考慮柔性軸承徑向變形的諧波齒輪負(fù)載變形研究

中圖分類號(hào)：TH132.43 DOI： 10.16578/j.issn.1004.2539.2025.05.010

0 引言

諧波齒輪傳動(dòng)裝置最初由美國(guó)學(xué)者WALTON在1955年設(shè)計(jì)并提出，具有傳動(dòng)比范圍廣、承載能力高、運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)確性好等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空航天、工業(yè)機(jī)器人、醫(yī)療器械等行業(yè)[2]。

為獲知負(fù)載工況下齒面嚙合力分布及其齒體受力狀況，柔輪負(fù)載嚙合力分布研究一直是諧波齒輪負(fù)載研究的難點(diǎn)問(wèn)題。王梓熒等3提出基于空載側(cè)隙和周向嚙合剛度理論模型的計(jì)算方法，得到不同負(fù)載工況下嚙合力的分布規(guī)律。等4利用精確算法計(jì)算了裝配條件下的側(cè)隙分布，并利用在柔輪齒上施加嚙合力的方式求解柔輪齒廓嚙合點(diǎn)的周向剛度，用于分析側(cè)隙隨負(fù)載的變化規(guī)律。馬南飛對(duì)諧波齒輪傳動(dòng)中柔輪齒的載荷分布與變形之間的關(guān)系進(jìn)行了研究。陳曉霞等[6]81-88為揭示負(fù)載工況下諧波齒輪傳動(dòng)的多齒嚙合狀態(tài)，建立了三圓弧空間齒廓實(shí)體單元諧波齒輪有限元模型，分析表明，三圓弧空間齒廓在波發(fā)生器長(zhǎng)軸區(qū)設(shè)置最小初始側(cè)隙，可以以更小的接觸壓力承載更大的負(fù)載轉(zhuǎn)矩；隨著負(fù)載的增加，最大嚙合力向長(zhǎng)軸右側(cè)偏移，呈平臺(tái)式分布。

為拓寬負(fù)載嚙合力分布范圍，降低最大嚙合力，柔輪負(fù)載研究是諧波齒輪研究的熱點(diǎn)。LI等考慮與柔輪和凸輪裝配后軸承外圈的錐度和軸向變形，建立了薄壁柔性軸承滾珠載荷靜態(tài)分析模型。XU等[8基于諧波傳動(dòng)理論推導(dǎo)了柔性軸承變形協(xié)調(diào)方程，并對(duì)不同波發(fā)生器凸輪形狀形成的柔性軸承的變形特性進(jìn)行了研究。YU等基于薄壁圓環(huán)理論推導(dǎo)了三力圓環(huán)徑向位移與載荷的關(guān)系，建立了三力環(huán)疊加模型，計(jì)算了諧波減速器中橢圓凸輪柔性軸承的載荷分布。潘雪嬌等[考慮柔性軸承裝配后外圈發(fā)生的彎曲變形，建立了柔性軸承載荷分布與變形之間的關(guān)系，并利用有限元仿真手段進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證，結(jié)果表明，理論與仿真相符，載荷分布情況也相符。

早期，伊萬(wàn)諾夫1154-63通過(guò)試驗(yàn)方法得出漸開線齒廓的負(fù)載變形和應(yīng)力的計(jì)算公式。DONG等12利用等厚度殼體理論研究了負(fù)載條件下柔輪變形。為預(yù)測(cè)柔輪疲勞失效位置，劉文芝等3建立了實(shí)體單元柔輪仿真模型，利用三維彈性接觸法研究了負(fù)載狀態(tài)下柔輪齒圈、筒體應(yīng)力的大小及分布規(guī)律。CHEN等[14-15考慮輪齒接觸載荷的影響，建立了柔輪有限元模型，研究了空載和承載條件下柔輪齒圈的中性面、齒尖處變形和應(yīng)力分布規(guī)律。PACANA等分析了空載和額定負(fù)載作用下多個(gè)軸向截面的柔輪應(yīng)力分布。董惠敏等通過(guò)有限元手段提取了柔輪中面節(jié)點(diǎn)變形數(shù)據(jù)，基于負(fù)載變形的經(jīng)驗(yàn)式，利用傅里葉函數(shù)擬合得到負(fù)載變形函數(shù)。

