基于幾何平均猶豫度的概率猶豫模糊多屬性決策方法

中圖分類號：TP391；0159 文獻標志碼：A 文章編號：1671-6841（2025）03-0049-08

DOI：10.13705/j. issn.1671-6841.2023187

Probabilistic Hesitant Fuzzy Multi-attribute Decision-making Method Based on Geometric Mean Hesitant Degree

ZHANG Yanna'， ZHANG Lixia1，2，WANG Yongbing1，2 （1. School of Mathematics and Physics， Anqing Normal University， Anqing ， China; 2. Key Laboratory of Modeling，Simulation and Control of Complex Ecosystem in Dabie Mountains of Anhui Province，Anqing ，China）

Abstract：A probabilistic hesitant fuzzy multi-tribute decision making method based on geometric mean hesitancy degree was proposed，， which could solve the problem of probabilistic hesitant fuzzy multi-attribute decision making with completely unknown atribute weights.Firstly，in response to the differences in membership degrees between elements and the varying number of elements in probabilistic hesitant fuzzy element，the geometric mean hesitant degree of probabilistic hesitant fuzzy element was defined. Secondly，based on the traditional distance measure of probabilistic hesitant fuzzy elements，the distance measure of probabilistic hesitant fuzzy elements based on geometric mean hesitant degree was proposed. Further，the probabilistic hesitant fuzzy element entropy measure was constructed based on the distance measure proposed，and the entropy weight method was combined to determine the attribute weight.Finally，the corresponding multi-attribute decision model was given in combination with TOPSIS method.The feasibility and practicability of the proposed method were verified by a specific case and sensitivity analysis of the corresponding parameters.

Key words： probabilistic hesitant fuzzy element； multi-tribute decision making；distance measure; hesitant degree;attribute weight

0 引言

由于實際問題的復雜性和人類自身知識的模糊性，在多屬性決策問題中，存在很多不確定性。Za-deh[首次提出模糊集的概念，并成功應(yīng)用于多屬性決策問題。但在具體的實際應(yīng)用中，模糊集具有一定的局限性。于是，許多學者陸續(xù)提出了模糊集的多種擴展形式。如Atanassov[2]提出了直覺模糊集的概念，并研究了直覺模糊集運算法則及其應(yīng)用。Torra[3]給出了猶豫模糊集的概念，猶豫模糊集主要關(guān)注決策者提供評估信息時內(nèi)心的徘徊猶豫，允許決策者提供若干個不同的評估值，能夠較準確地刻畫他們的不確定心理狀態(tài)。但在現(xiàn)實決策過程中，猶豫模糊集會丟失部分原始信息。故在此基礎(chǔ)上，文獻[4-5]定義了概率猶豫模糊集，并將其應(yīng)用于多屬性決策。概率猶豫模糊集關(guān)注隸屬度可能出現(xiàn)的概率，能夠更好地保留原始數(shù)據(jù)信息，從而更加準確地描述決策者在決策過程中的猶豫不決心理。目前，概率猶豫模糊集在模式識別、決策分析以及前景預測等諸多領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用[6-10] C

