回歸教材與高考真題，提高解析幾何復習效率

一、背景

高三學習的主旋律是復習，教師通過系統的復習課來讓學生回顧知識與方法，整合與完善高中數學知識的框架，從而提升學生的數學核心素養。高三復習課與新授課的區別在于，前者更重視對挖掘知識深度，延伸知識的廣度，積淀知識的厚度，而實現這樣的教學效果則需教師回歸基礎、回歸教材，挖掘教材與高考真題之間的聯系，提高復習的針對性與實效性。

每年的數學高考題都會引起一線教師極大的關注，高考真題經命題者反復斟酌、打磨后最終定型，是高三數學教師在復習課的設計上需要反復研究的。因此在高三復習過程中，教師有意識、有自的地對高考試題進行反思探討，挖掘高考試題與教材的內在聯系，可以有效提高教學效率。本文以解析幾何中熱點問題定點、定直線問題為依托，引入人教A版教材選擇性必修一第三章的一道例題，結合兩道高考真題，引導學生在解析幾何問題時要注重幾何性質的應用，結合代數特征與幾何特征才能降低運算量，體現數形結合、非對稱轉化為對稱問題、轉化與化歸的思想方法。

二、教學過程簡錄

（一）筑：教材引入，精設問題

選擇性必修一第108頁例3：設 A？ B 兩點的坐標分別為（-5，0）和（5，0）.直線 相交于點 M 且它們的斜率之積是- ，求點 M 的軌跡方程。

學生能夠采用直接翻譯條件的方式迅速得到點M 的軌跡是挖去左右兩個定點的橢圓。

教師提問：（1）橢圓中的 和 b 分別是什么？

（2） 與這個橢圓有何關聯？

從而提煉得一般性的判定：定點 A（-a，0），B（a，0） 0），動點 M 滿足 則動點M在橢圓 上（除去 A 點和 B 點）。

教師（提問）：滿足斜率積條件的動點的軌跡方程是橢圓的一部分，則橢圓上的動點與左右頂點的斜率積為定值，是否可以將左右頂點推廣至更一般性的點？

學生迅速得到一般性的結論：已知 A∨ B 是橢圓 上關于原點對稱的兩個點，點 P 在橢圓上。當PA、PB斜率存在時，則有kpt'km=e2-1=-2

教師（總結）：事實上，在雙曲線中也有類似結論，這是大家熟知的第三定義。而這個定義成立的前提是橢圓與雙曲線本身具有的中心對稱性，代數結論背后隱藏的是圓錐曲線的幾何特征，體現了解析幾何中的數與形的結合?；貧w教材，我們不僅是要重溫重要的結論，更要體會結論生成的原因與教材例題呈現結論的延展。

我們將一般性結論推廣至雙曲線：在雙曲線 c -=1（agt;0，bgt;0）中，A、B是關于原點對稱的兩點， P 是雙曲線上異于 A？ B 的一點，若 存在，則有：kPA kpB=e2-1=b2 （同理可證）

（二）練：思維啟迪，鑄就素養

例1：（2022年全國高考甲卷數學lt;理gt;試題）橢2+=1（agt;0，bgt;）的左頂點為A，點PQ均在

c 上，且關于 y 軸對稱。若直線 的斜率之積

為 ，則 c 的離心率為 （ ）

學生解法一：設

學生解法二：直接利用斜率積的結論進行轉化，將 Q 點關于 x 軸對稱，得到 點，

例2：已知 是橢圓 與雙曲線x2 的公共頂點， P 是雙曲線上的一點， P A：，P B 交橢圓于 M，N 若 M N 過橢圓的焦點為F ，且 ，則橢圓的離心率為 。

學生解法：利用橢圓與雙曲線的斜率積關系，點P 在雙曲線上，因而有 ，且點 P 也在橢圓上，也有kpB=b2， ，對比兩個等式可得 ，由橢圓與雙曲線的軸對稱性可知 M，N 兩點關于x 軸對稱。設點 ，由 ，

學生在處理這個題目時容易得到兩個斜率積關系，很多學生停在這個地方無法動筆，容易忽略M，N 兩點的對稱性，其根本原因是未能將斜率積關系轉化出來的代數關系與圓錐曲線的幾何特征結合起來，而這正是解析幾何問題的重點和難點。教師設置這道例題正是希望學生除了關注代數特征，還需要有意識地判斷其可以與哪些幾何特征結合起來，這也正是本節復習課的初衷。

