考慮滿意度的軸輻式網絡應急物資配送多目標模糊優化模型

中圖分類號：TP18；F252 文獻標志碼：A

A multi-objective fuzzy optimization model for emergency supplies distribution in hub-and-spoke network considering satisfaction

HUO Liang'an122， QIAN Tiansheng1 （1. Business School， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 2Ooo93， China; 2.SchoolofIntellgentEmergencyManagement，UniversityofSanghaiforcienceandTechnologyhanghai2o3，China）

Abstract： In response to the problem of how to measure the satisfaction of disaster victims in the emergency supplies distribution after disasters， this study comprehensively considered both time and supplies satisfaction. By leveraging general fuzzy numbers and trapezoidal fuzzy numbers to represent the uncertainties in emergency relief supplies arival quantities and delivery times， a multi-objective fuzzy optimization model under the hub-and-spoke network framework was constructed. The model simultaneously pursues three objectives： maximizing satisfaction， minimizing costs and maximizing coverage. An improved greedy algorithm was developed to solve the proposed model. The results demonstrate that the hub-and-spoke network-based multi-objective fuzzy optimization model can maximize comprehensive satisfaction while minimizing emergency costs， and meeting basic requirements for emergency supplies quantities and timeliness. Finally， taking the flood disasters in Fujian Province in 2023 as the case background， the improved model and algorithm were applied to simulate the emergency supplies distribution problem in 9 prefecture-level cities， so as to ensure that the needs of each disaster-stricken site were met to the greatest extent， thus verifying the feasibility of the model.

Keywords： emergency supplies distribution; satisfaction; hub-and-spoke network; improved greedy algorithm; emergency

隨著災害與公共衛生事件頻發，應急物資的配送問題因涉及災民滿意度、交通便利性和供應鏈效率等多重因素，需要科學規劃以實現運輸效率與響應時效的雙重提升。相較于傳統點對點單線配送模式，軸輻式網絡通過集群方式顯著提升配送效能，在應對突發事件時，顯示出較強的優勢。

近年來，軸輻式網絡在應急物資分配中的應用，引起了學者們的關注。Demir等[1構建了一種帶有時間窗的軸輻式混合車輛模型，以確定出入中心點的配送路線。Huang等[2考慮樞紐點端口故障和擁塞的可能性，引入故障概率和擁堵代價，設計了一個擴展的集裝箱航運樞紐軸輻式網絡。譚鈺琳[3]在樞紐局部失效的情況下，構建不同區域混合的軸輻式零擔物流網絡，以提高零擔網絡的可靠性。張劍鵬4將多式聯運應用于軸輻式物流網絡，基于運輸服務時間滿意度和實際運輸過程中的不確定性，構建了一個改進的軸輻式多式聯運物流網絡優化模型。然而，現有研究對應急場景適應性不足，多數研究僅將軸輻式網絡單一地應用于物流模型中，未充分考慮受災環境下的各種不確定因素以及災民的心理特征，難以為災后應急救援工作提供合理的決策方案。

洪水災害是最為常見的自然災害類突發事件，發生頻率較高。洪水災害情景下的應急物資分配問題，應考慮在不確定情況下物資的配送時間和配送量等多種因素。李亞琴等[5以上海市奉賢區為例，研究了洪災情況下食品類物資的配送以及路徑優化問題。張夏等在突發的洪澇災害情景下，優先考慮災民的需求，并采用時空網絡約束配送車輛。徐超毅等加入了災區對應急物資的需求程度約束和軟時間窗約束，構建路徑優化模型，并考慮了車輛行駛速度受天氣差異影響而發生的變化。郭冰等[8運用分段函數構建軟時間窗約束模型，用時間滿意度指標來衡量災民的心理狀況。已有研究大多主要考慮應急物資配送情景中的單一要素，在實際的應急救援物資配送決策中，由于災后各種情況的不確定性，物資在需求量、到達時間滿意度等方面也具有差異

針對上述問題，本研究在軸輻式網絡的框架下，通過選擇樞紐點和中心點，自動匹配合適的受災點，保證服務的可靠性和穩定性，避免突發事件造成的影響。同時，采用覆蓋率最大的函數目標，將所有受災點納入分配范圍，以確保受災點能夠及時得到救援物資，滿足災民的實際需求。對于應急物資到達量及時間的不確定性問題，本文采用一般性模糊數及梯形模糊數進行描述，提高決策的合理性和準確性。最后，根據模型特點，采用改進貪心算法進行求解。

