數(shù)學(xué)界的謎題

在北京科學(xué)中心的戶外空間有7座中國古建風(fēng)格的木橋，它們共同還原了一個(gè)載入史冊(cè)的科學(xué)問題，這要追溯到千里之外的加里寧格勒……

加里寧格勒州是俄羅斯最小的州，中心城市是加里寧格勒，原名哥尼斯堡（K nigsberg）。它位于俄羅斯最西邊，南鄰波蘭，東北部和東部與立陶宛接壤，領(lǐng)土多為低平原。境內(nèi)主要的河流有涅曼河——115公里，普列戈利亞河——123公里，還分布著100多個(gè)大大小小的湖泊及若干沼澤。

18世紀(jì)的哥尼斯堡是東普魯士的貿(mào)易與軍事重鎮(zhèn)，橋梁則是市民通勤、商人運(yùn)貨、士兵調(diào)動(dòng)的必經(jīng)之路。普列戈利亞河將城市分割為4塊陸地：兩個(gè)河心島與兩岸的舊城、新城，7座橋梁橫跨河流，成為連接城市生活的紐帶。市民們每日穿行于這些橋梁之間，逐漸萌生了一個(gè)看似簡單卻困擾眾人的疑問：“能否不重復(fù)、不遺漏地一次走遍所有7座橋，最終回到起點(diǎn)？” 盡管無數(shù)人嘗試，卻始終找不到解法，這一謎題逐漸成為數(shù)學(xué)界的焦點(diǎn)——哥尼斯堡七橋問題。

1736年，天才數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard Euler）受此問題啟發(fā)，摒棄傳統(tǒng)的試錯(cuò)法，轉(zhuǎn)而用抽象思維將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)幾何問題。他將4塊陸地抽象為點(diǎn)（兩岸為A、C點(diǎn)，兩座島為B、D點(diǎn)），7座橋抽象為線，構(gòu)建了一個(gè)圖論模型。如此一來，七橋問題就變成了“以下圖形能否一筆畫完”的問題：

歐拉發(fā)現(xiàn)，一個(gè)圖形能否一筆畫完的關(guān)鍵，在于連接每個(gè)點(diǎn)的線有多少條：如果每個(gè)點(diǎn)上連接的線都是偶數(shù)條（如2條、4條、6條），那么可以一筆畫完，并且返回起點(diǎn)；如果有且只有2個(gè)點(diǎn)上連接的線是奇數(shù)條（如1條、3條、5條），那也可以一筆畫完。如果一筆畫起點(diǎn)上的線為奇數(shù)條，那么終點(diǎn)上的線也為奇數(shù)條；如果只有1個(gè)點(diǎn)或者超過2個(gè)點(diǎn)連接的線是奇數(shù)條，就無法一筆畫完。

在七橋問題中，與4個(gè)點(diǎn)連接的線數(shù)量分別是：A點(diǎn)3條（奇數(shù)），B點(diǎn)3條（奇數(shù)），C點(diǎn)3條（奇數(shù)），D點(diǎn)5條（奇數(shù)），歐拉由此得出結(jié)論：七橋問題無解。另有人提出，可通過增加1座橋來解決七橋問題。你知道這座橋應(yīng)該如何建嗎？為何多建1座橋能解決問題？

1736年29歲的歐拉向圣彼得堡科學(xué)院遞交了《哥尼斯堡的七座橋》的論文，開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一個(gè)新的分支——圖論與幾何拓?fù)洹Ｋ麑?shí)際問題抽象為“點(diǎn)—線”結(jié)構(gòu)的思想成為圖論的基礎(chǔ)，后應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)分析、交通規(guī)劃、社交網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域；而他提出的“幾何位置”（geometry situs）概念，強(qiáng)調(diào)物體間的位置關(guān)系而非它們的形狀和大小，成為拓?fù)鋵W(xué)的前身，著名的歐拉公式也源于此。

如果你來到俄羅斯加里寧格勒，想一次性打卡七橋問題中的七座橋是不可能的。不僅因?yàn)槟堑罒o解的命題，更因戰(zhàn)火硝煙與河流變遷早已抹去了它們的痕跡，但七橋問題作為寶貴的科學(xué)遺產(chǎn)，在數(shù)學(xué)史上仍熠熠生輝。