指向核心素養(yǎng)，突出函數(shù)模型教學(xué)

1 2

(1. 2. )

高中數(shù)學(xué)涉及的函數(shù)較多，主要有二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等。教師在教學(xué)中既要做好對(duì)這些函數(shù)概念的講解，又要注重啟發(fā)學(xué)生從模型的角度深人理解這些函數(shù)，并在系統(tǒng)學(xué)習(xí)這些函數(shù)的基礎(chǔ)上，形成函數(shù)的整體意識(shí)。同時(shí)，學(xué)生要在頭腦中形成構(gòu)建不同函數(shù)模型的思路，借助于所學(xué)的函數(shù)性質(zhì)求解實(shí)際問題，更好地鍛煉學(xué)以致用能力，提高運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解題的能力。

一、模型思想的內(nèi)涵

模型思想是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，對(duì)于所要研究的對(duì)象從實(shí)際出發(fā)建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，并通過解數(shù)學(xué)模型來揭示、反映研究對(duì)象的本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系的一種數(shù)學(xué)思想。在解決實(shí)際問題時(shí)，學(xué)生需要對(duì)所面臨的實(shí)際問題建立恰當(dāng)?shù)哪Ｐ汀Ｒ话銇碚f，數(shù)學(xué)模型可分為兩大類：一類是定量模型，另一類是定性模型。學(xué)生可根據(jù)問題的具體背景、已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，借助于代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)等方面的知識(shí)和方法，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決。數(shù)學(xué)建模可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)特征，促進(jìn)其對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系的理解與感悟。學(xué)生通過建模活動(dòng)，可以將抽象、復(fù)雜的問題具體化，生動(dòng)直觀地表示出來。建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型是學(xué)生獲得解決實(shí)際問題能力的前提條件，學(xué)生要能在現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)有用的信息，并把它們組織起來進(jìn)行加工和處理，形成解決實(shí)際問題的方案。學(xué)生要能根據(jù)問題所給條件選擇合適的模型，并運(yùn)用這些模型

解決問題。

二、高中函數(shù)教學(xué)中模型構(gòu)建的意義

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。高中數(shù)學(xué)函數(shù)的內(nèi)容豐富、抽象，對(duì)高中生來說，面對(duì)這類問題，如果不能很好地把握，就會(huì)影響學(xué)習(xí)的興趣和效果。因此，在教學(xué)中教師必須注重模型構(gòu)建，這不僅有助于學(xué)生理解函數(shù)概念的內(nèi)涵和外延，還能有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新意識(shí)。高中函數(shù)模型教學(xué)是以學(xué)生為主體的教學(xué)活動(dòng)。學(xué)生通過觀察、分析、歸納、總結(jié)等多種方式，主動(dòng)地構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并對(duì)所構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行合理解釋和應(yīng)用。在這個(gè)過程中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解能力也會(huì)得到提高。

(一)能夠幫助學(xué)生減輕記憶負(fù)荷

對(duì)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)來說，學(xué)生的記憶負(fù)荷重是一個(gè)比較大的問題。在函數(shù)教學(xué)中，學(xué)生需要記憶大量的概念、公式、定理和圖像等知識(shí)，尤其是一些比較復(fù)雜的函數(shù)問題，如果不能將其理解透徹，就會(huì)增加記憶負(fù)荷。同時(shí)，學(xué)生在理解函數(shù)概念時(shí)，需要綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)，因此，在高中函數(shù)教學(xué)中教師必須重視模型教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分類、整理，讓學(xué)生構(gòu)建模型，從而有效減輕記憶負(fù)荷。這樣不僅能幫助學(xué)生構(gòu)建比較系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，而且能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的效率和效果。

（二)能夠幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)遷移

在高中函數(shù)教學(xué)中，學(xué)生要想全面地掌握函數(shù)知識(shí)，就要不斷地對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)和歸納。對(duì)于同一問題，不同的學(xué)生會(huì)有不同的解題方法和思路。學(xué)生在對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行理解時(shí)，需要不斷地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，在這個(gè)過程中，學(xué)生不僅要理解函數(shù)概念的內(nèi)涵和外延，還要了解不同類型的函數(shù)問題。因此，在函數(shù)教學(xué)中教師必須重視模型教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，這樣學(xué)生才能實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的遷移，形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)時(shí)，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，這樣學(xué)生就能在頭腦中形成“概念 $$ 定義 $$ 函數(shù)”的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，在遇到問題時(shí)就能根據(jù)題中條件迅速建立數(shù)學(xué)模型。