距離測度是模糊信息決策過程中的一個重要度量，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于模糊環(huán)境下的多屬性決策中[I1-12]。文獻［13-14]研究了猶豫模糊集的距離測度及其群決策方法。王擁兵等[15]研究了直覺猶豫模糊集的距離測度及其應(yīng)用。Su等提出了概率猶豫模糊Hamming距離、概率猶豫模糊Euclidean距離，以及一種不受元素長度影響的偽距離測度，并將其應(yīng)用到多屬性決策問題中。這偽距離測度對距離測度公理化定義中的反身性要求比較苛刻。實際上，在研究概率猶豫模糊距離測度時，一般要求兩個概率猶豫模糊元的元素個數(shù)相等，而自前比較常用的方法是決策者根據(jù)自身偏好添加對應(yīng)概率信息為0的元素，但人為添加元素容易造成數(shù)據(jù)偏差，影響決策結(jié)果的真實性。Lin等[提出了一種解決不同概率猶豫模糊元長度不同的概率分裂算法，在無人為添加或減少元素的條件下，將不同長度的概率猶豫模糊元擴展至相同長度。文獻［18-19]提出了新的概率猶豫模糊元距離測度，但該距離測度只考慮了隸屬度之間的差異，沒有考慮概率猶豫模糊猶豫度的差異。駱華[20基于概率猶豫模糊元的猶豫度和信息不完全度，提出了改進的距離測度公式，但文中的猶豫度只考慮了元素個數(shù)差異，并沒有考慮元素隸屬度值之間的差異，在實際決策過程中仍存在一定局限性。基于上述問題與不足，本文將同時考慮概率猶豫模糊元中元素之間隸屬度的差異和元素的個數(shù)不同，給出幾何平均猶豫度的概念。然后，提出了基于幾何平均猶豫度的概率猶豫模糊元距離測度，該距離測度既保留了傳統(tǒng)概率猶豫模糊距離的特性，又克服了其不足。進一步，本文基于距離測度構(gòu)建了概率猶豫模糊元熵測度，根據(jù)熵權(quán)法確定屬性權(quán)重，并結(jié)合TOPSIS方法構(gòu)建了相應(yīng)的多屬性決策模型。

1基礎(chǔ)理論知識

定義 1^[4] 設(shè)非空有限集 X 是一個給定的論域，則稱

為在 X 上的一個概率猶豫模糊集（probabilistic hesi-tant fuzzy set，PHFS），其中， ，∣2，…，l∣ 為概率猶豫模糊元（probabilistichesitantfuzzy element，PHFE）， ξ_l 為 h（p_x） 中元素的個數(shù)，γⁱ∈[0，1] 為元素 x 屬于 H_P 的隸屬度， pⁱ∈[0，1] 表示隸屬度 γⁱ 的概率，且 Σ_i=1^lpⁱ=1 。

為方便起見，將 h（p_x） 簡記為 h（p） ，本文一般將所有的PHFE h（p） 中的元素按隸屬度從小到大進行排序。

定義 ±b2^[4] 對任意的一個PHFE h（p） ，稱

s（h（p））=Σ_i=1^lγⁱpⁱ

為 h（p） 的得分函數(shù)。

定義 ±b3^[5] 設(shè) h_?1 和 h₂ 是 X 上的兩個PHFE，則h_?1 和 h₂ 之間的距離測度 需要滿足下列條件：

1） 0?d（h₁，h₂）?1

2） d（h₁，h₂）=0 當且僅當 h₁=h₂ ;

3） d（h₁，h₂）=d（h₂，h₁） 。

對任意兩個PHFE 和 ，文獻［16]給出了概率猶豫模糊元之間的Hamming距離測度，

d_H（h₁，h₂）=Σ_j=1^l∣γ₁^σ（j）p₁^σ（j）-γ₂^σ（j）p₂^σ（j）∣， （2）其中： γ₁^σ（j）?γ₂^σ（j） 分別表示 h₁，h₂ 中第 j 小的值;p₁^σ（j）?p₂^σ（j） 分別為其對應(yīng)的概率; l_i 表示 h_i 的元素個數(shù)（ Ψ_i=1，2） l=max（l₁，l₂） 。

文獻[16]提出了概率猶豫模糊元之間的偽距離測度：

方冰等[18]提出了概率猶豫模糊元之間的距離測度：

例1設(shè)有兩個已知樣本，用概率猶豫模糊元h₁，h₂ 表示，即 ， 。設(shè) 為待測樣本，利用公式（2）～（4），可得到它們之間的距離，如表1所示。

從樣本數(shù)據(jù)本身來看，待測樣本 h 應(yīng)該屬于 h₂ ，但從表1的計算結(jié)果來看， d_?H 無法判別樣本 h 是屬于 h_?1 還是屬于 h₂ ；而 d_s 與 d_?F 判定樣本 h 屬于 h_?1 這與人們的直覺相反。盡管上述距離測度能夠很好地運用于概率猶豫模糊環(huán)境下多屬性決策問題，但仍有一定的局限性。因此，有必要進一步完善現(xiàn)有的概率猶豫模糊元的距離測度。