問題分析與建模

1.1 問題描述

突發事件的不可預測性導致無法預先準備好充足的應急物資來應對突如其來的災害。同時，災后道路損毀、節點擁堵、二次災害等情況都會延誤救援時間。因此，如何在有限的時間里選擇最為合適的配送中心，并在各種限制條件下，及時地將應急物資配送至受災點以減少損失是決策的關鍵。

傳統物資配送網絡采用分散化的點對點模式，存在以下顯著缺陷：其一，各節點獨立運營導致運輸路線重疊、空載現象頻發，難以產生規模經濟；其二，倉儲與運輸能力分散造成資源利用率低下；其三，復雜路徑規劃降低響應速度；其四，信息孤島現象增加協調成本，削弱抗風險能力。為此，本文構建以軸輻式網絡為核心的應急物資配送模型，提出引入集約化運營模式降低物流成本，并以滿意度優先為出發點提升配送效率，確保突發事件中的物資需求得到有效保障。

軸輻式網絡是一種優化的物流分發網絡，其中一個中心節點（軸）與多個外圍節點（輻）相連，輻節點負責向周邊地區提供物資。在軸輻式應急網絡構建中，可以通過現實情況構建多層網絡結構。樞紐網絡系統由兩層網絡構成：第一層是樞紐點組成的樞紐網絡，在電信、通訊領域稱之為主干網絡；第二層是非樞紐點與樞紐點之間的輻網絡。軸輻式網絡的規模經濟優勢主要發生在第一層網絡。軸輻式網絡的優化分析主要集中在第一層的樞紐點選址和第二層的網絡連接設計兩方面。軸輻式網絡優化設計的第一步是將已知的樞紐點布置在可選的樞紐候選點上；第二步是將網絡中的非樞紐點分配給第一步中確定的各樞紐點進行服務。兩者結合實現網絡服務總成本最小或網絡覆蓋范圍最大的目標。軸輻式網絡設計一般涉及網絡出發地、目的地、潛在的樞紐候選節點、連接這些節點的網絡連接，以及網絡流量、節點間距離、單位服務成本等模型參數。

如圖1所示，圖中有樞紐點、中心點和一般的應急網絡節點（需求點），通過各個主干線和支路干線構成軸輻式應急物資配送網絡（簡稱軸輻式網絡）。

a.樞紐點的構建

在軸輻式網絡中，一級樞紐點負責連接中心點，成為整個網絡的中心，保證大批量的應急物資及時配送至連接各個物資需求點的中心點，從而避免了時間的浪費以及因重大災害造成的人員和財產損失。

b.中心點的構建

在軸輻式網絡中，需要建立基本的中心點，將各個應急物資的儲備點、需求點連接起來。如果該中心點處于災區，則將此中心點改造成應急物資集散中心，負責將物資配送至受災區域內各個需求點（本文也稱為受災點）。

1.2 物資配送覆蓋率

應急物資配送必須考慮所有受災點的需求，為了避免遺漏任何孤立的受災點，應當明確劃分每個應急中心點負責的區域，保證所有潛在受災區域均被納入中心點的覆蓋范圍內，從而能夠獲得必要的應急物資支持。因此，考慮網絡的覆蓋率是應急物資配送的重要目標。

在不考慮社會環境因素、需求特征的前提下，本文構建應急物資儲備優化的基礎覆蓋模型。該模型根據文獻[9]中的最大覆蓋模型進行拓展，添加變量和相關約束，對各物資儲備量進行確定。另外，相應地將關于物資配送的0-1決策變量松弛為數量決策變量

1.3 災民滿意度設計

1.3.1災民對物資到達量的滿意度

由于天氣、路況等不可控因素，受災點的物資實際到達量具有不確定性。針對這種不確定性，本文利用一般性模糊數限定物資到達量的邊界閾值，以保證決策的合理性。在此基礎上，進一步運用區間模糊數劃分物資到達量的不同區間，從而準確衡量災民對不同物資到達量的滿意度（簡稱物資滿意度），保證決策的合理性。

