建模能力：高中生“會用數學”的必經之徑

建模不僅是數學應用的核心，也是促進學生綜合素養的發展重要途徑。高中階段是學生數學思維形成的關鍵期，通過建模訓練，引導學生了解隨機變量及其在建模中的應用，處理多維度的信息，使學生對數學有更深刻的理解和體會，從而促進學生實現從理論到實踐的認知跨越。本文將通過案例分析和理論探討，論述培養學生建模能力的有效方法和策略。

一、分析案例，引入隨機變量

數學建模能力不僅是數學學習的關鍵，也是學生將所學知識應用于現實生活中的重要橋梁。隨著高中數學學習內容的深入，學生需要掌握越來越復雜的概念。其中，隨機變量是一類重要的數學元素，它能夠幫助學生理解并分析具有不確定性的問題。在學習隨機變量時，學生可以更好地認識世界并不是完全確定和可預測的，而數學模型能夠幫助我們在眾多不確定性中做出合理的決策。

在教學“函數的概念及其表示”的時候，教師可以以某商業情境為背景：假設一家咖啡店正在評估據點開設的潛在地點。在這一過程中，學生需要分析變量如每日人流量、天氣情況等的不確定性。教師首先介紹函數的概念及其在數學建模中的重要性，隨后引入隨機變量，表示影響咖啡店收入的可能因素。例如：每日人流量可以用一個隨機變量 x 表示，而天氣情況影響下的人流變化用另一個隨機變量 y 表示。通過設計一個簡單的函數模型，如，其中 Ψ_{a，b，c} 為待定系數，教師引導學生探索如何通過歷史數據和假設進行合理設定。在實際操作中，學生需利用已有數據估計這些參數，進而分析不同天氣條件下，人流變化對收入的可能影響。通過這個過程，學生實實在在地感受函數和隨機變量在解決實際問題中的應用價值。

對函數中的隨機變量案例進行分析，學生不僅加深了對函數概念的理解，還鍛煉了使用隨機變量進行問題建模的能力。通過實際案例的錘煉，學生逐步適應從現實生活中提取關鍵變量并建構數學模型的思維過程。

二、數字支持，處理復雜信息

數字工具不僅能夠提升教學效率，還能幫助學生更直觀地理解復雜的數學概念。當處理復雜信息時，數字工具的支持可以讓學生通過動態展示、模擬實驗、數據分析等方式，深入探討數學現象背后的原理。在數學建模中，數字技術使學生能夠快速處理大量數據，從而尋找出蘊藏在數據背后的規律。

在教學“指數函數一信息技術應用：借助信息技術探究指數函數的性質\"的時候，教師通過一系列數字工具如圖形計算器Desmos等，讓學生直觀理解指數函數的特性。教師利用數學軟件引導學生繪制多組指數函數圖像，直觀展示當x 值變化時函數的增長趨勢。這些軟件可讓學生實時調整參數并觀察函數曲線的變化，幫助他們理解指數增長的快速性和非線性特征。接著，教師布置一個數據分析任務，要求學生通過模擬實驗探索人口增長模型。在這一環節中，學生利用Excel軟件輸入不同初始參數和增長率數據，模擬未來幾年的人口變化。教師指導學生逐步分析并得出這是一個典型的指數增長現象，進而借助圖表工具呈現可視化數據，形象展示出數據背后的增長規律。在這個過程中，學生不僅掌握了利用數字工具處理和分析復雜數據的技能，還體驗了指數函數在實際問題建模中的獨特價值。

數字技術不僅增強了學生對數學概念的理解，也提高了他們的數據分析能力和模型構建能力。這樣的教學方法鼓勵學生積極運用現代技術手段，提升他們解決實際問題的效率和準確性。

三、學科融合，開放切入視角

從某種角度看，數學是一種語言，使我們能夠描述并研究來自物理、化學、生物，乃至人文社科等不同學科的問題。通過學科融合，學生可以得到多元視角，從更多角度理解并應用所學數學知識。尤其是在進行建模訓練時，用跨學科的方式探討問題能夠豐富學生的思維，使其具備綜合分析能力。學科間的知識滲透還能激發學生的創造力，讓他們發現數學應用的新方向和新可能。

在教學“數列的概念與簡單表示法——閱讀與思考：斐波那契數列\"的時候，教師通過歷史和生物學的結合引導學生理解這一數列的廣泛應用。教師先講述斐波那契數列的發現，由意大利數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時提出，最初從簡單的兔子數目增長開始問題出發。教師用這個生動的歷史背景來激發學生的興趣，隨后展示典型的斐波那契數列“0，1，1，2，3，5，8，13，\"并引導學生發現每一項為前兩項之和的規律。接著，教師將話題轉向自然界的應用，通過圖片展示斐波那契數列在生物結構中的存在，如植物的葉序、花瓣排列等，甚至包括人類的DNA構成。學生以小組形式討論斐波那契數列為何在自然界中如此普遍的原因，并通過數學模型嘗試解釋這一現象。這樣，學生不僅掌握了數學上的數列概念，還得以從生物學的角度理解其實際意義，增強了跨學科的建模能力。

通過斐波那契數列作為跨學科的案例分析，教師成功引導學生從多個角度理解了數列及其應用，從而增強了他們的建模能力。學生在建模過程中可以運用多重學科知識，使分析過程更為全面和深入。

四、貼近生活，解決實際問題

數學源于生活，并反過來服務于生活。通過讓學生處理真實世界中的實際問題，教師能幫助他們認識數學知識的實用性和重要性。高效的數學教學應該不斷尋求將學科內容與學生的日常生活相聯系的機會，這樣不僅能激發學習興趣，還能培養學生解決實際問題的能力。

在教學“等差數列”的時候，教師通過一個貼近生活的實際問題引導學生理解如何將數學知識應用于解決現實世界中的問題。例如，教師可以設計這樣一個問題：某人計劃每個月存入一定金額以購置一項價值8000元的商品，而每月存入的金額逐步增加100元。教師首先引導學生識別這是一個等差數列的問題，使他們理解每月的存款數額構成一個等差數列。然后計算每月存款的具體情況，從而建立模型描述總金額的積累過程。具體地，設首月存款為200元，之后學生通過遞推公式和求和公式計算達到購置商品所需金額的時間。這個過程中，教師另行介紹預期與非預期開支差異，促進學生思考何種方案是較為穩定的存款規劃。

處理等差數列這一貼近生活的案例，學生不僅鞏固了數列知識，還學會了如何構建數學模型解決實際財務規劃問題。

綜上所述，高中數學中的建模能力培養不僅是知識的延伸，更是學生適應未來社會需求的重要能力之一。

責任編輯羅峰