例3：已知橢圓c：2 ，過 c 中心的直線交 c 于 M，N 兩點，點 P 在 x 軸上，其橫坐標是點 M 橫坐標的3倍，直線 N P 交 c 于點 Q ，若直線QM恰好是以 M N 為直徑的圓的切線，則 c 的離心率為（ ）

A.√2 2

學生解法：設 ，則 ，設 分別為直線 M N，Q M，N P 的斜率，則 直線QM是以MN為直徑的圓的切線，所以 O M⊥ MN，kik2=-1，所以k2k=-- ，又因 Q 在直線 N P 上，所以k=2+y，因M、Q在2 上，且兩點關于原點對稱，故 即

本題中 M，Q 在橢圓上，且兩點關于原點對稱，他們的斜率積關系一旦確定，就等于橢圓的離心率已經確定。本題在本節課中起承上啟下的作用，與例2有關聯，為思考下一環節中難度較大的兩道高考真題做好鋪墊。

（三）探：強化探究，思維拓展

例4：（2020·新課標I，文21理20）已知 分別為橢圓 的左、右頂點， G 為 E 的上頂點， P 為直線 x=6 上的動點， P A 與 E 的另一交點為 與 E 的另一交點為 D 。證明：直線 C D 過定點。

學生思路一：設點 ，通過 P 點表示 （2 ，分別寫出直線 A P 與直線 B P 的方程為： 與 ，將兩直線分別與橢圓聯立，通過\"設而要求\"的思路，借用韋達定理分別求得點 c 坐標為 ，點 D 坐標為 此時結合橢圓的對稱性，可以判定直線的定點在 x 軸上，根據兩點坐標寫出直線 C D 方程為 ，令 y=0 ，可得直線過定點

學生思路二：通過幾何關系發現直線 A P 與直線B P 的斜率關系為 ，因為 c 點在橢圓上，則（204號 ，結合兩個斜率關系，以 為橋梁，則 ，設 ，直線 C D：x=m y+t 與橢圓聯立得： 。本題從韋達非對稱問題轉化為常規的斜率積下的定點模型，代人得 ，化簡得： ，利用韋達定理整體代人可得：t=

學生第一次解本題時，下意識地將直線 C D 設為 y=k x+t ，根據直線 A P 與直線 B P 的斜率關系為 ，建立一個非對稱的兩根關系式： y，往下計算涉及不對稱韋達定理的處理，計算量較大，對學生來說是難度較大的。而學生在課堂上提出的第二種思路，則要求學生首先對橢圓的斜率積過定點的模型非常熟悉，并且對橢圓中的斜率積關系能夠靈活應用，將代數特征與幾何關系 結合到一起，從而將韋達非對稱問題轉化成學生非常熟悉的定點模型。

例5：（2023·新高考全國 I 改編）已知雙曲線 c 的方程為：2 ，記 c 的左、右頂點分別為 ，過點 （-4，0） 的直線與 c 的左支交于 M，N 兩點，直線 與 交于點 P 證明：點 P 在定直線上。

學生解法：設 ，所以設直線MN線的方程為 x=m y-4 ，且 與2 聯立可得 ，且 0，則y+y=4 ，直線 的方程為 ，直線 的方程為 2），聯立可得 ，由 可得 x=-1 ，即 ，據此可得點 P 在定直線 x=-1 上運動。

教師提問學生點與點的位置有何特殊性，試圖引導學生發現其中也蘊含了斜率積關系，從而將韋達非對稱問題轉化為對稱問題，引導學生提出第二種方法。

解法二：設 ，所以設直線MN的方程為 x=m y-4 ，且 與 聯立可得： ，且 ，則 直線 的方程為 y= ，直線 的方程為 ，聯立可得x+2 （2號 ，又因為 ，因此， 原式可以轉化為x+2 ，以下解法同解法一。

這兩道例題都體現了在解析幾何中，將斜率積這個代數特征與題中現有的斜率關系即幾何關系結合后，能夠極大地簡化運算，將陌生的問題轉化成熟悉的題型，體現了轉化與化歸的思想