2基于幾何平均猶豫度的概率猶豫模糊元的距離測度

現(xiàn)有的距離測度在很多情形下雖能夠解決概率猶豫模糊多屬性決策問題，但也有一定的適用范圍，其主要原因是沒有充分考慮概率猶豫模糊元之間猶豫度的差異。猶豫度是概率猶豫模糊元的特征指標之一，在決策過程中，若忽略猶豫度差異的影響可能會導致決策結(jié)果的不真。因此，本文將在充分考慮概率猶豫模糊元猶豫度的前提下，重新定義概率猶豫模糊元的距離測度。

2.1 幾何平均猶豫度

為了充分考慮決策者的猶豫不決程度，本文同時考慮概率猶豫模糊元中元素之間隸屬度的差異和元素的個數(shù)不同，定義了幾何平均猶豫度。

定義4給定一個PHFE h（p），h（p） 的幾何平均猶豫度定義為

其中： s（h）=Σ_i=1^lγⁱpⁱ，

顯然，若 l=1 ，則 π（h（p））=0 。

定理1設(shè) 是 X 上的一個PHFE，其補集為 ，則

1） 0?π（h）?1

2） π（h）=π（h^c） 。

證明1）先證 0?s（h）?1 。由于 γⁱ∈[0 1]， pⁱ∈[0，1] ，從而 γⁱpⁱ?pⁱ ，故有

Σ_i=1^lγⁱpⁱ?Σ_i=1^lpⁱ=1，

于是， 0?s（h）?1 。易知 ，故有 0?pⁱ∣γⁱ-s（h）∣?1 ，所以，

由于 ，則有， 0?π（h）?1 。

2）根據(jù)定義4，有

因此， π（h）=π（h^c） 。

關(guān)于概率猶豫模糊元猶豫度的概念，已有很多研究者給出了其不同形式的表達方式。比如文獻[20]中給出的PHFE的猶豫度為

為了更好地說明本文指出的幾何平均猶豫度的有效性，下面給出例題進行比較說明。

例2已知8個PHFE，分別用公式（5）、（6）計算它們的猶豫度，計算結(jié)果如表2所示。

對不同猶豫度的結(jié)果進行分析。一方面，由于l（h₁）=1 ，表示決策者在提供隸屬度0.5時沒有任何猶豫，這與 u（h₁）=π（h₁）=0 相符，由于 h₂ 和 h₃ 互補，其猶豫度相等是符合直覺的，說明文獻［20]的方法和本文提出的猶豫度是合理的；另一方面，由于 h_i（i=3，4，5，6） 的元素個數(shù)是相同的，而它們之間的元素隸屬度值的差異是不同的，故它們的猶豫度也應(yīng)該不同，但 u（h_i）=0.640（i=3，4，5，6） ，這與人們的直覺不相符。由表2中計算結(jié)果可知 ，但 h₆ 中元素隸屬度之間的差異在猶豫度中占主導地位，這與 π（h_i）（i=7，8） 相符。所以，本文提出的幾何平均猶豫度在一些情形下更具有效性。

2.2基于幾何平均猶豫度的概率猶豫模糊元的距離測度

在研究概率猶豫模糊距離測度方面，一般要求兩個PHFE的元素個數(shù)相等。目前，比較常用的方法是決策者根據(jù)自身偏好添加最大或最小元素，其對應(yīng)概率信息為0。本文利用文獻［17]中統(tǒng)一PHFE長度的方法，將統(tǒng)一長度以后的PHFE稱為標準化PHFE。

