基于彈性補償的抽油機齒輪齒廓修形

中圖分類號：TH123.4 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.05.011

0 引言

齒輪齒條式抽油機是一種具有長沖程、高效率、低能耗、強通用性的新型抽油機[]，目前已被多個油田用于更深處的頁巖油開采。然而，在重載、野外開采環境惡劣等綜合工況影響下，抽油機的齒輪齒條在嚙合時會產生嚴重的嚙入沖擊2，進而導致齒面局部材料剝落，出現輪齒點蝕現象（圖1），嚴重縮短抽油機的使用壽命、降低石油的開采效率。為了解決這一問題，有學者研究表明，齒廓修形可以提高傳動精度和齒輪強度，提高接觸疲勞壽命[3]。

對于齒輪機構的輪齒修形，許多學者做了大量研究。蘇進展等4根據ISO對角修形定義，準確計算了對角修形起始線的螺旋角，確定修形齒面，通過遺傳算法優化確定了對角修形目標齒面。李鵬然研究了齒輪齒面拓撲修形原理并提出一種拓撲修形齒面方法。BRUYERE等給出了窄面正齒輪和斜齒輪嚙合彈性與接觸模式的一些理論結果，得到了使傳動誤差的時變幅值最小的齒廓修形和齒頂修形最佳組合的原始半解析定義。LIU等基于齒輪嚙合理論，推導了含齒廓修形參數的齒面方程，構造了未修形和修形齒輪齒面，研究了齒形修形參數對雙螺旋齒輪副齒面載荷分布的影響。GAO等8基于齒輪傳動系統的側向扭擺耦合非線性動力學模型，提出了一種漸開線直齒輪的動態優化修形技術。TANG等利用有限元仿真數據和徑向基函數（RadialBasisFunction，RBF）神經網絡，逼近了齒輪變速參數與齒輪傳動輻射噪聲之間的對應關系；采用多島遺傳算法對齒輪改裝參數進行優化，使齒輪傳動噪聲最小化。SA-MANI等[從面向功能的設計思想出發，提出了一種設計高階傳動的高傳動比弧齒錐齒輪的新穎方法。ZHOU等[1]針對齒廓修形（ToothProfileModification，TPM）對齒輪傳動系統動態特性的影響，提出等效靜態傳遞誤差的概念，并給出計算方法，推導了TPM后系統的動力學方程。NAKHATAKYAN2提出一種計算輪齒縱向修形量的方法。HAN等[13提出一種基于多軸聯動參數優化的展成磨齒拓撲修形方法，采用多目標優化遺傳算法對機床運動進行調整，并給出了具體的加工方法。

綜上所述，以往的研究主要集中于兩齒輪嚙合的情況，對于具有兩種齒形嚙合的齒輪齒條機構的研究較為缺乏。本文針對齒輪齒條式抽油機這一工程背景，利用石川法計算齒輪齒條嚙合過程中輪齒的變形量；通過修形量補償變形量的方式，確定不同的修形方案；經過有限元數值模擬和試驗對比，分析驗證了不同方案的性能，為抽油機齒輪的實際生產提供一定的參考。

1齒輪彈性變形量計算

物體變形量通常與剛度有密切關系[14]。齒輪剛度計算方法中，最具權威性、應用最為廣泛的是以材料力學為基礎的石川法和Weber法。本文中，采用石川法計算齒輪齒條嚙合剛度。石川法剛度計算模型將輪齒看作矩形和梯形的組合，如圖2所示。