圖2為物資到達量與災民滿意度之間的關系函數曲線，函數表達式如式（1）所示。由圖可以看出，應急物資配送初期，物資到達量的增加顯著提升了災民的滿意度（臨界值前呈單調遞增），達到飽和閾值后邊際效益歸零，災民滿意度達到最高，并維持此水平

式中： φ（?） 表示滿意度函數， 為受災點物資滿意度；A表示物資實際到達量；Aj、A、A分別表示從中心點配送到受災點 j 的物資到達量的保守估計值、可能估計值、樂觀估計值，且滿足0ij¹ij²ij³ ， i=1，2，…，I ， j=1，2，…，J 。

采用一般性模糊數來表示從中心點 i 配送至受災點 j 的預期物資到達量 因此，對受災點 j 來說，災民的感知物資到達量偏離度為

式中： A_ij 為中心點 i 到受災點 j 的實際到達量； y_ij 為0-1決策變量，將物資從中心點 i 送往受災點j 為1，否則為0。

所有受災點 j 的物資滿意度為

1.3.2災民對物資到達時間的滿意度

災害的不可預見性及其產生的連帶效應（如配送路線損毀、中心點擁堵、二次災害引發新災情等），導致決策者無法準確估計災后救援時間的長短。針對時間的不確定性，本文采用梯形模糊數與區間模糊數相結合的方式來評估災民對物資到達時間的滿意度（簡稱時間滿意度）。

理論上，災害發生后，物資到達時間越早災民滿意度越高，但實際情況并非如此。有些消耗類物資譬如食物、帳蓬等在災民有需求之前到達，并不會顯著提高滿意度。而在有需求的時間區間內到達，因為及時滿足了災民的需求，滿意度會在此階段持續上升，直至達到最高。但如果因為物資到達不及時而導致更嚴重的人員傷害或經濟損失，災民的時間滿意度會急劇下降，

在應急救援場景中，時間滿意度具有顯著的“核心滿意區間 + 彈性邊界”特征：完全滿意區[D_j²，D_j³] 表示物資到達的最優時間窗；可接受區[D_j¹，D_j⁴] 表示可容忍的最早/最晚到達時間；線性過渡區 的滿意度線性遞增， 的滿意度線性遞減。采用梯形模糊數的四元組結構能夠恰好完整刻畫物資到達時間的4個關鍵時間節點，其隸屬度函數曲線如圖3所示，函數表達式為

式中： 表示時間滿意度； D 表示實際到達時間； D_j¹ 、 D_j² 、 D_j³ 、 D_j⁴ 分別表示物資到達受災點 j 的時間保守估計值、兩個可能估計值、樂觀估計值，且滿足 D_j¹j²?D_j³j⁴ （24號

定義受災點 j 的物資到達時間偏離度為

式中， X_ij 為受災點 j 接收到來自中心點 i 的應急物資的時間。

災害發生后，配送道路受損、中心點擁堵等各種不可預見的情況，導致所有受災點的物資到達時間無法精準確定。為提高物資到達時間預估的準確性，本文采用梯形模糊數來表示受災點 j 的預期物資到達時間，即Dj=（D}，D2，D，D4）。

由于物資到達時間具有不確定性，式（5）無法計算出時間滿意度，故使用前景理論來描述個體對損失與收益的心理感知，合理表征災民的時間滿意度。本文以前景理論中的價值函數來衡量受災點 j 對物資到達時間的綜合滿意度，即

式中： α∈（0， 1） 為收益區域的風險規避系數，表示災民對物資到達時間感知收益的偏好程度；β∈（0， 1） 為損失區域的風險尋求系數，表示災民對物資到達時間感知損失風險的偏好程度；λ?1 為損失厭惡系數，表示災民因物資到達時間而感知損失的厭惡程度。

當 ΔD_jgt;0 時， 為正值，越大越好；當ΔD_jlt;0 時， 為負值，代表物資到達時間引起的災民滿意度損失， 絕對值越小越好。受災點應急物資預期到達時間滿意度為

1.4 節點擁堵成本

以洪澇災害為例，中心點在服務多個受災點時，由于受到道路中斷、物資損毀、運力受限等不可抗力因素的影響，應急物資無法及時配送至各受災點，從而導致配送效率低下。采用傳統優化方法進行決策需要完整的信息和穩定的環境條件，但這在突發事件中往往難以得到滿足。相比之下，成本導向方法因其適應多變環境決策、無需完全信息、避免過度優化等特點，在突發事件的決策中更具優勢。為此，本文提出考慮節點擁堵成本的方法，以量化物資集散壓力。

