數學思想助力解平行四邊形

平行四邊形是初中數學的核心知識，在解決平行四邊形的問題時，運用數學思想常常可以迅速找到解題的途徑.下面舉例說明，

一、轉化思想

例1在平面直角坐標系中，我們把一個點的縱坐標與橫坐標的比值稱為該點的\"特征值”.如圖1，矩形ABCD位于第一象限，其四條邊分別與坐標軸平行，則該矩形四個頂點中“特征值\"最小的是（ ）.

A.點A B.點 B" C.點 C "D.點 D

解析：設 A（a，b），AB=m，AD=n. ·：四邊形ABCD為矩形， ∴BC=AD=n，CD= 而 b+，：該矩形四個頂點中\"特征值\"最小的是點B，故選B.

點評：解決本題關鍵是要進行三個轉化：一是矩形ABCD的位置與坐標的轉化，二是矩形ABCD的頂點坐標與“特征值\"的轉化，三是矩形ABCD頂點\"特征值\"的大小比較與分式值的大小比較的轉化.

二、方程思想

例2如圖2，在邊長為4的正方形 ABCD 中，點 E 是 BC 上一點，點 F 是 CD 延長線上一點，連接 AE，AF，AM 平分 ∠EAF ，交 CD 于點 M. 若 BE=DF=1 ，則 DM 的長度為（ ）.

A.2 （20

解析：：四邊形ABCD是正方形， ∴∠ABE=∠ADC=∠ADF=∠C=90^° AB=AD= ， ∴AE=AF ∵AM平分 ∠EAF ， ∴EM=FM 設 DM=x ，則EM=FM=DF+DM=x+1 在 RtΔCEM 中，由勾股定理得 EM²=CE²+CM²，∴（x+ 1）²=3²+（4-x）² ，解得 故選D.

點評：利用勾股定理構造方程是解題的關鍵.

三、數形結合思想

例3如圖3，在口ABCD中， AC，BD 相交于點 O，AC=2 ， 過點 A 作 AE⊥BC 于點 E ，記 BE 長為 x，BC 長為 y 當 x，y 的值發生變化時，下列代數式的值不變的是（ ）.

A. x+y （20 B.x-y （204號 C. xy （204號 D.x²+y²

解析：過點 D 作 DF⊥BC ，交 BC 的延長線于點 90^° ．·四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD，AB/CD，∴∠ABE=∠DCF，∴ΔABE≡ （204號ΔDCF（AAS），∴DF=AE，CF=BE=x. 由勾股定理可得 AE²=AC²-CE²=AC²-（BC- 3E）²=4-（y-x）²，DF²=BD²-BF²=BD²-（BC+CF）²=12-（y+x）²，：4-（y-x）²=1 12-（y+x）² ，化簡得 xy=2 ，當 _x，y 的值發生變化時，代數式的值不變的是 xy ，故選C.

點評：要說明幾何線段和、差、積、平方和的代數式的值不變，只要通過代數推理求出這個代數式的值，并說明它為常數即可．

四、模型思想

例4如圖4，在 ?ABCD 中， AB=4，AD=5 ∠ABC=30^° ，點 M 為直線 BC 上一動點，求 MA+MD 的最小值.

解析：作 A 關于直線 BC 的對稱點 A^′ ，連接 A^′D 交 BC 于 M^′ ，則 AH=A^′H，AH⊥BC，AM^′=A^′M^′ ，：當 M，M^′ 重合時， MA+MD 最小，最小值為 A^′D ∵ AB=4 ， ∠ABC=30^° ，：在口ABCD中， AH= （22

點評：解題的關鍵是由求 MA+MD 的最小值，聯想并構造出“將軍飲馬”的基本模型.

五、歸納思想

例5如圖5，用大小相等的小正方形按照一定規律拼正方形.第一幅圖有1個正方形，第二幅圖有5個正方形，第三幅圖有14個正方形…按照此規律，第六幅圖中正方形的個數為（ ）.

A.90 B.91 C.92 D. 93

解析：由所給圖形可知，第一幅圖中正方形的個數為 1=1² ;第二幅圖中正方形的個數為 5=1²+2² ;第三幅圖中正方形的個數為 14=1²+2²+3² ;第四幅圖中正方形的個數為 30=1²+2²+3²+4²… 所以第 n 幅圖中正方形的個數為 1²+2²+3²+…+n². 當 n= 6時， 1²+2²+3²+…+6²=91 ，即第六幅圖中正方形的個數為91.故選B.

點評：能根據所給圖形歸納出正方形個數變化的規律是解題的關鍵.

六、分類思想

例6如圖6，在口ABCD中， ∠B=60^° ， AB=6cm ，BC=12cm 點 P 從點 A 出發，以 1cm/s 的速度沿 運動，同時點 Q 從點 c 出發，以 3cm/s 的速度沿 往復運動，當點 P 到達端點 D 時，點 Q 隨之停止運動.求在此運動過程中，線段 PQ=CD 出現的次數.

解析：由已知可得， P 從 A 到 D 需 12s，Q 從 C 到 B （或從 B 到 C 需4s，設 P，Q 運動時間為 ts

（1）當 0?t?4 時， ∵PD//CQ，PQ=CD ，∴有兩種情況： ①PQ 與 CD 不平行，如圖7，過 Q 作 QH⊥AD 于點H ，過 C 作 CG⊥AD 于點 G. 由題知， AP=tcm，CQ=3tcm= GH.易證 RtΔPQH?RtΔDCG ，： ∠QPH=∠D=∠B= （2060^° 業 ∵PQ=CD=AB=6cm，∴PH=DG=3cm.∵. AP+ PH+GH+DG=AD=BC=12，∴t+3+3t+3=12 ，解得 t=1.5.② 當 PQ//CD 時，四邊形CQPD是平行四邊形，如圖8，此時 PD=CQ=3tcm，∴t+3t=12 ，解得 t= 3，??t 為1.5s或3s時， PQ=CD 業

（2）當 46cm ，這種情況在 4 ∴3（t-4）=t ，解得 t=6，?..t 為6s時， PQ=CD

（3）當 8

綜上所述， PQ=CD 出現的次數是4.

點評：解題關鍵是結合題意分類畫出圖形.

（作者單位：省泰州市姜堰區淤溪初級中學）