電磁感應問題中動量定理的應用

電磁感應與力的綜合應用問題是高考命題的熱點，綜合性強、難度大，這類問題從不同角度可以分為單桿問題、雙桿問題和線圈問題，或有外力和無外力幾種情況.本文主要討論單桿切割磁感線時受外力和不受外力兩類問題，兩類問題中單桿做非勻變速運動，安培力為變力，常涉及求單桿運動時間、位移和電荷量，通常應用動量定理求解.

1 無外力情況

如圖1所示，無外力情況下的電磁感應問題的情境一般是導體棒以初速度 切割磁感線，導體棒質量為 、電阻不計，磁感應強度為 B ，導軌間距為 L .無外力情況下，水平方向上導體棒只受安培力，由于安培力為變力，則導體棒切割磁感線做非勻變速運動，當速度為0時，根據動量定理有 ，有 -" F安t = -""B 2 ""L2"v/ R" "t = -" B"2"L"2"x/R "=" ，解得 從而建立位移和電荷量的關系.

例1 如圖2所示，水平面上有兩根足夠長的光滑平行金屬導軌MN和 P Q ，兩導軌間距為 ? ，電阻均可忽略不計，在 M 和 P 之間接有一阻值為 R 的電阻.導體桿 a b 質量為 、電阻為 r ，并與導軌接觸良好，整個裝置處于方向豎直向上、磁感應強度大小為 B 的勻強磁場中.現給 a b 桿一個初速度 ，使桿向右運動， a b 桿最后停在導軌上.下列說法正確的是（ ）.

A.ab桿速度減為 時， a b 桿加速度大小

B.ab 桿速度減為 時，整個過程回路中產生的熱量為 C.ab桿速度減為 時，通過電阻的電荷量 D.ab桿速度減為 時， a b 桿通過的位移

導體桿在光滑導軌上運動，水平方向上只受安培力，當其速度減為 時，根據牛頓第二定律有 a"=" F安/"m "="B "2"l"2v"0/"3 m （ R + r ） "，選項A錯誤.根據能量0守恒定律，桿運動的過程中損失的動能轉化為回路中產生的熱量，故有 gm，選項B錯誤.設桿速度從υ。減為 經過的時間為 ，根據動量定理有- "F安"t = - B"I"l t =" ，解得 ，選項C錯誤.另有 解得 ，選項D正確.本題選D.

位移已知時，可以用電荷量和位移的關系求出電荷量大小；位移未知時，應用動量定理求解電荷量.

例2如圖3所示，有一區域足夠大的勻強磁場，磁感應強度大小 B = 1T、方向與水平放置的金屬導軌垂直，導軌光滑且足夠長，寬度為 L = 2 m ，右端接有電阻 R = 3 Ω . M N 是一根質量為 電阻 的與導軌垂直放置且接觸良好的金屬棒，不計其他電阻.現給金屬棒M N 一水平向左的初速度 ，則（ ）.

A.金屬棒MN運動的最大距離是 8 m B.金屬棒MN運動的最大距離是 1 6 m C.當金屬棒 M N 產生的焦耳熱 Q = 3 J 時，金屬棒MN的加速度是 （20D.當金屬棒 M N 產生的焦耳熱 時，金屬棒 M N 的加速度是 （20

金屬棒在磁場中運動，水平方向上只受安培力，設金屬棒從開始運動到停下經過的時間為 ，運動的最大距離為 x ，根據動量定理有

解得 （R+r）mu。=8m，選項A正確.電阻為1Ω的金屬棒 M N ，產生的焦耳熱為3J時，電阻 R 產生的焦耳熱為9J，則整個回路產生的焦耳熱為12J，由能量守恒定律知金屬棒運動時損失的動能轉化為回路中產生的焦耳熱，即有

解得v=2 m·s-1，由牛頓第二定律得 a ="F安/"m"=" ，選項D正確.本題選A、D.

解題時應注意選項只給出了金屬棒產生的焦耳熱，并非總的電路產生的焦耳熱，應該用電阻分配算出整個回路產生的焦耳熱，再用能量守恒定律求出金屬棒的速度，進而根據牛頓第二定律求出加速度.

2 有外力情況

如圖4所示，有外力情況下，以導體棒運動方向為正方向，根據動量定理有 即 ，得到電荷量與時間的關系.和無外力情況下的導體棒切割磁感線情況相比，無外力情況下最終得到的表達式不含 ，而有外力情況下，得到含 的表達式，在其他物理量已知的情況下，若知 q 和 t 其中一個物理量，就可求出另一個物理量.

例3如圖5所示，平行金屬導軌豎直固定放置，頂端接一阻值為 R 的電阻，平行邊界MN和 P Q 相距 x ，內有磁感應強度為 B 的勻強磁場，一質量為 的導體棒從邊界MN處由靜止釋放，到邊界 P Q 處時，加速度恰好為零，已知平行金屬導軌寬為 L ，重力加速度為 g ，導體棒始終與導軌保持良好接觸，不計導體棒和導軌電阻，則（ ）.

A.導體棒到邊界PQ處時速度的大小為 B.導體棒到邊界 P Q 處時速度的大小為 C.導體棒穿過磁場所用時間為 D.導體棒穿過磁場所用時間為

導體棒到達 P Q 時，加速度恰好為零，此時其受力平衡，重力和安培力大小相等，即有 ，得u= B2L，選項A正確.對導體棒列動量定理方程有 ，得

解得 B選項C正確.本題選A、C.

當導體棒到達磁場邊界時，加速度為零，說明此時重力與安培力達到平衡，通過這一條件可以求出導體棒的速度大小.在求解導體棒穿過磁場的時間時，可考慮利用動量定理，將安培力的沖量與速度變化量聯系起來.

例4如圖6所示，間距為 L 的兩根平行長直金屬導軌 M N ? P Q 固定在傾角為 θ 的絕緣斜面上，導軌上端接有阻值為 R 的電阻，一根長

為 L 、電阻為 3 R 的直導體棒ab垂直放在兩導軌上，整個裝置處于方向垂直斜面向上、磁感應強度大小為B 的勻強磁場中， a b 由靜止釋放后沿導軌運動，下滑位移大小為 s 時到達cd位置并開始以最大速度""做勻速運動 a b 在運動過程中與導軌接觸良好，不計導軌電阻及一切摩擦，重力加速度大小為 g .求從ab由靜止釋放到開始勻速運動過程中所經歷的時間"

應電動勢不斷增大，感應電流不斷增大，安培力不斷增大，加速度逐漸減小，導體棒先做變加速運動，加速度減為零時做勻速運動，此時有 m g sin θ =""，另有q""，對導體棒根據動量定理有mg sin""，把算出的導體棒質量和電荷量代入上式，得"

點電磁感應問題中如涉及求時間，應考慮用動量定理求解.本題思路是先用q=""求出電荷量，進而得到安培力的沖量，再根據動量定理求出時間.

電磁感應中的單個導體棒問題，由于安培力是變力，動量定理成為解決問題的主要突破口，深刻理解動量定理對解決此類問題具有重要意義.

（完）