當物資配送量接近節點的承載極限時，新增單位資源投入引發的成本將呈現非線性增長，主要分為3個階段：自由流階段，配送量 A_ijy_ijcrit （臨界容量）時，道路資源充足，成本近似為線性增長；飽和階段， A_ijy_ij?Q_crit 時，由于配送物資增多導致節點工作負載加重，處理速度下降，從而產生“速度-配送量負反饋”；擁堵階段，物資配送出現走走停停現象，擁堵成本急劇上升。

因此，擁堵成本函數可以描述為擁堵成本與物資到達量之間的關系，具體公式如下：

式中： C_j，ij 表示從中心點 i 配送至受災點 j 的擁堵成本； κ 為擁堵成本系數； ω 為常數，且滿足ω?1 。

擁堵函數的改進可以進一步優化堵塞的評價準確度。例如，對于超過節點運輸能力的物資量，計算其擁堵成本為

式中， R 代表節點的運輸容量比。

1.5 目標函數

災害發生后，災后的應急物資配送時間緊、任務重、限制條件多等因素將會影響救援行動的有效開展。因此，本文在已有研究的基礎上考慮物資滿意度和時間滿意度，以滿意度最大、成本最小、覆蓋率最大為目標，構建兩級軸輻式應急物資配送優化模型，以應對各種災害情況下的應急物資配送需求。目標函數如下：

式中： k 表示配送工具， k=1，2，…，K ； V_k 表示配送工具 k 的可用數量； C_ij 表示從中心點 i 配送至受災點 j 的單位物資運輸成本； C_d 表示時間窗違約的固定單位成本； D_j 表示受災點 j 的物資到達時間；γ_j 表示受災點 j 的時間窗，包括開始時間 γ_s，j 和結束時間 γ_e，j ; C_k 表示配送工具的單位時間成本； C_k^′ 表示配送工具的單位時間空駛成本； Q_k 表示配送工具 k 的容量； x_j 表示受災點 j 是否被覆蓋，若覆蓋，則為1，否則為0。式（10）表示物資滿意度最大；式（11）表示時間滿意度最大；式（12）表示總配送成本最小，總配送成本包括車輛固定成本、車輛運輸成本、時間窗違約成本、節點擁堵成本和車輛空駛成本；式（13）表示物流網絡的覆蓋率最大。

在一定數量的車輛從不同配送中心出發為多個受災點進行配送服務時，受災點的地理位置、需求量、訪問時間窗、車輛的容量，以及最大行駛里程已知的條件下，本文以災民時間與物資滿意度最大、網絡覆蓋率最大、配送成本最小為目標，給出以下假設：

假設1受災區域有若干個受災點，數量及位置已知，每個受災點都僅由一個配送中心服務；

假設2所有應急物資均采用公路運輸，運輸所需時間為隨機變量且服從正態分布，對于短時間內無法恢復通行的路段不予考慮；

假設3 運輸車輛總數量已知，且每種車輛均有載重限制；

假設4所有運輸車輛到達每個受災點的時間具有軟時間窗約束；

假設5所有中心點配送不考慮物資裝卸時間和車輛載荷對運輸速度的影響。

約束條件：

γ_s，j?D_j?γ_e，j

0lt;κlt;1

式中， A_j 表示受災點 j 的物資需求量。式（14）表示配送物資量滿足受災點需求；式（15）表示配送數量不超過配送工具容量；式（16表示配送點的到達時間在時間窗內；式（17）表示擁堵成本不能超過運輸成本；式（18）表示配送量和到達量一致；式（19）表示擁堵系數應在 0～1 之間；式（20）表示y_ij 為0-1決策變量，若供應物資則為1，否則為0。

2 模型求解

2.1 去模糊化處理

模糊數的求解通常可以采用以下幾種方法：

一是給定目標置信水平，根據決策者偏好與一般性模糊數特征函數值，采用加權平均與最可能值法將模糊值轉化為確定型數值[0-1]；二是根據模糊數理論，通過隨機模擬算法將模糊數轉化為確定性參數[12]；三是根據Liu等[13]的研究，運用可信性理論將模糊數轉換為等價形式。本文采用第一種方法并對其加以改進，將主觀權重值去除，運用最大-最小值法得出客觀權重值，使結果更符合實際。