然而，現(xiàn)有齒廓設(shè)計(jì)僅依據(jù)空載裝配變形進(jìn)行齒廓設(shè)計(jì)，未有理論算法給出負(fù)載對(duì)輪齒側(cè)隙的影響。負(fù)載變形分析及負(fù)載引起的輪齒周向位移可以為齒廓設(shè)計(jì)中的側(cè)隙設(shè)置提供更準(zhǔn)確的依據(jù)，使負(fù)載工況下更多參與嚙合的輪齒上的嚙合力更均衡。

本文基于赫茲理論[18]116-11建立了柔性軸承徑向載荷與位移的關(guān)系，并給出考慮間隙以及柔輪周向伸長(zhǎng)等因素影響下柔輪齒圈的負(fù)載變形理論公式，最后通過(guò)有限元仿真對(duì)理論公式進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證。

1單滾珠柔性軸承的徑向剛度

柔性軸承是維持柔輪變形和齒面正確嚙合的重要部件。在嚙合力引起的徑向力作用下，軸承徑向變形不僅影響輪齒嚙合關(guān)系，還會(huì)引起輪齒周向位移，顯著改變裝配狀態(tài)下的輪齒嚙合狀態(tài)。因此，柔性軸承的徑向剛度及其負(fù)載變形，是負(fù)載工況下嚙合力分析的重要影響因素。

空載狀態(tài)下的滾珠與滾道很接近點(diǎn)接觸，負(fù)載狀態(tài)下的點(diǎn)接觸擴(kuò)展為隨負(fù)載增大不斷增大的面接觸。

1.1徑向負(fù)載下接觸區(qū)內(nèi)的壓力分布

赫茲理論[18]1假定：接觸區(qū)的壓力為在中心點(diǎn)壓力最大、邊緣為0的橢球分布。接觸區(qū)域形狀為長(zhǎng)半軸 a 和短半軸 b 的橢圓。

根據(jù)接觸壓力與徑向力 之間的平衡關(guān)系

式中， 為最大接觸壓力。

可求解得到接觸區(qū)的最大接觸壓力為

1. 2 不同區(qū)的接觸變形

柔性軸承接觸包括滾珠與內(nèi)、外滾道兩個(gè)接觸區(qū)域。以滾珠與內(nèi)滾道的接觸分析為例，給出分析過(guò)程，外滾道的變形同理。

為確定接觸區(qū)域的接觸變形，需要根據(jù)橢圓接觸區(qū)形狀，考慮接觸變形過(guò)程中的變形協(xié)調(diào)方程。

徑向力 作用下滾珠與滾道相互接觸。滾珠與內(nèi)、外圈的彈性模量和泊松比分別為 E 和 μ 。

由于接觸區(qū)很小，Boussinesq利用彈性力學(xué)位移方程得到接觸表面沿載荷方向 點(diǎn)的位移/18]18-13有

引入橢圓偏心率 ，則式（3）轉(zhuǎn)化為 （4

其中，

式中， F（ e ） 和E （ e ） 分別為第一類和第二類完全橢圓積分。

滾珠與內(nèi)滾道接觸時(shí)，對(duì)其在接觸變形后的曲面位移進(jìn)行泰勒展開并求和，僅保留2階項(xiàng)，即

式中， 為滾珠的直徑； 為內(nèi)滾道槽半徑系數(shù)；

為滾珠中心圓直徑。

如圖1所示，半徑分別為 、 的兩球體在 o 點(diǎn)彈性接觸。距離公共法線為 r 的點(diǎn) 和點(diǎn) 與 o 點(diǎn)切平面的距離分別為 和 ： 、 分別為指向球體1和球體2中心的坐標(biāo)軸。

由于接觸面尺寸與球體半徑相比很小，變形前點(diǎn) 和點(diǎn) 間的距離為 。變形后重合的點(diǎn) 和點(diǎn) 分別沿 和 軸產(chǎn)生位移 、 ，有