由圖2中幾何關系，節圓高 為

矩形高 為

全齒高 h 為

齒根厚度 為

式中， 為基圓半徑； z 為齒輪齒數； 為齒頂厚度；

為齒輪端面分度圓處的嚙合角。

節圓載荷角 為

輔助尺寸 為

式中， 為 到齒輪中心的距離； 為計算中齒頂圓半徑； 為計算中齒根圓半徑； 為嚙合角； X 為變位系數； 為基圓半徑。

齒輪輪齒變形包括彎曲、剪切、接觸變形等。用下標 i 表示第 i 個嚙合的齒輪或齒條，則得到的一對輪齒嚙合時的總變形8是這些變形的總和，即

式中， 為載荷點沿嚙合線方向上的矩形部分彎曲變形量。

為梯形部分彎曲變形量，則

為由剪切力產生的變形量，則

為基礎部分產生的變形量，則

為齒輪齒條的赫茲接觸變形，則

式中， E 為材料彈性模量； 為接觸寬度，即齒輪齒條的齒寬； v 為材料泊松比。

2 修形方案

2. 1 齒輪修形點確定

本文選擇新疆某油田使用的某型抽油機為研究對象，其整體結構如圖3所示。該抽油機的原理：電動機通過聯軸器、減速器驅動小齒輪，使小齒輪與安裝在上下移動架上的齒條嚙合，帶動整個環形齒條機架做往復運動，從而帶動與鋼絲繩連接的抽油桿實現抽油動作。因此，齒輪齒條機構的性能基本上決定了抽油機系統的性能。

齒輪為標準圓柱漸開線直齒輪，齒條由直行段的直齒條與換向段的弧形齒輪拼接而成。經實地考察得知，齒輪的平均轉速約為 3 5 r / m i n ，齒條負載約為 4 0 2 7 0 N. 。齒輪齒條的參數如表1所示。由于齒輪的嚙合次數遠大于齒條，所以，實際生產活動中齒輪的失效概率更大。因此，本文中主要針對齒輪進行齒廓修形。

在假定載荷沿齒寬方向均勻分布且不考慮輪齒彈性變形的條件下，齒輪系統無嚙入沖擊。但在考慮齒輪彈性變化后，齒輪嚙合就存在嚙入沖擊[15-16]。根據尼曼等的試驗，當載荷引起的變形量等于齒輪的齒廓修形量時，其修形結果是理想的，即齒頂的最大修形量正好補償變形產生的輪齒的干涉量時，理論上就不再有嚙入沖擊。根據Walker的試驗結果[18]，單齒嚙合區域不需要修形，將雙齒嚙合區齒頂的嚙合長度作為齒廓修形的齒頂修形高度，如圖4所示。

式中， 為齒輪的嚙合角； 為嚙合區域長度。

根據計算，齒輪的單齒嚙合下限半徑為1 3 2 . 1 7 m m ，單齒嚙合上限半徑為 1 4 5 . 9 0 m m ，節線P 與分度圓重合，半徑為 1 3 6 m m 。

齒廓修形的曲線大多采用漸開線、拋物線、Walker曲線、圓弧及圓弧包絡線等[19]。齒頂修形的起始位置和修形量按嚙合位置確定。齒輪齒頂的修形量和修形曲線如圖5所示。圖5中， Δ D 為修形起始點長度； 為尖端點； P 為節點； 為嚙合下界點； 為單齒嚙合上界點； 為單齒嚙合下界點； 和 高度相同，為修形起點。

圖4中，徑向高度 和 分別為

其中，

根據齒廓的修形長度，修形類型可分為長修形（單齒對嚙合的上界點為修形起點）和短修形（單齒對嚙合的上界點到尖端點的一半為修形起點）。本文修形的起點選在單齒對嚙合的上界點。

2.2 修形量確定

本文采用的齒廓修形方式為偏轉漸開線和增加圓角。其中，偏轉漸開線的角度為修形角度； Δ A 為修形長度；圖5中紅線為偏轉后的部分齒廓曲線。經理論計算，當齒輪承受的負載為 ，且齒向載荷均勻分布時，該齒輪齒廓最佳修形長度 Δ A 為0 . 0 1 8 8 m （ m 為模數），修形角度為 。本文使用有限元仿真和試驗分析對比驗證修形效果。將最佳修形量按照一定比例放縮圓整，形成4種修形方案，用以對比驗證本文修形思路的準確性。4種修形方案的修形量如表2所示。

3 仿真分析

3.1 接觸應力分析

有限元仿真分析中的邊界條件與抽油機的實際運行情況一致：齒輪做定軸旋轉；齒條沿其長度方向平動。其中，有限元網格數為255134，節點數為296013，所采用的有限元分析軟件為AnsysWorkBench18.0。不同修形方案下的接觸應力結果如圖6所示。

