基于結(jié)構(gòu)化思維 凸顯軸對稱本質(zhì)

圖形的運動，又稱圖形的變換，分為全等變換和相似變換，小學(xué)階段有關(guān)圖形的全等變換內(nèi)容為平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱。在學(xué)習(xí)了相關(guān)內(nèi)容后，當(dāng)提及圖形的運動時，學(xué)生首先想到的是平移和旋轉(zhuǎn)，而沒有將與平移、旋轉(zhuǎn)一樣同是全等變換的軸對稱視作一種圖形，更沒有將其看作圖形運動的方式。盡管在教師的追問、強調(diào)和補充之下，學(xué)生最終好像也能接受將軸對稱納入圖形的運動范疇中，但對軸對稱的理解卻簡單而狹隘（見表1）

可見，學(xué)生雖然按教材編排進行系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，但對軸對稱的理解卻長期處于狹隘層面。學(xué)生為什么會產(chǎn)生概念認識上的模糊現(xiàn)象？教師在教學(xué)中應(yīng)該怎樣幫助學(xué)生實現(xiàn)對軸對稱概念的正確理解呢？

一、學(xué)生的理解與困難

學(xué)生不容易將軸對稱放到與平移、旋轉(zhuǎn)同等的地位，沒有將其看作圖形運動方式的原因是多方面的。其中，軸對稱運動的特殊性、教材編排以及按教材編排邏輯展開教學(xué)是重要的原因。

1.概念的名稱相對抽象

平移和旋轉(zhuǎn)的概念名稱自帶“運動基因”，除了能讓學(xué)生非常直觀地感受到“動”的底色，還能從概念名稱上快速聯(lián)想到“動”的方式，而軸對稱的概念名稱中的直觀成分無疑隱晦許多。在學(xué)生再次學(xué)習(xí)軸對稱（四年級下冊）后，詢問學(xué)生以下問題（見表2），學(xué)生的答題情況也說明了這一點。

上表說明，面對軸對稱這一概念名稱時，學(xué)生無法馬上從中抽取出圖形的運動方式，而是需要依靠已建立的圖形運動表象與概念名稱之間的聯(lián)結(jié)，通過回顧圖形具象的運動過程，思索這一圖形獨特的運動方式該用哪個合適的詞匯進行表達。顯然，相較于平移與旋轉(zhuǎn)，這一過程與軸對稱這個概念名稱所具有的抽象性不無關(guān)系。如果軸對稱的教學(xué)沒有體現(xiàn)其運動性，那么學(xué)生的理解更是難上加難。

2.運動的方式比較特殊

軸對稱運動相較于平移、旋轉(zhuǎn)運動有很大的不同，平移、旋轉(zhuǎn)運動都是一個圖形在圖形所在平面上的二維運動，而軸對稱是一個圖形上的任意一點都以這點在對稱軸上相應(yīng)的垂足為圓心，向圖形所在平面外做了 的圓周運動，也就是沿軸進行了一次翻折的運動。但學(xué)生在學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)后，在一定程度上將軸對稱這樣的翻折運動過程，理解為圖形沿對稱軸進行了 的旋轉(zhuǎn)運動。以三角形ABC的軸對稱與旋轉(zhuǎn)運動（見表3）為例，其實不管是軸對稱還是旋轉(zhuǎn)，就運動過程而言，它們都是以一條直線（對稱軸）為軸，向圖形所在平面外做了 的圓周運動。不同在于，軸對稱的重點在對稱上，意義在于運動前后兩個圖形要關(guān)于一條直線對稱；旋轉(zhuǎn)的重點在轉(zhuǎn)動上，強調(diào)的是圍繞中心進行了怎樣的旋轉(zhuǎn)。盡管軸對稱與旋轉(zhuǎn)是截然不同的兩種圖形運動方式，但就翻折的運動過程來看，軸對稱這一運動過程中也有旋轉(zhuǎn)的要素。翻折的過程是旋轉(zhuǎn)的，結(jié)果是對稱的，因此軸對稱運動具有復(fù)合性，這也給學(xué)生的理解造成了一定的影響。

