時滯反饋控制下超磁致伸縮致動器非線性動力學特性研究

中圖分類號：TH122；TH113.1 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.05.012

0 引言

超磁致伸縮材料（GiantMagnetostrictiveMaterial，GMM）作為一種新型高效磁-機械轉換材料，與傳統磁致伸縮材料相比，在激勵磁場作用下能產生更大的位移和輸出力。用GMM研制的超磁致伸縮致動器（GiantMagnetostrictiveActuator，GMA）具有精度高、響應速度快和功耗小等優點，被廣泛應用于機械自動化、航空航天和能量收集等領域[-5]。

然而，GMA系統在運行過程中會受到多個耦合非線性影響，容易進入到不穩定甚至混沌運動中，嚴重阻礙GMA系統在精密定位控制和機械加工等領域的應用6。ZENG等建立了GMA的大功率非線性數學模型；研究表明，增加阻尼系數可提高其輸出穩定性，較低的系統剛度會產生混沌現象。GAO等[9]基于GMA磁-機耦合模型，研究了系統的動態特性；研究表明，系統剛度系數和阻尼系數較小時，系統容易產生混沌現象。閆洪波等建立了分數階阻尼的GMA動力學系統模型；研究表明，阻尼的分數階次越小，系統越容易產生失穩現象。NKAMGANG等[建立了薄磁致伸縮作動系統的動力學數學模型;研究表明，在不同結構參數下，系統表現出復雜的多穩態和反單調性。值得注意的是，目前有關GMA系統的分岔和混沌現象研究主要集中于系統參數變化所引起的非線性現象，對控制GMA系統的分岔和混沌現象的研究還較少，但在其他非線性動力學中展開了大量研究。

近年來，為了控制系統中非線性不穩定性和分岔行為，大量學者通過建立基于非線性時滯微分方程模型來分析系統的振動。CHEN等建立了一種具有時滯反饋控制的新型環形減振結構懸架系統；研究表明，在保證系統穩定的情況下，調節時滯參數能顯著改善車身的減振效果。WATANABE等[3研究了時滯反饋控制下彈跳式農用拖拉機的非線性振動行為；研究表明，合理調節時滯反饋增益系數可成功消除系統的混沌振動，并能顯著降低系統振動水平。LIU等[4研究了含有時滯反饋懸臂梁的諧振；研究表明，位移反饋增益僅改變峰值振幅的頻率，而速度反饋增益與時滯參數有關；選擇適當的時滯反饋參數，可以有效提高懸臂梁的穩定性，抑制懸臂梁的非線性振動。和東平等5建立了時滯反饋控制下兩自由度垂直的波紋輥軋機數學模型；研究表明，適當的時滯參數可減小振動幅值，避免主共振分岔現象的產生。

為提高GMA系統的穩定性，本文設計了一種線性和非線性聯合作用的時滯反饋控制器，用以控制GMA系統的主共振分岔和混沌運動。首先，基于多尺度法求解受控GMA系統的解析解和主共振響應方程；其次，利用Matlab軟件數值模擬研究了系統關鍵結構參數和時滯反饋參數對系統動力學的影響；最后，分析了系統激勵幅值和控制參數對系統分岔和混沌的影響，以期為選擇合理的控制參數、設計結構穩定的GMA提供有用的參考。

一 GMA動力學模型

圖1為GMA系統的結構示意圖。其基本工作原理是施加激勵磁場和偏置磁場使超磁致伸縮材料發生形變，從而實現機械位移的轉換。

根據GMA系統內部結構及其工作原理，建立其等效力學模型，如圖2所示。GMA系統等效為一個彈簧-阻尼-質量系統。

對GMM棒進行受力分析，由線性壓磁方程得

B=d₃₃σ+μH

式中， 5.σ 分別為GMM棒長度方向的應變、應力；E_y^H 為GMM棒的彈性模量； d₃₃ 為壓磁系數； H 為磁場強度； B 為磁感應強度； μ 為磁導率。