三、高中函數(shù)教學(xué)中模型構(gòu)建存在的問題

(一)理解不透徹

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視函數(shù)概念與定義、圖象與性質(zhì)的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解函數(shù)概念及定義，理解基本定義中變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上開展函數(shù)圖像和性質(zhì)、函數(shù)應(yīng)用等方面的教學(xué)，從而讓學(xué)生掌握函數(shù)的基本概念和基本性質(zhì)，再逐步構(gòu)建基本的函數(shù)模型。然而，在實(shí)際教學(xué)中，許多學(xué)生不能深入理解和掌握這些知識(shí)內(nèi)容，只是停留在對(duì)知識(shí)內(nèi)容的記憶上，忽視了這些知識(shí)內(nèi)容與具體問題之間的聯(lián)系。因此，在教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)，通過對(duì)具體問題中變量之間關(guān)系的研究構(gòu)建基本數(shù)學(xué)模型，使其能夠從本質(zhì)上理解變量之間的關(guān)系及模型構(gòu)建的意義。

（二）表征不靈活

數(shù)學(xué)模型是用來表示現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的，而函數(shù)模型是數(shù)學(xué)模型的一種，它能把現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式轉(zhuǎn)化為一種數(shù)學(xué)模型。通過建立和應(yīng)用函數(shù)模型，學(xué)生能夠更好地認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系，能夠更好地理解現(xiàn)實(shí)世界中的空間形式，這是教師開展函數(shù)思想方法教學(xué)的重要任務(wù)。學(xué)生在構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，要注重對(duì)函數(shù)圖像和性質(zhì)進(jìn)行表征，有些學(xué)生在解題時(shí)，對(duì)函數(shù)圖像、性質(zhì)進(jìn)行了正確表征，卻不能準(zhǔn)確地將函數(shù)圖像、性質(zhì)表達(dá)出來，導(dǎo)致解題結(jié)果不能全面反映實(shí)際問題。有些學(xué)生在解題時(shí)沒有考慮到實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系，將變量間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為一種數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解。因此，教師要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)模型思想方法的訓(xùn)練，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)模型思想方法。

四、模型思想下函數(shù)概念教學(xué)策略

（一）函數(shù)概念教學(xué)中幾種問題情境的設(shè)置

1.情境問題的構(gòu)建

教師應(yīng)注重在模型思想指引下展開教學(xué)活動(dòng)。人教版課本中問題1描述的是路程、速度與時(shí)間的關(guān)系，結(jié)合以往所學(xué)知識(shí)，學(xué)生很容易知道對(duì)應(yīng)的模型是 S=350t ，其中 χ_t 的取值范圍是 0?t?0.5 。問題2描述的是周工資、上班天數(shù)、每天工資之間的關(guān)系，同樣結(jié)合所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)可構(gòu)建出對(duì)應(yīng)的模型為 ，不過在該模型中 d 的取值范圍為 1? d?6 且為整數(shù)。問題3則以圖像的形式給出時(shí)間 Φ_t 和空氣質(zhì)量指數(shù) I 的關(guān)系，該情境中雖然無法用學(xué)習(xí)過的知識(shí)表達(dá)其函數(shù)關(guān)系，但是觀察可知 Ψ_t 和 I 的取值范圍分別為 0?t?24，0

2.情境設(shè)置中問題的思考

① 上述四個(gè)問題情境有哪些共同點(diǎn)？ ② 聯(lián)系所學(xué)的集合知識(shí)，嘗試著從集合角度，概括自變量與因變量之間的關(guān)系； ③ 由此你能總結(jié)出函數(shù)的概念嗎？學(xué)生通過認(rèn)真思考，從集合角度不難歸納出上述四個(gè)問題情境的特點(diǎn)：均包含兩個(gè)非空數(shù)集（用 A，B 表示)；均有一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系（用 f 表示)；任意一個(gè)自變量 x 依據(jù)對(duì)照關(guān)系，均能找到一個(gè)因變量 y 與其對(duì)應(yīng)。教師在此基礎(chǔ)上要求學(xué)生思考：如何用圖形模型概括四個(gè)問題情境的特點(diǎn)？學(xué)生通過討論可用圖1模型概括上述關(guān)系。

3.情境設(shè)置中問題的解決

分析可知上述模型涉及的情境并不完善。課堂上教師應(yīng)要求學(xué)生聯(lián)系所學(xué)的二次函數(shù)知識(shí)對(duì)圖1模型進(jìn)行修正。在二次函數(shù)中兩個(gè)自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值可能是相等的，基于此，將圖1修改成圖2。教師在此基礎(chǔ)上進(jìn)行函數(shù)概念的講解，學(xué)生更容易接受與理解。

