淺析如何通過“一題多變”模式培養學生創新能力

該體系通過會學（認知策略）、學會（概念內化）、會用（遷移創新）三階遞進機制，整合元認知監控模塊，形成“策略指導一變式訓練一自主調控”的教學閉環[。其中，“一題多變”作為核心實施路徑，采用條件轉換、維度拓展、情境遷移等結構化變式策略，配合思維可視化工具與元認知日志，系統培育創新思維品質。該模式通過認知沖突引發（變式層級設計）與自我調節強化的雙重作用機制，有效破解“高練習低產出”的教學困境，為數學創新能力培養提供了可遷移的實踐模型[2]同時為學校教育品牌的塑造和推廣提供科學依據和實踐指導，促進學校教育的持續發展與提升。

“一題多變”訓練式課堂教學，使師生始終圍繞“三會一自”教學新模式，學生在課堂上始終保持思維的連續性、跳躍性、創造性；同時使學生能夠在靈活、科學變化的情境中，綜合運用比較、歸納、演繹等方式，歸納出由一個知識點生成的多個問題情境之間的內在聯系，從而達到拓展思維、升華知識之目的[3]。“一題多變”訓練式課堂教學，不僅有利于學生從題海中解脫出來，更可以通過解一題，通一片，提高一大步，收到以少勝多，減負提質的良好效果，使學生獲得“四基”：數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗；同時通過運用數學知識與方法，發展“四能”：發現、提出、分析和解決問題的能力。“一題多變”是培養學生邏輯思維能力、應用創新能力、樹立學生核心素養的有效途徑之一。下面是對“一題多變”式課堂教學的一些實施建議，供大家參考。

一、圍繞“三會一自”教學新模式，強化“一題多變”訓練式課堂教學

（一）精選教材中的問題原型，構建解決原生問題的策略與方法（構建知識模型），感受知識“會學、學會”之美

基于“三會一自”教學框架，構建了數學問題解決的認知發展模型，秉持著以不變應萬變，抓住數學問題原型內在的東西（問題的本質）。在會學階段，教師引導學生獨立、自主地反復閱讀、仔細觀察、明確疑問、探索知識鏈接、獨立嘗試解決問題，結合合作探究機制促進策略生成（社會建構主義理論支持）。在學會階段，學生體會知識產生、發展、生成過程，并鼓勵學生自我反思、總結、歸納、提煉、準確構建知識模型。在會用階段，建立“基礎應用一條件轉換一跨域遷移”三級變式遷移訓練體系（參照變式教學理論），運用情境重構和參數變異策略，有效促進數學問題解決能力的層級發展，注重在實際情境中理解基本的數量關系和變化規律，讓學生熟練、準確構建數學知識模型，抓住解決同類多變題目的精髓、靈魂，靈活運用該模型解決同類問題，從而讓學生感受到知識“會學、學會、會用”的快樂與幸福。

基于變式教學理論與認知彈性理論，擬定典型問題情境，學生自主構建知識模型，整個過程充分體現了學生“三會一自”的課堂學習方式。通過自主設計復合型問題原型（如融合多變量條件與動態約束的函數極值問題），系統生成階梯式變式題組，形成“基礎鞏固一條件轉換一跨域遷移”的漸進訓練路徑。在教學實施中，教師引導學生從問題本質出發，通過“個人備課一集體備課一個人備課”三環節，形成導學案。通過導學案引發學生閱讀情境、觀察圖形、標識條件、提出疑問、思考鏈接、探究方法、交流所得、生成數學知識模型，整個流程體現出學生“會學”的學習本領，達到了“學會”的基本目的。在此過程中學生完整經歷了“獨立探究一合作論證一反思優化”的認知循環。系統性變式訓練能夠有效激活認知彈性：通過調整問題參數打破思維定式，借助跨領域情境建立知識聯結網絡，最終實現從“解題技能”向“思維素養”的轉化。本文以“函數極值問題”為切入點，結合教育理論與教學實踐，系統闡述變式設計的科學依據、實施策略及其對教學實踐的引導價值，使學生在自主探究中完成知識模型的建構與迭代。

例如：

1．認知遷移

從二次函數 f（x）=x²-4x+3 的極值求解，延伸至帶絕對值函數 f（x）=∣x²-4x+3∣ 的極值分析。學生需理解極值的本質是函數變化趨勢的轉折點，而非單純依賴導數公式。