（d）方案2的應力分布三（e）方案3的應力分布光三（f）方案4的應力分布

由圖6可知，雖然齒輪齒條的嚙合條件與位置相同，但修形量的不同會使齒輪齒條嚙合中的接觸應力出現明顯改變。其中，修形方案2接觸應力明顯降低，位于單齒嚙合區域的最大接觸應力變為波動，應力持續時間變長，但應力峰值降低，其波峰是屬于正常嚙合時單雙齒交替產生的。當修形量低于理論最佳修形量時，如方案1所示，接觸應力降低，最大接觸應力波動持續時間變長，但應力峰值降低。

修形方案3和方案4接觸應力在某些位置會呈現一定程度的升高，如方案3的嚙出應力較高，方案4的嚙入應力較高；其應力波動程度改變，其最大應力持續時間也增加，即改變了重合度。

3.2疲勞壽命分析

計算得到不同修形方案下的接觸應力后，將原始接觸應力轉換為對稱循環應力，用三點雨流計數法統計材料的疲勞-壽命曲線對應的疲勞損傷，從而將離散化的頻譜和疲勞損傷累計，得到總的疲勞損傷值和疲勞壽命。圖7為得到的抽油機齒輪齒條的疲勞壽命云圖。

由圖7可知，當修形量為理論最佳修形量的1.5倍時，方案3中齒輪的疲勞壽命會出現降低；方案4中，修形角度和修形長度過大，接觸區域會減小，導致齒輪齒廓失去了漸開線的優良特性，接觸應力增大，嚙入嚙出波動提升，所以，疲勞壽命顯著降低。

當修形量少于理論最佳修形量時，如方案1的修形角度和修形長度，能夠改善齒輪的嚙合條件，減少齒面應力集中和應力波動，提高疲勞壽命。不考慮材料、載荷、轉速、潤滑等的變化時，方案2的修形角度和修形長度最接近理論計算的最佳值，其補償效果最好，疲勞壽命最長。

不同的修形方案下齒輪的最低疲勞壽命如圖8所示。

綜上所述，齒廓轉角修形可以減小嚙合沖擊、降低噪聲、提高承載能力。在一定范圍內，修形角度越大，接觸應力越小，疲勞壽命越長，但是，超過一定界限以后，會造成干涉，影響其他性能。

4試驗驗證

為了驗證本文確定的修形量對齒輪齒條疲勞壽命的影響，采用加速疲勞壽命試驗進行驗證20。試驗所使用的試驗臺如圖9所示。其中，驅動電動機的輸出軸通過聯軸器與齒輪軸連接，齒輪與齒輪軸通過鍵連接，齒輪軸通過軸承固定在底座上；齒條被固定在滾珠絲杠滑軌上。驅動電動機由脈沖控制器和PLC控制，驅動齒輪進行往復定軸旋轉。

由于實際中模型太大，試驗時間過長，試驗模型采用微縮模型驗證該方法的準確性。試驗件的尺寸依照 8 ： 1 的比例進行微縮，其材料和熱處理方式與實際的齒輪齒條材料一致。試驗中，為節省試驗時間，采用不同等級載荷進行加載，載荷加載方式為階梯增載法2。試驗過程中，只在初次安裝時加注潤滑油，轉速為 ，載荷為 1 5 0 N. 。對試驗齒輪進行編號（圖10），當主動齒輪每經過 r時，觀察一次齒面形貌。不斷持續這個過程，齒輪齒面出現點蝕破壞即加載結束。試驗結果如圖11所示。

由圖11可知，試驗得到的齒輪疲勞壽命均小于數值仿真的結果。這是因為試驗所用的齒輪齒條具有一定的制造誤差和裝配誤差，特別是試驗中齒輪要經歷多次的啟停，這會導致齒輪的疲勞壽命出現比較大的降低。但是，各個方案的疲勞壽命趨勢與圖8所示基本一致，這說明齒廓修形對于提高齒輪齒條嚙合質量有一定的積極作用，驗證了第3.2節中的結論。