式中， 為兩接觸體的彈性趨近量。

將式（4）和式（5）代入式（6），對(duì)各項(xiàng)系數(shù)比較，得到滾珠與內(nèi)滾道的彈性趨近量為

式中， 為滾珠和內(nèi)滾道在接觸點(diǎn)的主曲率和[18]5-8內(nèi)滾道與滾珠的接觸變形系數(shù)為

同理，滾珠與外滾道的彈性趨近量為

式中， 為滾珠和外圈接觸點(diǎn)的主曲率和[18]6-8。外滾道與滾珠的接觸變形系數(shù) 與內(nèi)滾道計(jì)算公式相同。

單滾珠柔性軸承的彈性趨近量為

2負(fù)載條件下柔輪齒圈的變形

負(fù)載嚙合力不僅引起周向嚙合力，同時(shí)產(chǎn)生徑向力，使軸承滾珠受壓變形。軸承的徑向變形使負(fù)載工況下的嚙人段齒圈顯著偏離原有的波發(fā)生器等距線位置；嚙出段齒圈會(huì)在周向力作用下，脫離波發(fā)生器約束。負(fù)載傳動(dòng)中，柔輪變形形狀取決于波發(fā)生器的形式，更多地受嚙合力分布和剛輪影響。

2.1柔性軸承作用下柔輪齒圈的徑向位移

本文第1節(jié)推導(dǎo)了單滾珠柔性軸承徑向剛度的計(jì)算式。本文采用滾珠數(shù)為23的柔性軸承，由于齒圈的彎曲剛度比柔性軸承的徑向剛度小得多，因此，將齒面上的徑向力按照每個(gè)滾珠之間的周向?qū)ΨQ線分隔。滾珠的承載區(qū)沿圓周方向均分，以滾珠中心為起點(diǎn)，每個(gè)滾珠的承載區(qū)范圍為 ， 3 6 0 / 1。將已知嚙合力的徑向分力就近分配至每個(gè)滾珠，對(duì)每個(gè)滾珠承載區(qū)范圍內(nèi)的徑向分力求和后代入式（9），得到嚙入段柔輪齒圈的徑向位移。

本文中輪齒上的嚙合力為周向力，根據(jù)兩者的關(guān)系，有

式中， α 為輪齒的壓力角。

2.2嚙合力引起柔輪齒圈的周向位移

輪齒上的嚙合力需要全部傳遞至杯底以平衡負(fù)載轉(zhuǎn)矩。嚙合力分布可以拆分為平均項(xiàng)和波動(dòng)項(xiàng)。其中，平均項(xiàng)剪力流與柔輪端面的轉(zhuǎn)矩相平衡，這部分力不改變?nèi)彷喌男螤睿徊▌?dòng)項(xiàng)引起柔輪齒圈周向伸長(zhǎng)，并引起齒圈變形。

作用于短軸上半?yún)^(qū)每個(gè)輪齒上的平均項(xiàng) 為

式中， 為柔輪齒數(shù)； 為不同極角 φ 所對(duì)應(yīng)的嚙合力。

引起柔輪齒圈拉伸的周向力為

式中， 為嚙合區(qū)各個(gè)輪齒上的嚙合力。

柔輪伸長(zhǎng)引起的周向位移為

式中， k 為考慮附加載荷系數(shù)； 為柔輪中面半徑；

為齒圈的寬度； 為柔輪壁厚。

2.3柔輪齒圈在上半?yún)^(qū)的變形表達(dá)

如圖2所示， 為柔輪短軸位置， 為長(zhǎng)軸位置。由于柔輪的變形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此，本文僅對(duì)短軸上半?yún)^(qū)進(jìn)行分析。長(zhǎng)軸左側(cè)柔輪 段與波發(fā)生器分離；長(zhǎng)軸右側(cè)柔輪 A B 段與波發(fā)生器完全貼合。

