一類混合型隨機變量的分布及其數字特征研究

摘" 要：分析了離散型和連續型兩類隨機變量的分布函數特點，以此揭示了存在著既非離散又非連續的隨機變量，通過分布函數的連續性級跳躍性給出了3類隨機變量類型的判別方法。進一步擴充了隨機變量的數字特征的計算方法，給出了分布函數具有有限個或可列個間斷點相對應的這一類隨機變量如何計算其數學期望。并通過全國研究生入學考試真題對以上問題進行了說明。

關鍵詞：隨機變量" 分布函數" 數學期望" 數字特征" 分布律" 密度函數

中圖分類號：O211.5

Research on Distribution and Digit Characteristics of Singular Random Variables

YANG Jielin" JIN Hao*

Xi'an University of Science amp; Technology， Xi'an， Shaanxi Province， 710054 China

Abstract： This paper examined the distribution function problem for random variables that are either discrete or continuous. Based on the distribution characteristics， we revealed the existence of random variables that are neither discrete nor continuous. Three types of random variables are discriminated by the continuity and discreteness of the distribution functions. Furthermore， we extended the methods for calculating the numerical characteristics of random variables. We investigate the calculation of mathematical expectation for random variables whose distribution functions contain finite discontinuities. These issues are illustrated through examples from China's National Postgraduate Admission Examination.

Key Words： Random variable; Distribution function; Mathematical expectation; Digit characteristics; Distribution law; Density function

在日常的生活和工作中，隨機性的現象處處存在，概率論與數理統計這門學科就是涉及這些隨機現象統計規律研究的。隨機變量作為概率統計的核心知識點，?是將隨機現象數值化的工具，?使隨機現象的研究得以數學化、?精確化。因此隨機變量是概率論的基石，是數據分析和推斷總體特征的基礎。?在教學過程及目前的教材中，首先學習隨機變量，緊接著學習離散型和連續型兩類隨機變量，大多數學生會自然認為隨機變量只有離散型和連續型兩大類，不僅僅工科學生如此認為，在概率統計專業研究生復試面試時也存在這種情況。本文將深入分析隨機變量分布函數的特征，揭示存在著不是離散型也不是連續型的其他類型的隨機變量，同時給出一類特殊情況下數學期望的定義方法。

1" 隨機變量分布函數的特性

對于隨機變量的分布函數大多數教材定義為[1-2]，設是一個隨機變量，對于任意的實數，實函數稱為隨機變量的分布函數。此處采用來定義意味著分布函數有判定性質遞增性、右連續性、有界性及教學中要強調的一是分布函數是一個普通函數，能用高等數學的理論與方法來研究隨機變量，二是任意的隨機變量都有分布函數，可以用判定性質來判斷某函數是否可以作為分布函數。

如果隨機變量全部可能取的值有限個或可列多個，這樣的隨機變量稱為離散型隨機變量，此時一般不用分布函數，而是常用分布律來研究其統計規律，分布律為（取值由小到大排列）。分布函數可以由分布律得到

式（1）中：為隨機變量的分布函數，為隨機變量的取值，為分布律。

由此可以得到當時，.可知離散型隨機變量在其取值點右連續，其他點均連續，區間內為一常數，因此其特點是其圖像為臺階型的逐級遞增。

若實函數為隨機變量的分布函數，如果存在一個非負可積的實函數（稱為密度函數），分布函數可以表示成的變上限積分，，則稱為連續型隨機變量。

因此可以用高等數學知識分析密度函數，由于對于任意的實數，分布函數增量為

由定義是可積的，因此有界，即存在正實數，使，從而有

因此，，由此可知連續型隨機變量的分布函數在整個實數范圍內處處連續，注意密度函數并不一定是處處連續的[3]。

對于連續型隨機變量的定義還需要強調，其密度函數并不是唯一的，例如隨機變量服從指數分布，其密度函數可以表示為和

教材中并沒有描述不是離散型隨機變量定義為連續型隨機變量，而是給出了嚴格的定義，這其實就暗示了存在其他類型的隨機變量，也就是既不是連續型隨機變量也不是離散型隨機變量以外的復雜隨機變量[4]。由于任何一個隨機變量都有分布函數，上面已經證明了離散型和連續型兩類隨機變量的特性，所以對于其他的隨機變量仍可以從分布函數角度出發討論。