5結論

1）經過修形后，齒輪的彈性補償效果明顯。修形量等于理論最佳修形量時，接觸應力降低，疲勞壽命提升最大。修形量少于理論最佳修形量，也能夠改善齒輪的嚙合條件，降低齒面接觸應力的峰值和波動情況。但當修形量超過理論最佳修形量的一半時，接觸應力升高，疲勞壽命會出現降低的情況。

2）在一定范圍內，修形角度越大，接觸應力越小、疲勞壽命越長；但是，超過一定界限以后，會造成干涉，影響其他性能，也會降低齒輪的承載能力。

3）綜合而言，基于彈性補償的齒輪修形能夠有效減小嚙入沖擊、減緩接觸應力的波動程度、延長齒輪的疲勞壽命。但在實際生產活動中，需要考慮齒輪的加工精度、裝配精度等因素，并結合具體的工況和設計要求來確定最優的修形參數。

參考文獻

[1]白云松，穆塔里夫·阿赫邁德，白浩宇，等.抽油機齒輪點蝕缺陷 應力及疲勞壽命分析[J].機械強度，2022，44（3）：713-718. BAIYunsong，MUTELLIPAhmat，BAIHaoyu，etal.Stressandfatigue life of piting defects on pumping unit gear[J]. Journal of Mechanical Strength，2022，44（3）：713-718.

[2]賈超，姚立綱，張俊，等.修形漸開線斜齒輪嚙入沖擊計算[J]. 西安交通大學學報，2020，54（9）：58-65. JIA Chao，YAO Ligang，ZHANG Jun，etal. Calculation of mesh-in impact of modified involute helical gears[J].Journal of Xi'an Jiaotong University，2020，54（9）：58-65.

[3]HAO LJ，LIW，ZHANG X L. Impact of gear modification on gear dynamic characteristics[J].Journal ofFailure Analysis and Prevention，2023，23（2）：853-864.

[4]蘇進展，李旭東，尹遜民，等.人字齒輪直線型對角修形設計及 成形磨原理[J].機械工程學報，2023，59（5）：121-129. SU Jinzhan，LI Xudong，YIN Xunmin，etal.Design and form grinding principleof linear triangular end relieffor double helical gears[J].Journal of Mechanical Engineering，2023，59（5）： 121-129.

[5］李鵬然.基于多目標優化的齒輪拓撲修形研究及其磨齒工藝分 析[D].合肥：合肥工業大學，2022. LI Pengran.Research on topological modification gears based on multi-objective optimization and continuous generating gear grinding process analysis[D].Hefei：Hefei University of Technology， 2022.

[6]BRUYERE J，VELEXP.Towards general performance diagrams to define optimum profile and lead modifications with regard to transmission error in spur and helical gears[J].Mechanism and Machine Theory，2022，176：105021.

[7]LIUL，MAQY，GONG JY，et al. Tooth surface modification of double-helical gears for compensation of shaft deflections[J].Mechanical Sciences，2021，12（2）：819-835.

[8]GAOP，LIU H，YAN PF，et al. Research on application of dynamic optimization modification for an involute spur gear in a fixedshaft gear transmissionsystem[J].Mechanical Systemsand Signal Processing，2022，181：109530.

[9]TANG ZP，WANG MY，HUYT，et al.Optimal design of traction gear modification of high-speed EMU based on radial basis function neural network[J].IEEE Access，2020，8：134619-134629.

[10]SAMANIFS，MOLAIEM，PELLICANOF.Nonlinearvibration ofthe spiral bevel gear with a novel tooth surface modification method[J].Meccanica，2019，54（7）：1071-1081.

[11]ZHOU RA，LUO B，LI W.A new dynamics modeling method for aspur gear pair with tooth profilemodification[J]. Journal of the BrazilianSocietyofMechanical Sciencesand Engineering，2022， 44（9）：438.

[12]NAKHATAKYAN F G.Longitudinal tooth modification to improve the load capacity of misaligned gear systems[J].Russian EngineeringResearch，2022，42（3）：204-207.

[13]HAN J，JIANG H，TIAN XQ，etal. Topology modification method of generating gear grinding based onmulti-axis linkage parameteroptimization[J].The International Journal ofAdvanced ManufacturingTechnology，2023，124（1）：449-466.