知識點聯結：絕對值符號改變了函數的連續性與可導性，但極值的幾何意義（如頂點、拐點）依然可通過分段討論或圖像分析揭示。

變式設計意圖：學生往往在單一情境中掌握知識，卻難以遷移至新問題。通過變式訓練，學生能夠剝離問題表象，聚焦核心模型，實現知識的跨情境應用。

2.最近發展區 分層遞進的思維挑戰

基礎層：求二次函數在無約束條件下的極值；

進階層：限定定義域 x∈[0，5] ，分析區間端點對極值的影響；

拓展層：引入多變量函數 f（x，y）=x²+y² ，研究約束優化問題。

知識點聯結：從單變量到多變量，學生需將極值的概念從“導數為零”擴展至“梯度為零”，理解優化問題的統一框架。

變式設計意圖：學生的認知發展需要階梯式挑戰。通過分層次設計變式，逐步提升問題的復雜度，既能鞏固基礎，又能激發潛能。

3.問題空間理論

在“拋物線形橋梁最高點”問題中，添加“材料成本約束”或“抗風穩定性要求”，將純數學問題轉化為工程優化模型。

知識點聯結：數學建模與跨學科知識的融合，體現數學工具在解決實際問題中的核心作用。

變式設計意圖：傳統教學常局限于封閉問題，而現實問題具有開放性與復雜性。通過拓展問題的條件與結論，學生能夠適應多元問題場景。

（二）強化“一題多變”訓練式數學課堂教學，感受問題變化、靈活應用模型、師生快樂成長之美

這里的“一題多變”訓練式數學課堂教學，是課題組在數學課堂上經常采用的數學思維訓練方式。首先厘清問題原型中已經知道了什么（題設）、不知道什么（結論）、用什么樣的方法去解決（解法）、滲透的知識模型等，然后教師通過科學、合理地變化問題原型的題設、結論、方法、背景等，設計出新穎的變式題目或題組，讓每個學生的思維始終處于變化的問題環境之中，盡情地享受思維能力在變化中成長的樂趣，以達到觸類旁通，以不變應萬變之功效。以下是筆者在“一題多變”訓練式數學課堂教學中，三個變式訓練的具體做法，僅供大家參考。

1.變式I題設變化型：“題設變化型”就是通過對問題原型的已知條件進行增加、減少、調換等，問題原型的結論卻保持不變的一種變式做法。這種變式是最簡單、最平常、采用最多的一種變化方式，大家可以通過下面的例子具體感受一下。

題目設計：通過調整參數、定義域或函數形式，檢驗學生對核心模型的理解深度。教師引導過程如下：

步驟1：呈現原型問題（如求二次函數極值）；

步驟2：逐步引入變式（如添加絕對值、分段函數）；

步驟3：組織小組討論，對比不同變式的解法異同，總結極值的本質特征。

案例1：將函數 f（x）=x² 擴展為 f（x）=x²+ sin x 引導學生思考非多項式函數的極值分析方法（如數值逼近或圖像輔助）。

知識點遷移：打破學生對“極值僅存在于可導點”的刻板印象，理解極值可能出現在不可導點或通過數值方法逼近；

思維訓練：通過非光滑函數的分析，培養學生借助圖像、分段討論等輔助工具解決問題的能力；

舉一反三：為后續學習傅里葉級數等領域的極值問題奠定基礎。

案例2：限定二次函數 f（x）=ax²+bx+x 的定義域 x∈[0，5] ，討論區間端點對極值的影響。

知識點遷移：明確極值的全局性與局部性差異，強化“極值需同時考慮臨界點與邊界”的思維；

思維訓練：通過定義域約束，引導學生從“純代數計算”轉向“區間最值分析”，銜接優化問題的實際應用；

舉一反三：為后續學習約束優化提供直觀認知。

案例3：在拋物線 y=x² 上求點 P ，使PA+PB 最小 （A（0，1），B（1，0））

變式設計：將拋物線改為橢圓 ，點B改為橢圓焦點 。

設計意圖與教學價值：通過幾何圖形的變換，引導學生發現極值問題的共性解法一利用對稱性將折線轉化為直線距離。這種題設變化強化了學生對“軸對稱一最短路徑”模型的普適性認知。

2.變式ⅡI結論變化型：布魯姆教育目標分類學指出，問題設計應從記憶層面向分析、評價、創造層面遞進。“結論變化型”就是對問題原型的結論進行增加、減少、遞進式強化等，這也是經常采用的題目變式，培養學生的批判性思維。在提問學生問題時，注重遞進式，比如“若導數為零的點不是極值點，函數圖像可能具有什么特征？”“極值的存在性是否依賴函數的連續性？”此類問題，或者開展“數學辯論賽”，讓學生圍繞極值的必要條件展開論證。

