通過提供更小的步長來改進解決方案。圖2顯示了平衡優化器算法中所有候選解在樣品顆粒上的協作以及它們如何依次更新濃度的過程[21，22]

EO算法中平衡狀態池的建立過程是將優化過程中適應度最優的4個個體及其平均值作為候選解，可表示為：

C_eq，pool={C_eq（1），C_eq（2），C_eq（3），C_eq（4），C_eq（ave）}

式中， C_eq，pool 表示在平衡池中隨機抽取的個體；C_eq（1）?C_eq（2）?C_eq（3）?C_eq（4） 表示適應度最優的4個個體，C_eq（ave） 表示上述4個個體的平均值。平衡池中的5個個體被選中作為引導優化過程的解的概率是相同的，即被選中的概率均為0.2。

基于以上分析，可以在計算適應度時優先計算出候選個體的值，再利用已計算的個體找出余下4個最優候選蝴蝶個體 C_eq（1）～C_eq（4） 的平衡狀態，然后將全部5個候選個體放在一個種群中，這5個候選個體稱為平衡池 C_eq，pool 。種群中的其他蝴蝶個體可依據平衡池中5個候選個體找到自身的平衡狀態。即改進后式（9的數學模型可修改如下。

3.3 隨機游走算法

蝴蝶優化算法求得高質量全局最優解的關鍵在于擺脫局部極值的能力，為了使基礎BOA算法能夠更好地具有跳出局部最優的能力，對局部開發階段

引入隨機游走算法23進行改進，如果隨機分布數（rand） 大于非線性切換概率 （p_non） ，則根據式（15）進行局部更新，反之，根據式（16）進行隨機游走。

式中， θ 為黃金比例系數； 為當前全局最優解，可以使新解朝著最優解方向移動，加快收斂速度；μ 為擾動因子，是為了防止因當前最優值的引入而導致局部搜索時算法陷入局部極值，進一步提高算法的尋優性能，找到全局最優解，其計算式如下。

式中，gamrnd為伽馬隨機數，其取值具有跳躍性，使算法跳出局部最優值的能力有所提升，并且可以提升擾動因子 μ 取值的豐富性。

4試驗結果與分析

為驗證本研究所提算法的分類性能，基于代數方法，在目標函數2下，采用鯨魚優化算法（W0A）、灰狼優化算法（GWO）、蝴蝶優化算法（BOA）和改進蝴蝶優化算法（IBOA）對HYDRUS-1D軟件數據集上的11種土壤的 θ_r°θ_s°h_d°n°K_s 共5個參數進行反演，其中 θ_r?θ_s 為固定參數。設置種群個數為500，最大迭代次數為3000，平均運行時間為 70s 。反演結果如表2至表4所示。改進蝴蝶優化算法中參數設置為 p_min=0.60，p_max=0.95，a=0.10，c=0.01 0

從11種土壤參數的反演結果（圖4）可以看出，改進蝴蝶優化算法在目標函數下參數反演值的平均相對誤差為 0.22%～3.60% ，除黏壤土外，其他土壤均表現良好。這反映出在蝴蝶優化算法中加入隨機游走算法在估計土壤水動力參數的有效性。

5 討論

高文欣等[24針對基本BOA算法存在的收斂速度慢、求解精度低等問題，提出柯西變異和自適應權重優化的蝴蝶算法（CWBOA），通過在全局位置引入柯西分布函數，局部位置引入自適應權重因子，增加了測試函數的速度和精度。劉凱等25通過引入動態調整轉換概率策略，利用迭代次數和個體適應度的變化信息動態調整轉換概率，加快了原算法的收斂速度和求解精度。蘇季君等2采用代數方法和數值方法分析了鯨魚優化算法和灰狼優化算法反演Brooks-Corey-Mualem模型參數的適用性。本研究利用改進的蝴蝶優化算法對土壤水動力參數進行反演，此算法與基礎BOA算法的區別是通過隨機游走算法對BOA算法中的切換概率進行取值，從而對原算法易陷入局部最優的情況進行改進，擺脫局部極值，求得高質量的全局最優解。使用HYDRUS-1D軟件模擬非飽和土壤水分各參數來驗證所提算法的性能，結果顯示，改進蝴蝶優化算法、灰狼優化算法和鯨魚優化算法均能跟蹤到使目標函數最小的值附近，但灰狼優化算法和鯨魚優化算法在時間及精度上有一定欠缺，而改進蝴蝶優化算法的設計特性及數學模型能夠更為準確地跟蹤到全局目標函數最小的最優參數。此外，與原始BOA算法相比，在加人隨機游走策略的土壤數據中，所提出的改進蝴蝶優化算法能有效改善估計參數的準確率，并且在同樣的反演時間及迭代次數情況下擁有較高的準確度。

本研究中IBOA算法在黏壤土中表現不佳，從實用性的角度看，黏壤土中濕潤峰變化較小，誤差較大，因此進氣吸力較大，飽和導水率較小，反演效果較差。此外，也可能是由黏攘土土質細密但排水不良的特點造成的，后續需進一步試驗加以證明。如果將改進蝴蝶優化算法應用于土壤參數預估實際操作中，除黏壤土外，該算法可以快速給出水動力參數結果，其結果可為專業人員進行相關工作提供參考依據，有助于快速預估土壤數據。

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（責任編輯 呂海霞）