0

綜上，教師需要針對(duì)一類情況采用不同的函數(shù)模型。這種模型的核心體現(xiàn)在兩方面：一是建立關(guān)于這種現(xiàn)象中量與量之間的確切關(guān)系一—函數(shù)模型y=f(x) ，從而精確地刻畫一個(gè)量是如何隨另一個(gè)量的變化而變化的；二是通過代數(shù)運(yùn)算、圖像直觀地揭示相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，奠定學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)。

（二）識(shí)別運(yùn)算規(guī)則，建構(gòu)同構(gòu)模型

對(duì)于一些復(fù)雜的函數(shù)來說，通過同構(gòu)化可以簡(jiǎn)化原來的函數(shù)，但是，題目通常不會(huì)給出同構(gòu)型，需要不斷地對(duì)其進(jìn)行變換，才能構(gòu)成同構(gòu)型，然后，運(yùn)用同構(gòu)思想把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。同構(gòu)化一般發(fā)生在指對(duì)函數(shù)中，也就是說把一個(gè)非同構(gòu)的方程用運(yùn)算法則化為同構(gòu)化。重新構(gòu)建新的函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究、解決問題。因此，同構(gòu)法的難點(diǎn)在于如何將異構(gòu)轉(zhuǎn)化為同構(gòu)，學(xué)生應(yīng)熟悉以下常見的指對(duì)函數(shù)：

有了上述的指對(duì)運(yùn)算，若干通用同構(gòu)模型就可以被有效構(gòu)造： ① 和差型： ，則構(gòu)造函數(shù) f(x)=e^x±x;e^a±a>b± （204號(hào) ，則構(gòu)造函數(shù) f(x)=x± 。 ② 積型： ，構(gòu)造函數(shù) f(x)=xe^x ，構(gòu)造函數(shù) 。 ③ 商型： ，構(gòu)造函數(shù) f(x)=e^x/x ： e^a/lne^a 。由上面所述，通常所采用的轉(zhuǎn)換方法是將 x 變?yōu)?eln^x 或?qū)?x 變?yōu)?lne^x ，很明顯，它們的本質(zhì)就是找出指對(duì)

運(yùn)算規(guī)則。

(三)例題中函數(shù)模型的構(gòu)建

實(shí)際上高中階段涉及的函數(shù)本身屬于函數(shù)模型。構(gòu)建函數(shù)并運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問題，是函數(shù)模型應(yīng)用的具體體現(xiàn)。同時(shí)，一些測(cè)試以及高考中非常注重對(duì)函數(shù)模型的考查，因此，教學(xué)實(shí)踐中教師應(yīng)注重在模型思想指引下開展工作，結(jié)合具體例題為學(xué)生講解構(gòu)建函數(shù)模型的具體步驟。首先，認(rèn)真審題，歸納題目中的有用信息，尋找相關(guān)參數(shù)之間的邏輯關(guān)系；其次，聯(lián)系所學(xué)的函數(shù)知識(shí)，構(gòu)建對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型；再次，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行模型求解；最后，檢驗(yàn)得出的結(jié)果是否符合題設(shè)情境。實(shí)踐中教師尤其要注重采用與學(xué)生互動(dòng)的方式激發(fā)學(xué)生思考，使其真正地參與課堂教學(xué)活動(dòng)，這在激活數(shù)學(xué)課堂的同時(shí)使其更好地掌握函數(shù)模型構(gòu)建理論，把握構(gòu)建函數(shù)模型的步驟與細(xì)節(jié)，指引其在以后的解題中能夠迅速找到模型構(gòu)建的切人點(diǎn)。

例：為創(chuàng)造宜居的生活環(huán)境，某小區(qū)準(zhǔn)備建造一個(gè)矩形休閑區(qū) ABCD ，如圖3所示，休閑區(qū)由草坪（陰影部分） A₁B₁C₁D₁ 和環(huán)休閑區(qū)人行道構(gòu)成。其中草坪區(qū)的面積為1000平方米，人行道的寬分別為4米和10米。問：草坪區(qū) A₁B₁C₁D₁ 的寬和長(zhǎng)分別為多少時(shí)，休閑區(qū) ABCD 的占地面積最小？

課堂上教師設(shè)計(jì)如下問題指引學(xué)生進(jìn)行函數(shù)模型的構(gòu)建： ① 休閑區(qū)ABCD和草坪區(qū)間的什么量存在怎樣的聯(lián)系？ ② 怎樣應(yīng)用草坪區(qū)的面積為1000平方米這一已知條件？ ③ 怎樣設(shè)出參數(shù)，參數(shù)的取值范圍怎么確定？