3.相近的概念容易混淆

學(xué)生在應(yīng)用軸對稱這一概念名稱時，常常會把“軸”這一關(guān)鍵字省略，說成“對稱”，而把軸對稱圖形也簡稱為“對稱”，這說明了學(xué)生在概念意義理解上的模糊與混淆。特別是對稱軸與軸對稱、軸對稱與軸對稱圖形的意義，如果學(xué)生不能準確區(qū)分，就會造成理解上的偏差與概念上的混淆。因此，學(xué)生在理解軸對稱概念意義時，必須同時理解與其相關(guān)的其他概念。也就是說，學(xué)生要理解的不是單一的概念，而是面對一個概念群。這是學(xué)生在學(xué)習(xí)平移、旋轉(zhuǎn)運動時不會遇到的情況，無疑也增加了學(xué)生理解上的困難。

二、教材的編排與教學(xué)

當(dāng)前，教材將圖形的全等變換內(nèi)容多分為兩個階段進行編排（見表4），年級上雖略有差異，但整體思路差不多。第一階段是感受全等變換現(xiàn)象，初步認識圖形的運動；第二階段由表及里，進一步深化認識。這樣編排既分散了難點，遵循了學(xué)生的認知規(guī)律，由感知現(xiàn)象到認識本質(zhì)，也體現(xiàn)了知識螺旋上升的特點，無疑是科學(xué)的一種分段安排。但這樣的編排也存在以下一些問題，值得我們思考。

第一階段：沒有彰顯軸對稱的運動屬性。

三個版本教材在第一階段，對軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的編排體系及例題形式總體相似，但軸對稱在編排上較平移和旋轉(zhuǎn)有著不同的邏輯，容易讓學(xué)生產(chǎn)生錯覺。以人教版編排為例（見圖1），三者都是由生活中的運動現(xiàn)象引入，平移和旋轉(zhuǎn)由相應(yīng)的平移、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象非常自然地引出了平移、旋轉(zhuǎn)運動。如平移的例題編排，學(xué)生能直觀感受到一個圖形經(jīng)過運動后可以變換到另一個位置上。按照這樣的邏輯，編排軸對稱內(nèi)容時應(yīng)由軸對稱現(xiàn)象引出軸對稱運動，這是非常自然的過渡。但實際上，軸對稱的編排卻由軸對稱現(xiàn)象引入轉(zhuǎn)向了對軸對稱圖形的認識，即從一種運動現(xiàn)象轉(zhuǎn)到一種靜態(tài)圖形的認識，從認識軸對稱運動變成了認識軸對稱圖形。在軸對稱內(nèi)容編排中，始終沒有說明軸對稱是一種圖形運動的方式，素材也沒采用和平移與旋轉(zhuǎn)一樣的動態(tài)圖，最后又轉(zhuǎn)向了靜態(tài)的軸對稱圖形特征的認識，這樣大大弱化了軸對稱“動”的底色。雖然教材中有編排\"對折\"這一動態(tài)過程，但學(xué)生更傾向于把它作為制作軸對稱圖形的一種方法。再者，剪紙時左右兩邊的圖形是同時存在的，學(xué)生把它看成一個整體圖形是非常自然的事情，而不會將它一分為二地理解成是左邊的圖形沿著折痕翻動到右邊的結(jié)果。因此，教學(xué)后，與學(xué)生自然地把平移、旋轉(zhuǎn)看作圖形運動方式形成鮮明對比的是：把同屬圖形運動內(nèi)容的軸對稱不看作圖形運動進行了區(qū)別對待。教材編排與教學(xué)的差別，在一定程度上造成了學(xué)生理解的偏差。

第二階段：不夠凸顯軸對稱的性質(zhì)特征。

此階段的軸對稱學(xué)習(xí)，重點在于對軸對稱特征的認識，即對稱點的連線與對稱軸垂直且到被對稱軸平分，也就是我們常說的“等距”與“垂直”。不同版本教材在例題編排上略有不同，如人教版和北師大版教材將發(fā)現(xiàn)軸對稱性質(zhì)（垂直且等距）和運用軸對稱性質(zhì)（補全圖形）分開兩個例題編排，而蘇教版教材則在補全圖形的例題中，讓學(xué)生在不自覺運用軸對稱性質(zhì)中再識性質(zhì)。為了幫助學(xué)生更好地理解軸對稱的性質(zhì)特征，幾個版本教材都選用了比較簡潔的圖形和格子圖。