[14]林騰蛟，陳夢寒，楊金.齒廓修形人字齒輪副時變嚙合剛度計算 方法[J].振動與沖擊，2021，40（9）：175-183. LINTengjiao，CHENMenghan，YANG Jin.Calculationmethodof time-varying meshing stiffness of herringbone gear pairwith tooth profile modification[J]. Journal of Vibration and Shock，2021，40 （9）：175-183.

[15］王啟義．中國機械設計大典：2[M].南昌：江西科學技術出版 社，2002：478-489. WANG Qiyi. China mechanical design canon： 2[M]. Nanchang： Jiangxi Scienceamp; Technology PublishingHouse，20o2：478-489.

[16]JIA C，FANG ZD，YAO L G，et al. Tooth flank modification to reducetransmission errorand mesh-in impact force inconsideration ofcontact ratio forhelical gears[J].Proceedings of theInstitution ofMechanical Engineers，Part C：Journal ofMechanical EngineeringScience，2021，235（19）：4475-4493.

[17]尼曼，溫特爾.機械零件：第二卷[M].余夢生，王成燾，高建華， 等，譯.北京：機械工業出版社，1989：30-130. NIEMANNG，WINTERH.Machinenelemente：vol.2[M].YU Mengsheng，WANG Chengtao，GAO Jianhua，et al.，Jr.Beijing： ChinaMachinePress，1989：30-130.

[18]張展.實用齒輪設計計算手冊[M].北京：機械工業出版社， 2011：130-156. ZHANG Zhan.Practical gear design calculation manual[M].Beijing：China MachinePress，2011：130-156.

[19]BENATARM，HANDSCHUHM，KAHRAMANA，etal.Static and dynamic transmission error measurements of helical gear pairs with various tooth modifications[J]. Journal of Mechanical Design，2019，141（10）：103301.

[20]HARRISCM，PIERSOLAG.沖擊與振動手冊[M].劉樹林，王 金東，李鳳明，等，譯.第5版.北京：中國石化出版社，2008： 941-964. HARRISCM，PIERSOL AG.Shock and vibration handbook [M].LIU Shulin，WANG Jindong，LIFengming，etal.，Jr.5th ed. Beijing：ChinaPetrochemical Press，20o8：941-964.

[21］張展.齒輪傳動的失效及其對策[M].北京：機械工業出版社， 2011：121-246. ZHANG Zhan.Failure of gear transmission and its countermeasures[M].Beijing：ChinaMachinePress，2011：121-246.

Elastic compensation-based gear profile reshaping for oil pumping machines

HUO Zhongtang12MUTELLIP Ahmat1DI Fankai1ZHOUHuafeng3WANG Yuhui1 （1.School of Electrical Engineering，Xinjiang University， Urumqi 83oo47， China） （2.CollegeofElectricalandMechanical Engineering，HandanUniversity，Handan O56ooo，China） （3.XinjiangWusu NorthXinkeLimitedLiabilityCompany，Wusu833ooo，China）

Abstract：[Objective]Thefeasibilityof tooth profilereshaping toreduce themeshingshockand improvethefatigue lifeof gears was discused for the meshing shock phenomenon of therack and pinion mechanism of theoil pumping machine. [Methods]Firstly，theelasticdeformationofgeartethduringthemeshingwascalculatedbasedontheIshikawamethod. Secondly，four profilereshapingschemes wereobtained bycompensating theelasticdeformationofgear teth withthegear profilereshapingamount.Finaly，theefectofeachprofilereshapingschemewasverifiedbythefiniteelementsimulationand thetestcomparisonanalysis.[Results]Theresultsshowthatthegearreshapingamount withinacertainrangecaneffectively improvethefatiguelifeofgearsandreducethefluctuationofthecontactstressandthebestreshapingamountisthetheoretical reshapingamount.However，whentheamountofreshaping istoosmallortoobig，thefatigue lifeof gearswillbelitle improved or even reduced.

KeyWords：Stress fluctuation;Elastic compensation; Involute spur gear;Tooth contouring; Fatigue life