根據(jù)定義4，給出基于幾何平均猶豫度的概率猶豫模糊元距離測度的概念。

定義5設(shè) h_?1 和 h₂ 是 X 上的兩個標準化PHFE，基于幾何平均猶豫度， h_?1 和 h₂ 的概率猶豫模糊元的Hamming距離測度定義為

相應(yīng)地，基于幾何平均猶豫度的概率猶豫模糊元的Euclidean距離測度定義為

進一步，基于幾何平均猶豫度的概率猶豫模糊元的廣義距離測度定義為

其中： λgt;0;γ_jⁱ 表示 h_j 中第 i 小的值; pⁱ 為 γ_jⁱ 所對應(yīng)的概率。

定理2設(shè) h₁，h₂ 是 X 上的兩個標準化PHFE，則 滿足定義3中的3個條件。

證明1）因為 ，故有 ，所以

由于 0?π（h₁），π（h₂）?1 ，故 π（h₂）∣?1 ，所以 于是，

因此， 0?d_?Gh（h_?1，h_?2）?1 成立。

2）如果 h₁=h₂ ，那么 且 ∣γ₁ⁱ-γ₂ⁱ∣=0 ，因此， 。

另一方面，如果 ，那么 ∣π（h₁）- π（h₂）∣=0 且 ∣γ₁ⁱ-γ₂ⁱ∣=0 ，故有 γ₁ⁱ=γ₂ⁱ（i=1 2，…，l） ，且對應(yīng)概率相等。因此， h₁=h₂ 。

3）由于

所以，

d_Gh（h₁，h₂）=d_Gh（h₂，h₁）_c

綜上所述， d_Gh（h₁，h₂） 滿足定義3中的3個條件。

例3設(shè) h，h₁，h₂ 為例1中的PHFE，根據(jù)定義5，計算出 d_?Hh（h，h_?1）=0.160，d_?Hh（h，h_?2）=0.050， 。可知待測樣本 h 屬于 h₂ ，這與人們的直覺相符。事實上，根據(jù)定義4計算可知， π（h）=0 ，即從猶豫度的角度分析， h 和 h₂ 距離更近一些。因此，本文提出的基于幾何平均猶豫度的距離測度是有效的。

從表3的計算結(jié)果可以看出，距離測度 d_?H（h_?1） h₂）=d_s（h₁，h₂）=0 ，說明 d_?H 和 d_s 無法區(qū)分 h_?1 和h₂ 。由距離公式 d_?H，d_s，d_?F 得到的計算結(jié)果的排序均為 d（h_?1，h_?4）gt;d（h_?1，h_?3）gt;d（h_?1，h_?2） ，從直觀上來看， d（h_?1，h_?4）gt;d（h_?1，h_?3） 是顯然的，但從PHFE的隸屬度及其對應(yīng)概率來看， h_?1 和 h₂ 之間的距離應(yīng)大于 h_?1 和 h₄ 之間的距離，距離測度 d_?Hh 的計算結(jié)果與直觀相符合。從問題的計算結(jié)果來看，本文提出的距離測度是有效的。

根據(jù)定義5，下面把基于幾何平均猶豫度的概率猶豫模糊元距離測度推廣到概率猶豫模糊集的距離測度。

設(shè) 和 H₂ 是 上的兩個PHFS，基于幾何平均猶豫度，定義 H_?1 和 H₂ 之間的廣義偏好概率猶豫模糊距離測度為

其中： λgt;0;γ_1i^j 為 中第 i 個PHFE h_1i 中第 j 小的值； γ_2i^j 為 H₂ 中第 i 個PHFE h_2i 中第 j 小的值; p_i^j 表示隸屬度 γ_1i^j，γ_2i^j 對應(yīng)概率，且 Σ_j=1ⁱp_i^j=1，l= （204號max（l（h_1i），l（h_2i）），0?α，β?1 且 α+β=1 。

考慮每個元素 x_i∈X（i=1，2，…，n） 的權(quán)重，假設(shè) X 的權(quán)重為 ±bω=（ω₁，ω₂，…，ω_n）^? ，其中 ω_i∈Z [0，1]，且 Σ_i=1ⁿω_i=1 ，定義 和 H₂ 之間的廣義加權(quán)偏好的概率猶豫模糊距離測度，