2.3.1 A B 段齒圈徑向和周向變形

A B 段變形由柔性軸承徑向剛度、柔輪-波發(fā)生器間的間隙以及柔輪周向伸長(zhǎng)的共同影響所引起。

式中， 為不考慮間隙和接觸變形影響下橢圓波發(fā)生器作用下柔輪齒圈的徑向變形[19]； u 為柔輪系統(tǒng)中的間隙； 為柔性軸承徑向變形引起的齒圈徑向變形。

2.3.2AM段的齒圈變形

A M 段的變形按照定半徑的圓弧[1I8確定。

式中， 為柔輪的初始最大徑向變形量； 為滾珠上最大徑向力所對(duì)應(yīng)的徑向變形。

2.3.3MB'段的齒圈變形

段的形狀為滿足與 A M 段連接處和短軸處邊 界條件的自由變形曲線。

式（16）中的常數(shù) 人 ！ 人 和 的值由以下連接條件確定：

M 點(diǎn)處，

1）

2）

3）

B 點(diǎn)處， φ = π / 2 rad

4）

5）

6）

求解得到

2.3.4直母線假定下齒圈空間變形

根據(jù)直母線假定，任意軸向位置 L 處柔輪的最大徑向變形為

式中， 為齒圈中截面至杯底的距離。

2.4計(jì)算實(shí)例

諧波齒輪的主要參數(shù)：柔輪齒數(shù) ，壓力角 。柔輪筒體內(nèi)壁半徑 ，筒長(zhǎng) l= 3 3 . 7 m m 。筒體壁厚 ，柔輪齒圈寬度 1 0 m m 。柔輪中面曲線半徑 。柔輪-波發(fā)生器的配合間隙 。柔輪最大徑向變形量 。

CSF-25-120型諧波齒輪各負(fù)載工況及其對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)矩：額定輸出轉(zhuǎn)矩（Ratedtorque，RAT）工況為 6 7 N?m 容許最大平均負(fù)載轉(zhuǎn)矩（Permissiblemaximumvalueofaverageloadtorque，AVT）工況為 1 0 8 N ? m ；啟動(dòng)停止時(shí)的容許轉(zhuǎn)矩峰值（Permissible peak torque for startandstop，STT）工況為 1 6 7 N ? m 。它們的嚙合力的周向分量如圖3所示[6]84

2.4.1 齒圈的徑向變形求解

將圖3給定的不同負(fù)載工況下的嚙合力分布代入式（10），得到輪齒上的徑向力；代入式（9），確定柔性軸承影響下柔輪齒圈的徑向變形。將計(jì)算參數(shù)代入式（14），確定柔輪齒圈在 A B 段的變形{圖4（a） ， 1}。

將上述參數(shù)代入式（15），確定柔輪齒圈在AM段的變形。 M 點(diǎn)的位置根據(jù)柔性軸承在長(zhǎng)軸處引起的徑向位移、柔輪-波發(fā)生器中的間隙值、柔輪在長(zhǎng)短軸處的邊界位移條件以及周向力在短軸處引起的周向伸長(zhǎng)確定，可由式（17）迭代求解得到{圖4（a） ， 。將 的值代入式（17），得到常數(shù) 、 、 的值；代入式（16），確定柔輪齒圈在 段的變形{[圖 ， 。

2.4.2齒圈的周向變形求解

將實(shí)例參數(shù)代入式（13），確定 的大小；將柔輪齒圈在 A B 段的徑向變形積分，兩者疊加，確定柔輪齒圈在 A B 段的周向變形{圖 ， 。AM段和 段的周向變形通過(guò)相應(yīng)的徑向變形積分確定。A M 段對(duì)應(yīng)圖 ， ， 段對(duì)應(yīng)圖4（b） ，

圖4所示為柔輪齒圈在不同負(fù)載工況下的徑向、周向變形。圖4中， 為長(zhǎng)軸位置，長(zhǎng)軸左、右兩側(cè)分別為嚙出區(qū)、嚙入?yún)^(qū)。隨負(fù)載增大，嚙入?yún)^(qū)柔輪的徑向位移逐漸減小。這是因?yàn)槿嵝暂S承承擔(dān)逐漸增大的載荷，造成徑向壓縮量增大。