1.格子圖的使用比較單一

在格子圖的使用上，不同版本教材都是采用通鋪形式，即對稱軸左右兩邊都提供了格子圖。格子圖的使用降低了作圖的難度，學(xué)生只要通過數(shù)格子數(shù)就可輕易發(fā)現(xiàn)從對稱點到對稱軸距離相等的性質(zhì)。但這樣也存在以下問題：

一是對“等距”體驗不深。學(xué)生在格子圖上找對稱點只需數(shù)格子的數(shù)量，并不需要經(jīng)歷實際測量的過程，這極大弱化了學(xué)生對對稱點到對稱軸距離相等的體驗。如果對稱軸的右邊不提供格子圖，學(xué)生在找對稱點的過程中，就要通過測量才能確定對稱點的位置。這一測量定點的過程與數(shù)格定點相比，能明顯加強學(xué)生對等距的體驗，而這也正是學(xué)生多感官體驗等距性質(zhì)的過程

二是對“垂直\"體驗缺失。通鋪格子圖上數(shù)格定點，在極大弱化學(xué)生對等距體驗的同時，也導(dǎo)致學(xué)生對垂直體驗的缺失。因為格子的橫、豎線是垂直的，學(xué)生在找對稱點的過程中只需關(guān)注格子數(shù)，也就是等距因素就可以了，從頭到尾不需要也沒機會關(guān)注垂直因素。盡管教師引導(dǎo)學(xué)生觀察補全后的圖形，學(xué)生似乎也順理成章地發(fā)現(xiàn)了等距與垂直的性質(zhì)，但這種“看客式”的看圖發(fā)現(xiàn)，垂直只是一個被告訴的附屬品，顯然缺失內(nèi)需式的真實體驗。

如在半鋪的格子圖上補全圖形，學(xué)生在找對稱點的過程中必然要考慮垂直因素。盡管有個別學(xué)生受之前學(xué)習(xí)的影響，會想到在右邊補格找點，但大部分學(xué)生都能想到將關(guān)鍵點所在的橫線反向延長后測距找點。此時，教師只要追問學(xué)生“為什么一定要反向延長橫線來找對稱點？隨意畫線可以嗎？”，就可以引導(dǎo)學(xué)生回顧點到直線的距離等知識，這樣垂直因素的需求就真正產(chǎn)生了，而學(xué)生對垂直性質(zhì)的理解也更加深刻。

2.關(guān)鍵點的位置可以優(yōu)化

不同版本教材都提供了較為簡潔的圖形作為素材，圖上關(guān)鍵點的個數(shù)也比較接近，這樣學(xué)生操作起來比較合適。如按照點到對稱軸的垂線是否與圖形的輪廓線重合，點可分為“內(nèi)、外、平\"這三種情況。如小樹圖（見圖2），A點與對稱軸的垂線（或部分）會在圖形輪廓外部，劃分為“外”； C，D 兩點則劃分為\"內(nèi)”； B，E 兩點與對稱軸的垂線（或部分）會和圖形輪廓重合，劃分為“平”。其中，“平\"這一種情況比較特殊，因為點與對稱軸的垂線剛好和圖形輪廓線完全重合。因此，教師將點與對稱軸的垂線進行“翻折\"演示時，學(xué)生不好區(qū)分是垂線還是輪廓線在“翻折”。即“平\"這一情況的點的個數(shù)過多或多點共線，會在一定程度上給學(xué)生理解造成干擾。此外，從距離維度考慮，也可以適當(dāng)減少多點等距的情況。因此，圖形素材包含的點的位置情況還可以進一步優(yōu)化。

三、教學(xué)的思考與改進

第一階段：彰顯軸對稱的運動屬性。

軸對稱與平移和旋轉(zhuǎn)一樣，歸根結(jié)底都是全等變換過程中點的運動方式。因此，體現(xiàn)軸對稱的運動屬性，應(yīng)該成為不同階段軸對稱內(nèi)容教學(xué)一以貫之的共同理念。那么，在第一階段教學(xué)軸對稱時，教師就應(yīng)該強調(diào)軸對稱的運動屬性，幫助學(xué)生形成正確的軸對稱的第一印象。為體現(xiàn)軸對稱的運動屬性，不妨把教材內(nèi)容作如下修改（見圖3）。