式（1）左右兩邊同時乘以 AE_y^H ，得

式中，A、 L 分別為GMM棒的橫截面積和長度； x（t）

為GMM棒輸出位移； χ_t 為運動時間。

GMM棒輸出力 F_d=-Aσ ，結合式（3），GMM棒輸出力表達式為

考慮到預壓力及GMM棒自身等效阻尼力和慣性力的影響，GMM棒等效力學方程為

（5）式中， F₀ 為GMM棒所受預壓力， F₀=Aσ₀ . K_M 、 C_u M_u 分別為GMM棒等效剛度、等效阻尼、等效質量，K_M=AE_y^H/L，C_M=AC_e/L，M_M=ρ_MAL/3， 。其中， C_e. ρ_M 分別為GMM棒內部阻尼系數和密度。

輸出桿受到碟形彈簧彈力和GMM棒輸出力的作用，其動力學方程為

式中， K_L β_? 、 β₂ 分別為碟形彈簧的一次剛度系數、二次剛度系數和三次剛度系數； M_L 為負載的阻尼系數。

設激振力項 AE_y^Hd₃₃H=F ，聯立式（5）與式（6），推導得到GMA非線性等效力學方程為

式中，

為便于研究GMA系統的動力學行為，引入量綱一位移 u=x/γ_?0 和量綱一時間 τ=ω₀t 其中， γ₀= ， ，則式（7）可轉換為

式中， 2μ 為量綱一化的阻尼系數， 2μ=c/mk ； α 為量綱一化的二次剛度系數， f₀ 為量綱一化的預壓力， f 為量綱一化的激振力， ; ω 為量綱一化的激勵頻率， ω= 為激勵頻率， ω₀ 為固有頻率）。

2 GMA系統時滯反饋控制

為了提高GMA系統的實用性，在本節中引入線性和非線性時滯反饋控制器來控制GMA系統的輸出位移。具體方法為：GMA系統的位移信號通過位移傳感器放大和轉換后傳遞到控制器中，從而產生反饋信號。該反饋信號可以用來調節GMA系統的運動狀態，從而實現更加精準的運動控制。圖3所示為受控GMA系統簡化模型。

在引入線性和非線性時滯反饋控制之后，式（8）變為

τ_?1）+g_?2u³（τ-τ_?2）

式中， 分別為線性反饋增益系數和時滯參數；

g₂ 、 τ₂ 分別為非線性反饋增益系數和時滯參數。

為便于對GMA系統進行擾動分析，將式（9）中的非線性項前冠以小參數 ε ，則可得到

當量綱一化的激勵頻率 ω 接近1時，系統便會出現共振現象。可通過引入 ω=1+εσ₁ （其中， ε 為小參數； σ₁ 為調諧參數）度量兩者的接近程度。基于多尺度法對GMA振動系統進行分析，引入如下不同的時間變量： T₀=τ 、 T₁=ετ 。則式（10）的1階解析解可表示為

u=u₀（T₀，T₁）+εu₁（T₀，T₁）

將式（11）代入式（10）中，并令方程兩邊的 ε 的同次冪系數相等，整理得到

式（12）的解可設為

式中， B 與 互為共軛復數。

將式（14）代入式（12）中，并令式中長期項的系數為 0 ，則可整理得到

2iωD₁B+g₁B（cosωτ₁-isinωτ₁）+

（ ? 為相位角），代入式（15）中，并分離其實部和虛部，得到

式中， Ψ_a 為系統的振幅； φ=σ₁T₁-? 。

為了獲得GMA系統的穩態解，令 代入式（16）中，得到的復合時滯反饋控制下GMA系統主共振的幅頻響應方程為

式中， σ_e=

由式（17）可知，受控GMA系統的主共振響應為激振力項和復合時滯反饋控制參數的函數。令10α2-9ω2+σ。=0，調節非線性時滯反饋增益系數和時滯參數能有效消除由碟形彈簧引進的幾何非線性因素對GMA系統的影響。

3數值模擬及討論

3.1GMA系統主共振特性分析

選擇GMA系統基本參數： 2μ=0.1 ， α=0.05 ，f=0.2 。為更好地了解GMA系統，首先研究了非受控系統中關鍵結構參數對主共振響應特性的影響規律。對于不受控制 （g₁=τ₁=g₂=τ₂=0 的GMA系統，式（17）可以簡化為