嚙出區(qū)形成的定半徑圓弧大小隨載荷的增大而增大，柔輪向外凸起的現(xiàn)象愈加明顯。最大周向變形在嚙入?yún)^(qū)隨載荷的增加而減少，且周向變形出現(xiàn)的最大位置處隨載荷的增加逐漸向左移動(dòng)。這是因?yàn)檩嘄X周向分布力隨載荷的增大而增大，造成拉伸周向力增大；嚙出區(qū)載荷對(duì)于定半徑圓弧的周向變形影響不大。但在與徑向變形相對(duì)的凸起區(qū)域，隨載荷的增大，柔輪的周向變形也增大。

3軸承剛度和柔輪變形的有限元仿真

為了驗(yàn)證本文理論方法的正確性，建立了基于實(shí)體單元的柔輪和波發(fā)生器有限元模型。首先，進(jìn)行柔性軸承徑向剛度的仿真；其次，對(duì)包含橢圓凸輪波發(fā)生器和柔輪進(jìn)行負(fù)載變形仿真。

3.1單滾珠柔性軸承徑向剛度仿真驗(yàn)證

為研究柔性軸承徑向載荷作用下的徑向剛度，建立圖5（a）所示的單滾珠柔性軸承模型。在柔性軸承滾道與滾珠接觸位置進(jìn)行網(wǎng)格加密；將外圈外表面的節(jié)點(diǎn)耦合，在耦合點(diǎn)處施加不斷增大的徑向載荷，模擬柔性軸承的受載變形。

柔性軸承的外徑為61. 3 2 m m ，內(nèi)徑為 4 5 . 2 m m 。內(nèi)外滾道直徑分別為 4 7 . 7 0 4m m 和 5 8 . 8 1 6 m m 。內(nèi)外滾道槽半徑分別為 2 . 9 1 6 9 m m 和 2 . 8 6 1 3 4 m m 。滾珠直徑為 5 . 5 5 6m m 。

將以上參數(shù)代人式（8）和式（9），分別計(jì)算柔性軸承外圈滾道面和外圈外表面的徑向變形的理論結(jié)果（圖6）。基于單滾珠柔性軸承有限元模型，分別提取外圈外表面和外圈滾道面在不同徑向載荷下的徑向變形（圖6）。

由圖6可知，通過(guò)有限元提取柔性軸承外圈外表面的徑向變形并與理論結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，兩者的偏差隨載荷的增大而不斷增大，最大偏差僅為 5 μm 同時(shí)有限元結(jié)果與理論結(jié)果吻合良好，說(shuō)明理論方法具有一定的合理性。

3.2柔輪負(fù)載變形的仿真計(jì)算

與實(shí)例計(jì)算參數(shù)一致，建立圖5（b所示的有限元模型。柔輪和柔性軸承選用Solid186實(shí)體單元，橢圓凸輪選用Shell63殼單元。所有材料的彈性模量 E = 2 1 0 G P a ，泊松比 μ = 0 . 3 。

建立橢圓凸輪、柔性軸承以及柔輪之間的接觸關(guān)系。對(duì)柔輪杯底內(nèi)孔外徑的所有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行全約束，對(duì)橢圓凸輪約束全自由度，對(duì)柔性軸承內(nèi)圈約束軸向自由度；約束滾珠沿徑向方向上所有節(jié)點(diǎn)的周向及軸向自由度。在柔性軸承支承截面的輪齒表面施加圖3所示的嚙合力分布，對(duì)不同負(fù)載工況進(jìn)行大變形求解。求解后進(jìn)入后處理模塊，定義沿齒圈中截面 ， 的周向路徑，提取該路徑上的徑向位移和周向位移（圖7）。

圖7（a）所示為柔輪齒圈中截面不同負(fù)載工況下的徑向位移的FEA結(jié)果。圖中， 長(zhǎng)軸的右側(cè)從小負(fù)載 額載 超載工況，柔輪沿徑向的變形量隨負(fù)載不斷增大，這是由柔性軸承的徑向變形引起的。長(zhǎng)軸左側(cè)柔輪的徑向位移隨負(fù)載的增加而不斷向外增大，柔輪的外凸變形更加明顯，使得該區(qū)域有更多的輪齒參與嚙合。