教師提問：（1）點 P 的軌跡方程是什么？（2）點 P 軌跡的形成與本節引入的教材例3的聯系是什么？

此處設問是將此道高考真題與教材題進行聯系。通過本節課的引例，學生可知動點與兩定點的斜率積為定值，可得軌跡為橢圓的一部分，而例4則是動點與兩定點的斜率之商為定值，此時動點的軌跡為直線的一部分。由此可見，例3與例4兩道高考真題其實是來源于教材又高于教材的例題，不僅體現在對具體知識點的應用，還體現在對知識的進一步延伸與探究。而教材的探究也不止步于動點與兩定點的斜率之積為定值的軌跡問題，在這個章節的章末習題的第九題如下：

已知 兩點的坐標分別是 （-1，0）（1，0） ，直線 相交于點 M ，且它們的斜率之和是2，求點M 的軌跡方程。

教師在此環節給學生留下探究的余地，提出一系列探究問題：（1）若斜率之積為2，則點 M 的軌跡方程是什么？（2）若斜率之商為2，則點 M 的軌跡方程是什么？（3）若點 M 的斜率之差為2，則點 M 的軌跡方程是什么？

（四）策：由表及里，思維升華

教師引導學生對本節課的知識與方法進行小結，在知識層面需要理解并學會應用橢圓與雙曲線中的斜率積關系，其中體現了轉化與化歸的思想、將韋達非對稱轉化成對稱的韋達定理，更重要的是數形結合的思想，將代數特征與圓錐曲線中的幾何特征（本節課的幾何特征基本體現在對稱性上）結合應用，才能真正達到降低運算量的目的，這正是教材與高考真題所反饋的一個重要信息。回歸課本，學生應該重視教材例題與習題中呈現的知識點與解決問題所采取的思想與方法。

三、高三復習課應注重的三個問題

（一）重視高考真題使用與歸類

高考真題體現了命題者對考試內容的深思熟慮，對學科素養的高度認識，它們是最好的復習資源。教師認真研究與思考高考真題，理解與回顧命題者的命題思路和涉誤角度，對高三復習課有事半功倍的效果。那么如何在復習課的設計中利用高考真題，讓其發揮最大效應，是高三教師思考的方向。在本案例中，教師通過引入一道課本例題，讓學生回顧橢圓與雙曲線的第三定義，并理解這種代數關系成立的原因是橢圓具有中心對稱性，例1恰好體現引例中代數特征與幾何對稱性的結合。例3與例4兩道高考真題分別考查求定點與定值的問題，再利用轉化與化歸的思想，可歸類為解析幾何中對稱性的韋達定理的整體代入。

（二）重視教材的例題與典型習題

教材中的例題的解題方法與其中蘊含的思想方法具有典型性，通常可以推廣至一般題型，形成推論。教師在進行高三教學設計時要利用例題的教學價值，歸類通性通法，挖掘數學思想。本課的教材例題作為引例，其證明過程包含了“點差法”，這是解析幾何中的中點弦問題的常用方法，其內涵在于圓錐曲線的對稱性?！皥A錐曲線”在高考中常出現定點與定值問題，在新教材的課題及課后習題中都涉及直線的定點問題或定值問題。本節課引導學生掌握定點、定值這類問題的解題策略，更能深刻體會高考真題源于教材而又高于教材。高三教師應在復習課中重視對教材例題及課后習題的研究，進行拓展延伸，將教材的例題與高考真題進行銜接。

（三）重視通法與數學思想的灌輸

在本節課中，教師注重引導學生借助斜率積關系將非對稱的結構轉化為對稱結構。本節課將傳統的解析幾何問題的解題導向轉化為以素養為自標的過程性教學，引導學生理解問題的本質，學會舉一反三，夯實基礎。在新課標、新教材、新高考的背景下，教師需要引導學生理解并熟練應用基礎知識與通用方法，從數學本質上培養學生的邏輯推理、數學運算等數學素養，培養學生的理解能力。教師只有在基礎方法與數學思想的灌輸上下功夫，才能使學生在理解的前提下靈活運用知識點，促進學生能力的發展，回歸育人本位。

（作者單位：深圳市新安中學lt;集團gt;高中部）

編輯：陳鮮艷