如果 ，則 d_Ghpω（H₁，H₂）

退化為基于幾何平均猶豫度的廣義偏好距離測度d_Ghp（H₁，H₂） 。

3基于幾何平均猶豫度的距離測度的熵測度

定義 6^[16] 設(shè) h 是PHFE，稱實值函數(shù) E：X→ [0，1］是PHFE h 上的熵測度，如果它滿足性質(zhì)E1＼～E4：

E1） E（h）=0 ，當且僅當 或 h= ;E2） E（h）=1 ，當且僅當 ：E3） E（h）=E（h^c） ：E4） E 關(guān)于 ）單調(diào)遞減。

結(jié)合定義6，基于幾何平均猶豫度的概率猶豫模糊元的廣義距離測度，構(gòu)造概率猶豫模糊元的熵測度為

定理3 設(shè) h 是標準化PHFE，則 d_Gh（h 0

證明由于 ，且 π（h）= π（h^c） ，可以由公式（9）計算得

綜上所述， （20號 。

定理4設(shè) h 是標準化PHFE，則 E_Gh 滿足性質(zhì)E1～E4 ：

E1） E_?Gh（h）=0 ，當且僅當 或 h= ：E2） E_?Gh（h）=1 ，當且僅當 ;

E3） E_?Gh（h）=E_?Gh（h^c） ：E4） E_?Gh 關(guān)于 ）單調(diào)遞減。

證明 這里只證明 λ=1 的情形。

E1）由公式（7）計算得，

當 時， E_?Gh（h）=0 ，當 時，E_?Gh（h）=0 。

E2）當 時， E_?Gh（h）=1 。

E3）由定理3易知， E_Gh（h）=E_Gh（h^c） 。

E4）顯然， E_?Gh 關(guān)于 ）單調(diào)遞減。

文獻［16]定義了一系列PHFE的熵測度

例5設(shè) ， h₂= 和 是3個PHFE。令 λ=1 ，由公式（12）＼～（14）可計算它們的熵測度，結(jié)果如表4所示。

由表4可知，本文提出的PHFE的熵測度排序結(jié)果與文獻[16]中定義的熵測度排序是一致的，說明本文提出的PHFE的熵測度是有效的。在計算過程中，本文提出的熵測度計算更為簡便。

4概率猶豫模糊多屬性決策模型

TOPSIS方法是解決多屬性決策問題的有效工具之一，基于TOPSIS的概率猶豫模糊多屬性決策模型的程序步驟如下所示。

假設(shè)有 ?_m 個備選方案 X_i（i=1，2，…，m），n 個屬性 C_j（j=1，2，…，n） ，相應(yīng)的屬性權(quán)重為 ω= （20 （ω₁，ω₂，…，ω_n）^T 且滿足 。

基于上述信息，概率猶豫模糊多屬性決策模型步驟如下。

Step1構(gòu)建概率猶豫模糊決策矩陣 H= （h_ij）_m×n，h_ij（1?i?m，1?j?n） 是方案 X_i 關(guān)于屬性 C_j 的概率猶豫模糊評估值。

Step2利用本文提出的熵測度計算 C_j（j=1 ，2，…，n） 的屬性權(quán)重，得到所有屬性的熵權(quán)重

Step3 確定概率猶豫模糊集的正理想解 H⁺ 和負理想解 H^- ：

Step4根據(jù)公式（16）計算各備選方案 X_i 與理想解的相對貼近度

并按照相對貼近度 r（X_i）（i=1，2，…，m） 由大到小的順序?qū)Ψ桨?X_i（i=1，2，…，m） 進行排序， r（X_i） 值越大，則方案 X_i 越優(yōu)。

5算例分析

5.1 算例

例6投資項目選擇問題對于公司的長遠發(fā)展是非常重要的，因為它會影響公司的經(jīng)濟效益和未來的發(fā)展。為了便于比較，本文采用文獻[6]中的數(shù)值算例，請了5位投資專家對一家公司的投資計劃進行評估。通過考察，確定了3個投資項目，分別是：1）某中學教師教育培訓項目 （X₁）：2） 公務(wù)員考試培訓項目 （X₂）：3） ，崗前培訓項目 （X₃） 。