圖7（b）所示為柔輪齒圈中截面周向位移的FEA結(jié)果。隨負(fù)載的不斷增大，長(zhǎng)軸右側(cè)周向變形的最大值向長(zhǎng)軸左側(cè)偏移。這是由柔輪沿周向的伸長(zhǎng)不斷增大引起的。隨負(fù)載增大，長(zhǎng)軸左側(cè)的周向變形不斷增大。這與徑向變形規(guī)律一致。

3.3柔輪負(fù)載變形理論與有限元對(duì)比

提取柔輪齒圈中截面位置處的徑向位移并與理論結(jié)果作差[圖8（a）]，RAT工況下兩者最小偏差為2 . 0 1 μ m 。隨載荷增大，偏差逐漸增大，至STT工況最大，為 ， 1為偏差發(fā)生的主要范圍，原因是輪齒上的嚙合力在該區(qū)域轉(zhuǎn)變?yōu)閺较蛄ψ饔糜谌嵝暂S承時(shí)偏小，造成理論結(jié)果整體偏小。

圖8（b）所示為柔輪齒圈周向位移差值。隨載荷增大，理論解與有限元解的偏差增大。這與徑向位移的偏差規(guī)律基本類似。長(zhǎng)軸左側(cè)嚙出區(qū)周向位移的偏差相比于嚙入?yún)^(qū)更大。原因是嚙出區(qū)齒圈的周向力理論值與實(shí)際存在較大偏差。

3.4載荷引起柔輪齒圈的徑向變形分析

為具體分析負(fù)載大小對(duì)柔輪變形的影響，分別將各負(fù)載工況下柔輪變形與空載裝配變形作差，以反映柔輪變形隨載荷大小的變化規(guī)律。圖9所示為載荷引起的柔輪齒圈徑向變形的理論解和有限元結(jié)果。

由圖9可知，對(duì)比載荷引起的柔輪齒圈變形的理論與FEA結(jié)果發(fā)現(xiàn)，相同工況下，負(fù)載引起柔輪齒圈位移的理論結(jié)果偏小。STT工況下，負(fù)載引起的柔輪徑向變形的理論解與FEA結(jié)果的最大偏差為1 6 . 6 μ m ；理論解和FEA結(jié)果的最大值分別出現(xiàn)在長(zhǎng)軸左側(cè) 和 的位置處；對(duì)比有限元仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，本文理論模型的0位移點(diǎn)在短軸，F(xiàn)EA模型卻在短軸偏右 的位置。對(duì)比圖8（a）與圖8（b）發(fā)現(xiàn)，本文的理論模型與有限元結(jié)果在短軸處存在較大偏差。

3.5錐度變形下柔輪齒圈空間變形對(duì)比

柔輪變形后，柔輪筒體上的任意一條母線均假定為直線。在橢圓凸輪波發(fā)生器作用下，柔輪筒體產(chǎn)生錐度變形。

以RAT工況下柔輪齒圈中截面的變形為基礎(chǔ)，基于直母線假定，求解獲得齒圈軸向前截面和后截面的理論結(jié)果，并提取相應(yīng)工況的有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖10所示。由圖10可知，軸向不同截面的齒圈徑向變形偏差出現(xiàn)在長(zhǎng)軸附近，前截面的最大偏差為 2 . 4 6 μ m ，中截面的最大偏差為 2 . 2 7 μ m ，后截面的最大偏差為 9 . 6 4 μ m 。

4結(jié)論

利用赫茲接觸理論給出柔性軸承徑向剛度的計(jì)算式，并給出柔輪齒圈的負(fù)載變形計(jì)算方法，為后續(xù)負(fù)載條件下的齒廓設(shè)計(jì)提供了側(cè)隙設(shè)置依據(jù)。

給出嚙入?yún)^(qū)由柔性軸承接觸變形引起的柔輪齒圈的徑向變形以及柔輪伸長(zhǎng)引起的柔輪的周向變形。對(duì)比研究得出以下結(jié)論：

1）柔輪齒圈在柔性軸承支承截面的理論與有限元結(jié)果吻合良好。

2）本文的負(fù)載變形方法適用于計(jì)算任意分布的

嚙合力作用下齒圈周向變形，可以為齒廓設(shè)計(jì)中的側(cè)隙設(shè)置提供依據(jù)

參考文獻(xiàn)

[1]WALTON M C.Strain wave gearing：US2906143[P].1959-09-29.