步驟1 根據一般性模糊數 得出其特征函數式。

步驟2決策者給定置信水平 δ 后，依加權平均法，將受災點模糊預期物資到達量轉化為確定型數值。

式中， ρ₁ 、 ρ₂ 、 ρ₃ 為決策者根據知識和經驗確定的各模糊預期物資到達量權重，三者之和為1。

步驟3采用最大-最小值法確定權重時，需先對模糊到達量進行歸一化處理，由此可得到，受災點物資模糊預期到達量為

而對于梯形模糊數，可將其看成特殊的三角模糊數，在此也采用相同的去模糊化方法。由此可以得到，受災點物資模糊預期到達時間為

2.2 改進貪心算法

在已有的貪心算法中，當前選擇的節點可能會導致后續解決方案無法達到最優。為避免陷入局部最優，本研究在求解過程中加入回溯步驟，提高整體解決方案的質量。算法流程如圖4所示，具體算法步驟如下：

a.初始解選擇。從候選選址集合中選擇一個初始解作為起點。初始解的選擇根據決策者的主觀判斷，從配送路線集合中進行選擇。

b.貪心選擇。在當前解的鄰域中選擇一個最優的下一步解。根據配送問題的評估準則，例如覆蓋范圍、交通便利性等，選擇當前最佳的配送路徑。貪心選擇可以基于一些啟發式規則或先驗知識來進行，以期望快速找到局部最優解，

c.回溯檢查。在選擇下一步解之前，對當前解進行回溯檢查。檢查當前解的合法性和可行性，即是否滿足約束條件，并評估當前解對后續解決方案的影響。如果發現當前解無法滿足約束條件，或導致后續解決方案無法達到最優，需要回溯到上一步選擇另一個備選解。

d.遞歸搜索。對每個選擇的下一步解，遞歸地進行貪心選擇和回溯檢查。重復進行貪心選擇和回溯檢查，直到滿足終止條件。終止條件可以是達到目標覆蓋范圍、完成配送路徑選擇等

e.解空間剪枝。在搜索過程中，根據問題的特點和約束條件，進行解空間的剪枝，排除明顯不合適的解，減少搜索空間。剪枝可以基于啟發式規則、約束條件的違反程度等進行，以減少不必要的計算，從而提高搜索效率。

f.解的記錄與更新。記錄當前最優解及其評價指標，以及其他有用的信息。在搜索過程中，根據需要更新當前最優解。這樣可以隨著搜索的進行，不斷跟蹤和更新當前最優解，以確保獲得更好的配送方案。

g.最終結果選擇。當搜索過程結束后，根據記錄的最優解及其評價指標，選擇其作為最終的配送方案。根據具體的配送問題，可以根據評估準則、約束條件等進行綜合考慮，選擇最適合的配送方案作為最終結果。

3 數值與算例分析

3.1 算例數據

本文采用2022年我國新設立的區域應急救援中心的真實數據作為算例分析的數據來源。區域應急救援中心共設有6個，分別是東北中心（大慶）、西南中心（成都）、西北中心（蘭州）、東南中心（潮州）、華北中心（張家口）、華中中心（武漢）。

本文以2023年超強臺風“杜蘇芮”引起的福建特大水災為例，針對福州市、廈門市、莆田市、三明市、泉州市、漳州市、南平市、龍巖市、寧德市共9個地級市，以東南中心（潮州）為應急物資配送樞紐點，運用本文提出的模型與算法進行模擬仿真研究。表1為各個受災點的坐標位置，表2為各個受災點的模糊物資需求量、模糊預期到達時間。

本研究仿真試驗中的配送車輛共分為A、B和C3種車型，對應的車輛數分別為2、2和3，共7輛車。3種車型配送車輛的載重量分別為700、800和 1000kg ；車輛固定成本分別為600、800和1000元；單位里程運輸成本分別為10、12和15元 /km ；單位里程的油耗分別為0.16、0.18和 0.22L/km ；油價為8.52元/L；配送車輛勻速行駛的速度為 40km/h ；超出時間窗的懲罰成本為300元/h。