這樣編排，解決了上文所提及的本應(yīng)認識軸對稱卻悄然轉(zhuǎn)向認識軸對稱圖形的尷尬境地，邏輯上更加通順。此外，在對折制作軸對稱圖形的教學(xué)中，除了說明為什么對折可以制作出軸對稱圖形的道理，教師還要引導(dǎo)學(xué)生將翻折展開的過程與軸對稱運動建立聯(lián)系。也就是說，教師要重組現(xiàn)有的教學(xué)資源，在教學(xué)上作恰當(dāng)?shù)奶幚恚屳S對稱的教學(xué)體現(xiàn)其運動屬性。

第二階段：凸顯軸對稱的性質(zhì)特征。

在學(xué)生建立起軸對稱是一種圖形運動方式的感知后，第二階段的教學(xué)應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生由定性描述的感性認知轉(zhuǎn)向定量刻畫的深刻理解，也就是要認識軸對稱運動的特點以及由此產(chǎn)生的軸對稱圖形的特征，理解軸對稱的等距、垂直性質(zhì)。

1.位置情況從豐富到優(yōu)化

軸對稱運動說到底是點的運動，教師一般會從圖形上關(guān)鍵位置的點展開教學(xué)。前文已分析，小樹圖點的位置情況（見圖4）雖比較豐富（包含了“內(nèi)、外、平”三種情況），但進一步分析可以發(fā)現(xiàn)： C，D 兩點一樣存在重復(fù)； B，C 兩點共線會造成它們在翻動過程中，點到對稱軸的垂線以及圖形的輪廓線等部分重疊在一起，不利于學(xué)生清楚區(qū)分。因此，在實際教學(xué)中，可對圖上關(guān)鍵點的位置進行適當(dāng)優(yōu)化（見圖5）。優(yōu)化后，小樹圖上4個點的位置依然包含了“內(nèi)、外、平\"這三種情況，且各點與對稱軸的垂線沒有重疊，而 A，C 兩點雖同屬“內(nèi)\"這一情況，但情況卻各不相同。如此，優(yōu)化后圖形點的位置元素更加豐富，能減少無關(guān)因素的干擾，有助于學(xué)生聚焦等距、垂直這兩個核心要素，深化對軸對稱性質(zhì)的理解。

2.格子使用從通鋪到不鋪

為了解決格子通鋪教學(xué)時學(xué)生對“等距”體驗不深、對“垂直”體驗缺失的問題，不妨改變格子圖的使用方法，凸顯軸對稱的性質(zhì)。

（1）復(fù)習(xí)引入

師：（出示圖的一半，略）這個圖形沿著對稱軸翻折過去，會是什么樣的圖形？（學(xué)生回答后動畫演示翻折過程，補全圖形）

（2）新知學(xué)習(xí)

師：最后的圖形沿對稱軸翻折過去，將會是一棵怎樣的小樹呢？圖上的 A，B，C，D 這四個點（動畫閃爍）隨著圖形的翻折，又會運動到哪個位置呢？

師：（出示學(xué)習(xí)單）請先在學(xué)習(xí)單上標出A、B、C、D這四個點運動后的確切位置，再把運動后的整個圖形畫出來。如果有困難，可以揭掉學(xué)習(xí)助手上的便利貼，利用里面的格子圖幫助完成。（學(xué)習(xí)助手里提供的是通鋪的格子圖，為學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生提供學(xué)習(xí)支架）

反饋交流：收集學(xué)生作品，按“格子圖全鋪 arrow 半鋪作品”的順序展開，重點聚焦格子圖半鋪時如何確定翻折后點的位置問題。

理解性質(zhì)：如果左邊的格子圖也沒有了，你還能找到 A，B，C，D 這四個點翻折運動后的確切位置嗎？（引導(dǎo)學(xué)生理解畫對稱點連線與對稱軸垂直的道理，發(fā)現(xiàn)軸對稱等距、垂直的性質(zhì)）

深化理解：通過有層次的點的位置的變化，引導(dǎo)學(xué)生進一步感受無論點的位置如何變化，都可以根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，運用畫垂線的經(jīng)驗在另一側(cè)很快找到它的對稱點。