[2]王瑞鋒，張立勇，張建偉，等.諧波齒輪傳動(dòng)概述[J].機(jī)械傳動(dòng)， 2019，43（1） ：171-176. WANG Ruifeng，ZHANG Liyong，ZHANG Jianwei，etal. Summaryofharmonic gear drive[J]. Journal of Mechanical Transmission， 2019，43（1） ：171-176.

[3］王梓熒，杜群貴，鄭東州，等.基于空載側(cè)隙與周向嚙合剛度的 諧波減速器嚙合力研究[J].機(jī)械傳動(dòng)，2021，45（11）：11-15. WANG Ziying，DUQungui，ZHENG Dongzhou，etal. Research on meshing force of harmonic reducer based on no-load backlash and circumferential meshing stiffness[J]. Journal of Mechanical Transmission，2021，45（11）：11-15.

[4]陳曉霞，楊朋朋，邢靜忠，等.諧波齒輪負(fù)載側(cè)隙和嚙合力分布 規(guī)律研究[J].西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2018，52（7）：9-17. CHEN Xiaoxia，YANG Pengpeng，XING Jingzhong，et al. Researchon distributionofloadingbacklashandmeshing forceof harmonic drive[J]. Journal of Xi'an Jiaotong University，2018，52 （7）：9-17.

[5］馬南飛．雙圓弧諧波齒輪傳動(dòng)側(cè)隙分析及齒間載荷分布研究 [D].重慶：重慶大學(xué)，2014：37-44. MANanfei.Backlash and load distribution analyzingbetween the teeth of flexspline of harmonic drive with double circular-arc tooth profile[D]. Chongqing：Chongqing University，2014：37-44.

[6]陳曉霞，劉軍波，邢靜忠，等.三圓弧齒廓諧波齒輪的負(fù)載嚙合 性能仿真[J].天津工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2023，42（2）：81-88. CHEN Xiaoxia，LIU Junbo，XING Jingzhong，et al. Simulation of load meshing performance of harmonic gear with tri-arc tooth profile[J]. Journalof Tiangong University，2023，42（2）：1-88.

[7]LIXZ，SONGCS，ZHUCC，etal.Load analysis of thin-walled flexible bearing in harmonic reducer considering assembly with flexspline and cam[J].Mechanism and Machine Theory，2023， 180：105154.

[8]XU ZX，WANG Y Z，WANG HF.Calculation and analysis of deformation characteristic and energy dissipation of flexible bearings in harmonic drive for industrial robots[J].Journal of Physics：Conference Series，2022，2365（1）：012032.

[9]YU Y，ZHU E，CHEN XY，et al. Load analysis and deformation research of the flexible bearing based ona three-force ring superpositionmethod[J].Mechanicsamp;Industry，2021，22：34.

[10]潘雪嬌，董紹江，穆書鋒，等.裝配變形下諧波減速器中柔性軸 承載荷分布與疲勞壽命研究[J].機(jī)械強(qiáng)度，2020，42（2）： 453-458. PAN Xuejiao，DONG Shaojiang，MU Shufeng，et al.Research on load distribution and fatigue life of flexible bearings in harmonic drive after assembly deformation [J].Journal of Mechanical Strength，2020，42（2）：453-458.

[11］伊萬(wàn)諾夫MH.諧波齒輪傳動(dòng)[M].沈允文，李克美，譯.北京： 國(guó)防工業(yè)出版社，1987：13-22，54-70. IWANNOVMH.Theharmonicdrive[M].SHENYunwen，LIKemei，Jr.Beijing：National Defense Industry Press，1987：13-22， 54-70.