圖4所示為量綱一化的二次剛度系數、激振力、阻尼系數對GMA主共振特性的影響曲線（圖中，黑色曲線代表GMA系統穩定，紅色曲線代表GMA系統不穩定）。

由圖4（a）可知，當量綱一化的二次剛度系數 α 從0.05增大到1.4時，其共振振幅峰值保持不變，骨架曲線逐漸向左傾斜；當 α=0.05 或1.4時，其數值遠遠大于 10α²/9ω₀² ，碟形彈簧表現出硬化特性，系統產生分岔和跳躍現象，導致GMA系統的穩定性降低。由圖 4（b） 可知，隨著量綱一化的激振力的增大，系統振幅峰值也增大，骨架曲線向右傾斜，系統非線性增強，出現多值解和跳躍現象，導致GMA系統處于不穩定狀態。結合 項進一步分析可知，減小碟形彈簧二次剛度項、增大系統等效剛度系數可有效控制系統的穩定性。同時，由圖4（c）可知，隨著量綱一化的阻尼系數的增大，共振曲線呈向內收縮趨勢，峰值和共振區域面積減小。

3.2受控GMA系統主共振特性分析

在非受控GMA系統中，關鍵結構參數的變化會導致主共振中出現不穩定區域和跳躍現象。為解決這一問題，引入線性和非線性聯合時滯反饋控制，研究各控制參數對GMA系統的影響。

圖5所示為 g₂=τ₂=0 時，線性時滯反饋參數對

GMA系統主共振特性的影響。由圖5（a）可知，當 τ₁ 取0.2、線性反饋增益系數 g₁ 從0.1增大到0.5時，系統的等效阻尼系數增大、等效剛度系數減小，致使系統的共振峰值減小，共振曲線向左移動；此時共振曲線的不穩定區域和彎曲程度逐漸減小，主共振分岔現象得到一定的控制。由圖5（b）可知，當 g₁ 取0.1時，隨著線性時滯參數 τ_?1 的增大，系統主共振響應達到共振峰值所對應的激勵頻率和不穩定區域會減小，從而增強了系統的魯棒性，但對共振曲線的彎曲程度影響較小。

圖6所示為 g₁=τ₁=0 時，不同非線性時滯反饋參數對GMA系統主共振幅頻特性的影響。由圖6（a）可知，當 τ_?2 取0.2、非線性反饋增益系數 g₂ 從0.1增大到0.5時，系統的等效阻尼系數增大，致使系統的共振峰值和不穩定區域減小；同時，系統的平方非線性與立方非線性得到一定抵消，從而使共振曲線的彎曲程度減小。由圖6（b）可知，當 g₂ 取0.1時，隨著非線性時滯參數 τ₂ 的增大，系統共振峰值和共振區域逐漸增大，出現比未受控時更不穩定的分岔行為。

圖7所示為線性和非線性時滯反饋聯合作用于GMA系統主共振特性的影響。由圖7可知，當單獨利用線性和非線性時滯反饋控制作用于GMA系統時，并未完全消除系統中的共振分岔現象，還存在不穩定區域；當兩者聯合作用于GMA系統時，其控制效果明顯優于單獨作用時的控制效果，可使GMA系統主共振分岔現象得到合理的控制。

f∈[0，0.215]時，GMA系統處于周期1運動。當f=0.1 時，如圖9所示，GMA系統的時域波形為穩定的單周期波形信號，相平面軌跡圖表現為一封閉的橢圓形曲線。緊接著，系統經周期1運動進入到不穩定的混沌運動中，當 f=0.35 時，如圖10所示，此時GMA系統的時域波形顯示為多個不規則波形信號譜的疊加組合，相位軌跡形成一個長期不閉合的多個相互嵌套的曲線。

3.3分岔與混沌特性分析

3.3.1量綱一化的激振力對系統分岔和混沌的影響

通過上述主共振穩定性的分析可知，隨著量綱一化的激振力的增大，共振曲線存在多值解現象，最終導致系統發生混沌運動。圖8為以量綱一化的激振力為控制參數， f 取0＼～0.4，步長設置為0.001，初始條件為[0，0]時繪制得到的未受控GMA系統的分