3.2 結果分析

采用上述提出的算法對模型進行求解，初始種群大小為100，最大迭代次數為500次，得到結果如圖5所示。由圖可見，迭代結束后，所有的解收斂到帕累托前沿面上。解集的橫坐標和縱坐標分別表示配送總成本和滿意度兩個目標。在帕累托解集中的每個解均表示經過迭代后所得的滿足帕累托最優的一種物資配送方案。圖6為應急物資配送路線圖，可以看到3個中心點分別為三明市、漳州市、寧德市。先由潮州市（樞紐點）分別向中心點配送物資，再由中心點向各個區域內的受災點分配物資。

如圖7所示，時間滿意度在迭代最開始時由于洪澇災害導致的道路受損等因素，難以及時將物資運送到各個受災點，從而出現了曲線震蕩的情況。在經過不斷回溯檢查操作之后，迭代曲線漸漸趨于平穩，全局結果逐漸接近最優。

如圖8所示，物資滿意度迭代曲線同樣在迭代最開始時出現震蕩。這是由于目標模型過大，需求點和需求量過多，無法及時找到滿足所有受災點的最優路線。但是，在經過回溯檢查操作之后，及時地得到了最優解，在迭代150次左右曲線趨于平緩。

如圖9所示，成本迭代曲線在迭代200次左右后趨于平緩，驗證了算法的可行性。

典型最優解顯示：應急物資配送總時間為3.0527h ，較傳統現有配送模式大幅縮短；需求滿意度指標為0.0019，反映出在極端時間約束下配送物資僅能滿足核心避難場所生存必需品的需求；總成本達 0.8×10⁹ 元，包含車輛運輸、油量損耗和時間窗懲罰等多種配送成本。

相較于已有研究，本文在考慮時間與成本的基礎上，增加了滿意度指標，能更好地體現實際情況并滿足災區的現實需求。從表3中可以看出，各受災點對于應急物資的需求基本得到滿足，物資滿足率均在 70% 左右，整體上保障了受災點的應急需求，同時減輕了災民在應急物資配送中所遭受的負面刺激，最大限度地避免了災民心理感知進一步惡化，也驗證了本文模型與算法的有效性。對于災情較為嚴重、物資需求量較大的南平市和三明市來說，物資滿足率也在 70% 左右浮動，該結果進一步說明了模型的可行性。

3.3 靈敏度與性能分析

以本文分析案例為基礎，控制其他參數和目標函數不變，在不考慮成本約束的情況下，進行成本靈敏度分析，利用本文改進貪心算法進行求解，得到的結果如圖10所示。隨著成本上升，時間滿意度和物資滿意度均有所增長，但是增長幅度并不明顯，驗證了本文結論的經濟適用性

表3各受災點配送滿足率

為了驗證本文所提改進算法的優越性，將其與主流算法進行對比。在相同的計算環境和條件下，分別對算法的計算時間、目標結果進行比較，具體數據如表4所示。由表可以發現，本文提出的改進算法在這些結果上均優于其他算法，整體性能更具優勢。進一步計算這些算法結果的差值，可以得出平均性能提高約 14%

4結論

本文考慮災后道路受損、中心點擁擠等因素導致的無法精確計算物資配送量和配送時間的問題，以滿意度最大、成本最小、覆蓋率最大為目標，構建了一個適用于大多數災后物資配送決策的軸輻式應急物資配送優化模型，并應用具有回溯機制的改進貪心算法對模型進行求解。最后，以2023年福建省洪澇災害為背景，對災后應急物資配送問題進行模擬仿真，并與其他主流算法進行仿真結果對比，驗證了本文模型與算法的可行性。

未來，針對突發事件和應急物資配送領域的研究將面臨更加復雜且多維的挑戰，同時，這些挑戰也孕育著巨大的創新潛力。隨著全球氣候變化的加劇、城市化進程的快速推進以及社會復雜性因素的增加，突發事件的發生頻率和規模有可能上升，這對應急物資配送系統的建立和有效運行提出了更為嚴格的標準要求。因此，未來的研究需要采取多學科交叉的方法，結合先進技術、管理理論和實踐經驗，構建一個更加智能化、動態化和協同化的應急物資配送網絡。

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（編輯：丁紅藝）