案例1：針對函數 f（x）=x³ ，討論其在 x=0 處的導數為零但無極值的現象。

知識點遷移：揭示“導數為零是極值的必要條件而非充分條件”，引入高階導數判別法的必要性；

思維訓練：通過反例分析，培養學生質疑結論的批判性思維，避免機械套用公式；

舉一反三：為泰勒展開、多項式函數性質分析提供邏輯基礎。

案例2：提出命題“若函數在區間內無極值，則其導數在該區間不變號”，要求學生驗證或反駁。

知識點遷移：關聯單調性與極值的關系，深化對導數符號與函數增減性的理解；

思維訓練：通過構造反例（如 f（x）=x³ 在區間［-1，1]），培養學生逆向思考能力；

舉一反三：為后續學習微分方程穩定性、函數形態分析提供方法論支持。

案例3：基礎結論：求最短路徑的位置與長度。遞進結論：增加參數分析（如“當點B在橢圓上移動時，最短路徑如何變化”），或拓展至三維空間（如“在拋物面 z=x²+y² 上，求點P，使 PA+PB 最小”）。

典型案例：在立體幾何中，將平面最短路徑問題拓展為曲面極值問題，引導學生運用空間向量投影法求解。

3.變式IⅢ情境變化型：“情境變化型”就是以數學問題原型為依托，將問題原型植入身邊的實際生活情境，讓學生感受到數學與生活密不可分，從而提高數學學習的興趣，增強學生運用數學知識解決實際問題的能力，大家可以通過下面的例子具體感受一下。

實踐引導：

跨學科項目：設計“物流路徑優化”課題，結合圖論與導數知識；

角色扮演：學生扮演工程師或經濟學家，用數學工具解決實際優化問題。

案例1：在“疫情、醫療資源分配”問題中，利用線性規劃與極值理論平衡效率與公平性。

知識點遷移：將極值問題擴展至多變量、多約束場景;

思維訓練：通過真實數據建模，培養學生從“數學抽象”到“實際決策”的轉化能力；

舉一反三：為運籌學、經濟學中的資源分配問題提供通用分析框架。

案例2：將極值問題轉化為光的反射路徑問題（如“光線從點A出發，經鏡面反射后經過點B，求入射點位置”）。

（三）圍繞“三會一自”教學新模式，強化“一題多變”訓練式課堂教學總結與反思

本研究始終圍繞“三會一自”教學新模式，積極探索、反復實踐、不斷歸納，揭示了“一題多變”訓練式課堂的三個關鍵實施維度。并對“一題多變”訓練式課堂教學做出如下總結與反思：

1.“一題多變”訓練式數學課堂教學中，教師應當重點關注對“變式”問題的選取、設計，變式設計的質量直接影響教學成效，教師需把握“階梯性”與“生長性”原則。選擇的問題要具有針對性、趣味性、適合性。只有不斷挖掘題目內涵與本質，分析問題中知識之間的鏈接，才能設計出適合學生的變式題目或題組；只有不斷提高教師的專業素養，才能做到“因材施教”，讓不同層次、不同類型的學生都能夠有所發展。

2.在“一題多變”訓練式數學課堂教學中，教師課下應是問題的設計者，課上應是學生的“引導”者，學生才是課堂上的主動表演者，只有這樣才能真正激發、挖掘學生內在的潛能，進一步提高學生的創新能力。

3．“一題多變”訓練式課堂教學的歸宿，是賦予學生透過題目表象抓本質的能力，以恒定的知識根基靈活化解千變萬化的問題，不斷增強學生的知識應用能力和創造能力。教師應當充分利用學生對變式學習的好奇心，促成學生挖掘問題中的隱含條件和本質特征，讓學生在變化中認識不變的規律，從而實現知識的融會貫通，使其憑借扎實的底層邏輯，在不同題目中找到通解之道。

結束語

在“三會一自”教學模式實踐中，“一題多變”教學通過科學變式設計與情境化拓展，推動學生從被動解題轉向主動探究，形成以不變應萬變的思維韌性。其核心在于以知識模型為錨點，通過問題鏈的階梯式挑戰，激發學生的創新潛能與自主學習能力。未來研究可進一步探索變式教學與信息技術的深度融合，例如開發自適應變式題庫或虛擬實驗平臺，為核心素養培養注入新動能。

參考文獻

[1]韓清林.關于“自主學習”教育教學改革實驗的若干基本問題[J].河北教育，1999（12）：4-10.

[2]代蘭霞.陽光教育的理論基礎、基本原則及實施策略Ⅲ.教育實踐與研究（A），2012（8）：4-6.

[3]葛巖，何國軍．“自主教育個性發展”辦學理念探索與實踐[Ⅲ].長春教育2023，39（3）：34-42.