問題是在上述項目中選擇公司投資的最佳項目。為了評估選擇哪個項目，要考慮4個效益型屬性，即：1）經(jīng)濟回報 （C₁） ）;2）市場容量 （C₂）：3） 與公司長期目標相一致 （C₃）：4） 可用資源 （C₄） 。文獻[6]中的決策矩陣表示為表5。在不失一般性的前提下，假設(shè)參數(shù) λ=1，α=β=0.5 。為了獲得最佳的投資計劃，提出以下決策過程。

Step1 概率猶豫模糊決策矩陣 如表5所示。

Step2利用本文提出的概率猶豫模糊元的熵測度計算得到屬性權(quán)重為

Step3概率猶豫模糊集的正理想解 ， ， ；負理想解為 ，其中 n 。計算備選方案 X_i（i=1，2，…，m） 分別與正理想解 h⁺ 和負理想解 h^- 的加權(quán)距離測度 d_Ghpω（X_i ，H⁺ ） d_Ghpω（X_i，H^-） ，這里取 λ=1，α=β=0.5， 0

d_?Ghpω（X₁，H⁺）=0.329，d_?Ghpω（X₁，H^-）=0.305

d_?Ghpω（X_?2，H^?+）=0.379，d_?Ghpω（X_?2，H^?-）=0.240，

Step4計算各備選方案 X_i 與理想解的相對貼近度： r（X₁）=0.481，r（X₂）=0.387，r（X₃）=0.478 對計算結(jié)果進行排序： ，故有 X₁gt;X₃gt;X₂ ，可以確定項目 X₁ 是最優(yōu)的。

從上面計算結(jié)果來看，本文提出的方法產(chǎn)生的排名結(jié)果與文獻［6]中采用的基于熵和交叉熵的TOPSIS方法產(chǎn)生的結(jié)果相同，因此本文提出的方法是有效的。

5.2 靈敏度分析

為了分析本文提出模型的穩(wěn)定性，通過對參數(shù)_α，β 取不同的數(shù)值進行靈敏度分析。為了方便討論，取 λ=1 ，并令 α 和 β 分別取0.1，0.2，0.6，0.8和 _{0.9，0.8，0.4，0.2} ，觀察不同參數(shù)取值下的備選方案排序情況，排序結(jié)果如表6所示。可以看出，隨著參數(shù) α，β 的取值變化，最佳方案 X₁ 的排序結(jié)果并沒有發(fā)生改變，由此可知，改變參數(shù) α 和 β 的取值不影響備選方案的排序結(jié)果。

另一方面，取 α=β=0.5 ，改變參數(shù) λ 的取值進行靈敏度分析。令 λ=1，2，3 ，觀察不同取值下備選方案的排序情況，排序結(jié)果如表7所示。可以看出，隨著參數(shù) λ 的取值變化，最佳方案 X₁ 的排序結(jié)果沒有發(fā)生改變。也就是說，改變參數(shù) λ 的取值不影響備選方案排序結(jié)果，

綜合對參數(shù) λ，α，β 的敏感性分析，說明了本文方法的穩(wěn)定性和可行性。

6 結(jié)語

本文研究了屬性權(quán)重未知的概率猶豫模糊多屬性決策問題。為了充分考慮決策者猶豫不決的程度，針對概率猶豫模糊元中元素之間隸屬度差異和元素的個數(shù)不同，定義了猶豫模糊元的幾何平均猶豫度，提出了包含幾何平均猶豫度的概率猶豫模糊元距離測度。進一步，考慮屬性權(quán)重在決策過程中的重要地位，根據(jù)本文提出的距離測度構(gòu)建概率猶豫模糊元熵測度，由熵權(quán)法確定屬性權(quán)重。最后結(jié)合TOPSIS方法，給出了概率猶豫模糊多屬性決策模型。通過具體案例，并對相應(yīng)的參數(shù)進行了靈敏度分析，驗證了所提方法的可行性和實用性。

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