顯然矩形ABCD和草坪區(qū)的長(zhǎng)和寬存在一定的聯(lián)系，即人行道的寬與草坪區(qū)的長(zhǎng)、寬之和為矩形ABCD的長(zhǎng)和寬，構(gòu)建模型時(shí)可借助于“草坪區(qū)的面積為1000平方米\"表示出其長(zhǎng)或?qū)挕８鶕?jù)題意不妨設(shè)休閑區(qū)的長(zhǎng)為 x 米，矩形ABCD的面積為 S 。構(gòu)建模型的依據(jù)為矩形面積計(jì)算公式，由圖3可構(gòu)建出如下函數(shù)模型：

那么接下來該怎么求解該模型呢？展開該模型得到 ，觀察可知需要運(yùn)用基本不等式進(jìn)行解答，即 800+1160=1960 ，當(dāng)且僅當(dāng) . x=50 時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)草坪區(qū) A₁B₁C₁D₁ 的長(zhǎng)和寬分別為50米、20米時(shí)休閑區(qū)ABCD的占地面積最小，為1960平方米。經(jīng)驗(yàn)證，可知結(jié)果符合題意和實(shí)際情況，表明得出的模型結(jié)論是正確的。

(四)依托圖形表征，構(gòu)建不等式模型

函數(shù)和不等式的結(jié)合問題一直是我國高考的難點(diǎn)之一，它一般出現(xiàn)在最后的環(huán)節(jié)，這對(duì)學(xué)生的思維能力要求很高，基礎(chǔ)不牢的學(xué)生，很難有效解決，更遑論解決實(shí)際的綜合問題。因此，在日常的教學(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)常用的經(jīng)典不等式進(jìn)行積累。盡管教師講課時(shí)，會(huì)詳細(xì)說明常見的典型不等式，但學(xué)生在解決問題的過程中，常常會(huì)出現(xiàn)記憶困難的情況。造成這種現(xiàn)象的一個(gè)重要原因就是學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與記憶還不夠深人。舉個(gè)例子，以下為四個(gè)常用不等式：

（20(3)e^x>1+x，x≠0; （204號(hào)

如果僅僅靠死記硬背，學(xué)生會(huì)感到困惑、使用混亂，或者根本就無法使用。從形式上來說，這四個(gè)不等式所涉及的函數(shù)都是相當(dāng)簡(jiǎn)單的，學(xué)生可以從圖像的角度去理解并記憶它們。記憶力是把知識(shí)運(yùn)用到實(shí)踐中的基礎(chǔ)，這樣的話，學(xué)生就不用每次遇到問題都要推導(dǎo)出通用的結(jié)論，從而節(jié)省很多時(shí)間。在同一坐標(biāo)系中，繪制出 y=e^x，y=x+1，y=x，y= 的函數(shù)圖像，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)圖像的位置關(guān)系，就可以很容易地看到它們的尺寸關(guān)系。以圖像表征為基礎(chǔ)構(gòu)造不等式模型，學(xué)生可以通過對(duì)圖像的直接觀察，以理解為基礎(chǔ)，通過對(duì)“形\"的認(rèn)識(shí)，加深對(duì)不等式的認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的高效組合。

結(jié)語

在函數(shù)教學(xué)中，教師要始終讓學(xué)生感知并體會(huì)模型思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)注重將該思想融入教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)。當(dāng)用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題時(shí)，要對(duì)實(shí)際問題中的變化過程進(jìn)行分析，析出其中的常量、變量及其相互關(guān)系；明確其運(yùn)動(dòng)變化的基本特征，從而確定它的運(yùn)動(dòng)變化類型，然后根據(jù)分析結(jié)果，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；再通過運(yùn)算、推理，求解函數(shù)模型。教師要借助于圖形模型進(jìn)行函數(shù)概念的講解，借助于關(guān)系模型進(jìn)行函數(shù)性質(zhì)的講解。不僅如此，函數(shù)本身也是一種模型，實(shí)踐中教師應(yīng)通過例題講解以及習(xí)題訓(xùn)練，深化學(xué)生對(duì)函數(shù)模型的理解，提高其建模水平及解題能力。

函數(shù)是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型，可以用其描述客觀世界的變化趨勢(shì)和規(guī)律。它能夠幫助學(xué)生準(zhǔn)確描述數(shù)學(xué)問題的性質(zhì)和解決方法。學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，應(yīng)當(dāng)樹立完整的函數(shù)概念意識(shí)，應(yīng)學(xué)會(huì)運(yùn)用集合與對(duì)應(yīng)的語言刻畫函數(shù)概念，掌握其基本性質(zhì)，并通過對(duì)高中函數(shù)的學(xué)習(xí)整體感受如何在研究一個(gè)函數(shù)的基礎(chǔ)上，找到研究其他函數(shù)的思想和方法，從而整體感知函數(shù)的模型思想。

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責(zé)任編輯：唐丹丹