上述教學(xué)，一改整課格子圖通鋪的教學(xué)，從半鋪開始，退則通鋪（學(xué)習(xí)助手），最后到不鋪。半鋪或不鋪格子，增加的是情境識別的困難，而不是技能操作的困難。因為學(xué)生一旦識別情境后，調(diào)用測量長度、過點作垂線和點到直線的距離等知識經(jīng)驗，問題便迎刃而解。正因結(jié)構(gòu)化材料的應(yīng)用，促使學(xué)生必須著眼于等距、垂直這兩個核心要素，深化了對軸對稱性質(zhì)的理解，也讓學(xué)生對軸對稱圖形從對折能完全重合的表象認知上升到對折為什么能完全重合的深刻理解。

3.對稱判斷從重合到性質(zhì)

學(xué)習(xí)軸對稱后，判斷一個圖形是不是軸對稱圖形是常見的教學(xué)環(huán)節(jié)，但由于一些教師沒有很好地把握軸對稱不同階段的教學(xué)要求，沒有運用軸對稱的性質(zhì)進行說明，導(dǎo)致此環(huán)節(jié)的教學(xué)仍然停留在“兩邊一不一樣”“對折后能不能完全重合”的層面上。這樣于無形中弱化了軸對稱性質(zhì)的應(yīng)用，在第一階段的定性描述上，學(xué)生就會出現(xiàn)“擁有兩部分完全相同的圖形（中心對稱）怎么還不是軸對稱圖形”的疑惑。因此，為深化學(xué)生對軸對稱的認識，不妨直面學(xué)生的認識誤區(qū)，開展應(yīng)用軸對稱性質(zhì)判斷說理的教學(xué)。如教師設(shè)置“請你來找碴\"教學(xué)環(huán)節(jié)：“課前，老師了解到有些同學(xué)學(xué)習(xí)軸對稱時，認為平行四邊形是軸對稱圖形，并畫出了它的對稱軸，還找到了對稱點（課件出示圖，略）。他們畫的對嗎？你能不能利用軸對稱的性質(zhì)，說明平行四邊形為什么不是軸對稱圖形嗎？請在圖上表示出你的想法。\"在學(xué)生判斷后，課件同步演示原因，引領(lǐng)學(xué)生理解翻折過去不能完全重合的根本原因是“垂直但不等距\"或是“等距但不垂直”。這樣從軸對稱性質(zhì)層面分析中心對稱圖形不是軸對稱圖形的原因，在于它沒有同時符合軸對稱垂直和等距的兩個性質(zhì)，從而糾正學(xué)生簡單地把圖形分為兩個相同的部分，就認為它是軸對稱圖形的判斷方法。

4.運動認識從孤立到聯(lián)系

要想學(xué)生將軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)同等對待，除了按教材編排進行課時的拆分教學(xué)，還應(yīng)關(guān)注軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)之間的聯(lián)合教學(xué)。如在旋轉(zhuǎn)教學(xué)后，將軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)進行橫向的聯(lián)系與對比（見圖6）。

師：學(xué)習(xí)新知識，常常會把它和舊知識作比較。旋轉(zhuǎn)、平移和軸對稱，它們都能讓圖形“動\"起來，但“動”的一樣嗎？

生：不一樣。軸對稱是把圖形翻折過去，平移 是移動過去，旋轉(zhuǎn)是轉(zhuǎn)動過去…

師：平移是圖形在移動，旋轉(zhuǎn)是圖形在轉(zhuǎn)動，而軸對稱是圖形在翻動；平移是移動相同的距離，旋轉(zhuǎn)是轉(zhuǎn)動相同的角度，軸對稱是翻折到相反的位置。那么，它們又有什么一樣的地方呢？

生2：運動前后，圖形的大小、形狀都不會發(fā)生改變，改變的是它們的位置·

這樣，通過聯(lián)系與對比，將軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)放在同等地位，使不同的圖形運動間既有區(qū)別，又彼此聯(lián)系；通過比較同與不同，讓學(xué)生對圖形運動有了更全面的認識

總之，教師要準確把握軸對稱的本質(zhì)，站在整體教學(xué)視角，基于教材創(chuàng)新教學(xué)思路，使軸對稱在不同階段的教學(xué)中，既有知識理解層面的區(qū)別，又有數(shù)學(xué)本質(zhì)上的聯(lián)系，實現(xiàn)學(xué)生概念學(xué)習(xí)本質(zhì)化、系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的理解。

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（責(zé)編杜華）