定義1 若某個隨機變量的分布函數不是在實數范圍內處處連續的，圖像也不是臺階型的逐級遞增的，則稱其為復合型隨機變量或者非離散非連續型的第三類隨機變量。

例1" 若隨機變量的分布函數為則

此題為全國研究生入學考試數學真題，雖然考查的知識點是分布函數的性質，由單點的概率

但通過深入剖析題目中的分布函數，按照定義1它不是連續型隨機變量的分布函數，也不是離散型隨機變量的分布函數。首先在處不連續，因此不是連續型隨機變量；其次，其圖像在范圍內嚴格單調遞增，不是常數，因此不是離散型隨機變量。

在概率論中隨機變量函數的分布[5]是重點也是難點，是考研中常考的知識點，正是由于隨機變量的復雜性，因此常常設問隨機變量的分布函數，而不是密度函數，實質上它都不一定是連續隨機變量，例如下面的兩道全國研究生入學考試真題[6]。

例2 若隨機變量的密度函數為定義隨機變量的函數為求隨機變量的分布函數。

采用求隨機變量函數分布的最基本方法，可求得隨機變量的分布函數為

分析此分布函數，在處不連續，因此不是連續型隨機變量，但是很多同學會直接求導得到密度函數，這就錯了，其實它都不滿足歸一性，不能作為某個隨機變量的密度函數。

例3 設為服從參數為的指數分布的隨機變量，則的分布函數有什么特點？是階梯函數還是連續函數，或者有幾個間斷點？

此題同樣考查隨機變量函數的分布計算方法及分布函數的特點，可以采用分布函數法得到隨機變量的分布函數，再分析函數的特點，分布函數為

顯然，函數只在2處是不連續的，只有一個間斷點。因此是第三類復合型隨機變量。

2 復合型隨機變量的數學期望

對于以上討論的復合型隨機變量數字特征數學期望教材中沒有給出，為了研究此類隨機變量的數學期望，首先分析離散型和連續型兩類隨機變量數學期望的定義[7]。

定義2 假設隨機變量的分布律為，并且，則離散型隨機變量的數學期望為設隨機變量的密度函數為，且有，那么連續型隨機變量的數學期望為。

由教材給出的定義可知，隨機變量的數學期望分別由分布律和密度函數給出，而不是由分布函數給出的。所以，其他類型隨機變量的數學期望就無法利用定義計算了，當然即便是離散型或者連續型隨機變量也不一定存在數學期望，這就使得復合型隨機變量的數學期望難以討論[8]。本文給出一類局部離散局部連續的復合型隨機變量數學期望的計算方法，此時隨機變量沒有分布律也沒有分布密度，因此只能用分布函數定義。

定義3 設隨機變量的分布函數其不可導的點為，其他點均可導，若，則的數學期望為

式（2）中：為隨機變量的期望；為隨機變量的分布函數；不可導點集為為分布函數不可導點集。

定義3 中數學期望的計算方法包含了離散型或者連續型隨機變量情形，是定義2的擴充。對例1至例3中的特殊隨機變量就可以計算其數學期望了。

3 結語

本文從隨機變量最根本的分布函數出發，剖析了離散型和連續型兩種類型隨機變量分布函數的特征。給出了通過分布函數特征判斷隨機變量類型的方法，分布函數圖像是臺階型逐級遞增的隨機變量為離散型隨機變量；處處連續的分布函數對應的隨機變量為連續型隨機變量；其他均為混合型隨機變量。結合離散型和連續型隨機變量數學期望的定義，研究了混合型隨機變量的期望定義，該定義是兩種常見類型期望的擴充，適用范圍更廣。

參考文獻

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