[12]DONGHM，TINGKL，WANGDL.Kinematic fundamentalsof planarharmonic drives［J].Journal ofMechanical Design，2011， 133（1）：011007.

[13］劉文芝，張乃仁，張春林，等.諧波齒輪傳動(dòng)中杯形柔輪的有限 元計(jì)算與分析[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2006，42（4）：52-57. LIUWenzhi，ZHANGNairen，ZHANGChunlin，etal.Finiteelement calculation and analysis on the column-shaped flex spline of harmonic drive[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering， 2006，42（4）：52-57.

[14]CHENXX，LINSZ，XINGJZ.Modeling of flexspline and contactanalyses of harmonic drive[J].Key Engineering Materials， 2009，419/420：597-600.

[15]CHENXX，LIN S Z，XING JZ.Deformation of flexspline under transmission forcein harmonic drive[J].Advanced MaterialsResearch，2010，97/98/99/100/101：3536-3539.

[16]PACANAJ，WITKOWSKIW，MUCHAJ.FEManalysis of stress distributioninthehermeticharmonicdriveflexspline[J].Strength ofMaterials，2017，49（3）：388-398.

[17］董惠敏，張春懋.齒嚙式諧波傳動(dòng)柔輪負(fù)載變形函數(shù)及齒形修 正的研究[J].機(jī)械傳動(dòng)，2011，36（7）：7-11. DONG Huimin，ZHANG Chunmao.Studyon deformation function offlexible gearunder load and its tooth profile modification of tooth-locked-output harmonic drive ［J].Journal of Mechanical Transmission，2011，36（7）：7-11.

[18］楊咸啟.滾動(dòng)軸承幾何與力學(xué)參數(shù)化設(shè)計(jì)和工程問(wèn)題分析[M]. 合肥：合肥工業(yè)大學(xué)出版社，2021：5-9，116-124. YANG Xianqi.Parametric design of rolling bearing geometry and mechanics and analysis of engineering problems[M.Hefei：Hefei UniversityofTechnologyPress，2021：5-9，116-124.

[19］邢靜忠，陳亮，陳曉霞，等.三圓弧諧波齒輪空間齒廓設(shè)計(jì)與扭 轉(zhuǎn)剛度的有限元仿真[J].機(jī)械傳動(dòng)，2023，47（9）：37-43. XINGJingzhong，CHENLiang，CHENXiaoxia，etal.Spatial tooth profile design of triple-circular-arc harmonic gears and finite element simulation of torsional stiffness[J].Journal ofMechanical Transmission，2023，47（9）：37-43.

Study on the deformation of harmonic gear load considering the radial deformation of flexible bearings

GAO Zhengxin'XING Jingzhong1，2 CHENXiaoxial （1.TianjinKeyLaboratoryofodernechatronicsEquipmentTechnology，TiangongUnversityTanjin3387，ina） （2.SchoolofAeronauticsandAstronautics，Tiangong University，Tianjin3oo387，China）

Abstract：[Objective]Toprovide thebasisofbacklash fortoth profiledesignofharmonicgears，acalculationmethodof flexsplineloaddeformationwasestablished.[Methods]BasedonHertzcontacttheory，atheoreticalformulafortheradial stifessofflexible bearingswasobtained.Takingintoacounttheradialdeformationofflexsplinesandtheresulting circumferentialdisplacementandelongationofthetoothring，formulasforloaddeformationoftheflexsplinetoothringunder theactioofmeshingforce werederived.Aflexsplineassmblymodelcontainingtheflexiblebearingwasestablishedwiththe solidelement，andthedeformationsofthetoothringindifferentaxialcrosssectionscausedbythemeshingforcewassimulated tovalidatethetheoreticalformulas.[Results]Itisfoundthatthetheoreticalformulareflectsthedeformationoftheflexspline tooth ring in thebearing supporting section，but thereare smalldeviations in the front andrear sections.

KeyWords：Hertz theory; Flexible bearing;Meshing force;Load deformation