3.3.2控制參數對受控系統分岔和混沌特性的影響由上述分析發現，當量綱一化的激振力變化時，GMA系統中會出現分岔和混沌運動。由于反饋增益系數易于改變，因此，可通過調節線性和非線性的反饋增益系數控制系統的輸出響應，當 f=0.35 時，未受控GMA系統仍處于混沌運動狀態。圖11為當g₂=τ₂=0 ， τ₁=0.2 ，步長設置為0.001，初始條件為[0，0]時，以線性反饋增益系數為控制參數繪制得到的受控GMA系統的分岔圖。

參數繪制得到的受控GMA系統的分岔圖。

由圖11可知，當 g₁∈[0 ，0.113]時，受控GMA系統處于混沌運動狀態。如圖12所示， g₁=0.05 時，受控GMA系統的時域波形圖為多個不同無規律波形信號譜的疊加組合，其相軌跡圖為一條長期不封閉相互纏繞充滿相空間的曲線。當 時，系統進入到穩定的周期1運動中。

圖13為當 g₁=τ₁=0 ， τ₂=0.2 ，步長設置為0.001，初始條件為[0，0]時，以非線性反饋增益系數為控制

由圖13可知，當 Δ_g2∈[0Δ] ，0.064]時，受控GMA系統處于混沌運動狀態。如圖14所示， g₂=0.03 時，受控GMA系統的時域波形圖中波形信號的周期和峰值多變不穩定，相軌跡圖為一長時間無法閉合且充滿整個區域的曲線。緊接著，受控GMA系統在 g₂= 0.064時經倒倍分岔、混沌運動進入到周期2運動中。

當 時，如圖15所示，受控GMA系統的時域波形圖表現為兩個波形信號譜的疊加組合，相平面軌跡圖中出現兩條相互嵌套的曲線。此后系統在g₂=0 .107處經周期2運動再次倒分岔，進入到穩定的周期1運動中。

4結論

基于多尺度法求解了受控GMA系統主共振響應方程，數值模擬了不同系統參數和控制參數對系統主共振和混沌運動的影響規律，研究結果如下：

1）未引入時滯反饋控制時，增大系統的阻尼系數和剛度系數、減小激振力可提高GMA系統的穩定性。

2）引入時滯反饋控制時，以反饋增益系數 g₁ 和g₂ 為控制參數的效果會優于以時滯參數 τ_?1 和 τ₂ 為控制參數；適當調節線性和非線性的增益反饋系數，可有效消除GMA系統的主共振分岔，減小GMA系統的混沌區域，將系統的混沌運動轉化為穩定的周期運動，從而提高GMA系統的穩定性。

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通過分析線性和非線性時滯反饋增益系數對受控GMA系統分岔和混沌運動的影響可知，選擇合適的反饋增益系數可以有效地控制GMA系統的分岔和混沌，減少系統分岔圖中的混沌區域，增強GMA系統的穩定性。

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Research on nonlinear dynamic characteristics ofGMA under time delayed feedbackcontrol

XU Chenyu1LI Hongzhu2ZHOUYaful （1.SchoolofMechanicaland Electrical Engineering，Beijing PolytechnicColege，Beijing 10oo42， China） （2.CollegeofAppliedTechnologyandEconomicManagement，Liaoning Technical University，Fuxin1230oo，China）

Abstract：[Objective]Toeffectivelycontrolthenonlinearcharacteristicsof giant magnetostrictiveactuators（GMAs），a combined linear and nonlinear time delayed fedbackcontroler was designed to suppress themain resonance bifurcation and chaoticmotionoftheGMAsystem.[Methods]Basedonthemulti-scalemethod，theanalyticalsolutionofthesystemandthe mainresonanceresponseequation weresolved.Through thenumerical simulation，the key structuralparametersof the uncontrolledsystemandthetimedelayedfeedbackparametersofthecontrolsystemwerestudiedtoinvestigatethe characteristicsof the mainresonanceand thechaoticmotion.[Results]Theresearch results indicate thatuncontrolld systems exhibit bifurcationandmultivaluedsolutions.Appropriatelyincreasing thetime delayedgaincoeficientcan ffectively eliminate the mainresonancebifurcationand jumpingphenomenon，andreduce thechaotic motionregion.Theresults havea certain guiding role in improving the output stability of theGMA systems.

KeyWords：Giantmagnetostrictiveactuator;Timedelayedfedbackcontrol;Primaryresonance;Chaoticmotion;Stability