高斯噪聲誘導下非線性系統(tǒng)隨機共振行為研究

摘要：在高斯噪聲下，非線性系統(tǒng)的隨機共振行為能夠提高系統(tǒng)性能，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為此，以某非線性系統(tǒng)為例，引進郎之萬方程，進行非線性系統(tǒng)的高斯噪聲隨機模擬，生成樣本，并對時間序列進行離散傅里葉變換處理，以此實現(xiàn)高斯噪聲處理和sine-Wiener噪聲提取。同時，結合修正歐拉算法求解動力學方程，從時間延遲效應、噪聲增強兩個方面，分析系統(tǒng)隨機共振行為。結果顯示，時間延遲為0時，共振峰值最高，隨著時間延遲強度的增強，隨機共振峰值逐步下降；噪聲強度適中時，共振最佳，低強度噪聲減弱共振，高強度噪聲導致系統(tǒng)不穩(wěn)定和共振減弱。

關鍵詞：高斯噪聲誘導 時間延遲效應 sine-Wiener噪聲 非線性系統(tǒng)

中圖分類號：O414.21文獻標識碼：A

Stochastic Resonance Behavior of Nonlinear Systems Induced by Gaussian Noise

WANG Chaojie1，WU Mingfa1，MAO Liying2

1.Jiangxi Vocational College of Industry and Engineering， Pingxiang， Jiangxi Province， 337000 China；

2.Qingfeng Senior High School affiliated to Central China Normal University， Qingfeng， He’nan Province， 457300 China

Abstract：In order to study the stochastic resonance behavior of nonlinear system under Gaussian noise， taking a nonlinear system as an example， Langevin equation is introduced to conduct stochastic simulation of nonlinear system， generate samples and perform discrete Fourier transform treatment of time series， so as to realize Gaussian noise processing and sine-Wiener noise extraction. Menshile， this paper solve kinetic equations using the modified Euler algorithm， and analyze the system's stochastic resonance behavior considering time delay and noise enhancement. The results show that" when the time delay is 0， the resonance peak is the highest， as the intensity of the time delay increases， the random resonance peak gradually decreases; when the noise intensity is moderate， resonance is optimal， low-intensity noise weakens resonance， while high-intensity noise leads to system instability and a reduction in resonance.

Key Words： Gaussian noise induction; Time delay effect; Sine-Wiener noise; Nonlinear system

對于高斯噪聲誘導下的非線性系統(tǒng)隨機共振行為研究，其背景植根于自然界、工程領域與社會科學中廣泛存在的復雜非線性隨機動力學現(xiàn)象。此部分現(xiàn)象不僅體現(xiàn)了現(xiàn)實世界的高度復雜性和隨機性，還揭示了眾多實際過程背后的非線性本質[1]。上個世紀，法國數(shù)學家與力學家亨利·龐加萊便洞察到某些非線性系統(tǒng)內在蘊含著隨機性特征，此發(fā)現(xiàn)為后續(xù)的非線性科學研究奠定了基礎。

隨著計算機技術的飛速發(fā)展，求解非線性方程的能力顯著提升。此項技術的進步不僅推動了相關理論的成熟，也促進了非線性科學在多個學科領域的廣泛應用。在隨機動力學的框架下，非線性行為的產生往往與特定的系統(tǒng)狀態(tài)密切相關[2]。一方面，在可激發(fā)的非平衡系統(tǒng)中，噪聲能夠激發(fā)大幅度的弛豫振蕩，此種現(xiàn)象展示了噪聲在非線性系統(tǒng)動力學中的積極作用。另一方面，在臨界分岔系統(tǒng)中，噪聲引發(fā)小幅度的振動，進一步豐富了非線性系統(tǒng)的動力學行為。在此背景下，本文在高斯噪聲誘導下，以某非線性系統(tǒng)為例，對其隨機共振行為展開研究。

1非線性系統(tǒng)的高斯噪聲隨機模擬

為更直觀地掌握高斯噪聲誘導下非線性系統(tǒng)的隨機共振行為特點，從噪聲驅動的非平衡系統(tǒng)的郎之萬方程入手，對一般阻尼系統(tǒng)進行計算機隨機模擬。郎之萬方程主要用于描述噪聲驅動的非平衡系統(tǒng)的動態(tài)行為[3]，此過程如下所示。

式（1）中：為郎之萬方程；為系統(tǒng)的非線性驅動力；為阻尼系數(shù)；為高斯噪聲項；為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；為時間步長。

接著，為與郎之萬方程中的噪聲項相匹配，對調整噪聲進行幅度，過程如下所示[4]。

式（2）中：為高斯噪聲的標準差；為獨立標準正態(tài)分布（高斯分布）隨機數(shù)。

完成高斯噪聲的生成后，將其代入郎之萬方程中進行隨機模擬。假設模擬系統(tǒng)從某個初始狀態(tài)開始，在時間步長下的動態(tài)行為可以使用以下迭代公式[5]。

式（3）中：為第條樣本的時間步長；、為在與時刻下的系統(tǒng)狀態(tài)[6]。

通過上述步驟和公式，完成對噪聲驅動的非平衡系統(tǒng)進行高斯噪聲的隨機模擬。

2高斯噪聲處理與sine-Wiener噪聲提取

完成非線性系統(tǒng)的高斯噪聲隨機模擬后，進一步對產生的高斯噪聲進行處理，以得到sine-Wiener噪聲[7]。在此過程中，使用上文所述的步驟生成高斯噪聲樣本，對生成的高斯噪聲時間序列進行離散傅里葉變換，以得到其在頻域上的表示[8]。此過程如下。

式（4）中：為高斯噪聲的傅里葉變換系數(shù)；為頻域索引；為時間序列的長度；為頻域范圍；為虛數(shù)單位。

根據(jù)sine-Wiener噪聲的頻譜特性，設計一個頻譜濾波器[9]。濾波器可以在低頻區(qū)域保持較高的增益、在高頻區(qū)域逐漸降低增益[10]，頻譜濾波器表達式如下。

式（5）中：為頻譜濾波器；為截止頻率索引。

將頻譜濾波器應用于高斯噪聲的傅里葉變換，得到濾波后的頻域表示。在此基礎上，對進行逆離散傅里葉變換，以得到時域上的sine-Wiener噪聲時間序列，如下所示。

最后，輸出計算結果，完成高斯噪聲處理與sine-Wiener噪聲提取。

3 非線性系統(tǒng)隨機共振行為動力學方程求解

在研究非線性系統(tǒng)的隨機共振行為時，可以將此過程假設為一個包含隨機噪聲項的動力學方程。為了數(shù)值求解此類方程，引進修正后的歐拉算法。該算法設定一個典型的非線性系統(tǒng)隨機動力學方程，在此基礎上，利用隨機歐拉算法進行上述方程的求解。求解過程中，初始化狀態(tài)變量、時間步長和sine-Wiener噪聲序列，對于每個時間步，計算確定性部分的預測值，計算公式如下。

式（7）中：表示每個時間步確定性部分的預測值。從噪聲序列中取出當前時間步的噪聲值，參照上文所述的公式（3），更新狀態(tài)變量。以此種方式，完成非線性系統(tǒng)隨機共振行為動力學方程求解，以此為依據(jù)，可以更加直觀地分析方程中不同參數(shù)與隨機共振行為之間的關系。

4 隨機共振行為影響分析

4.1 時間延遲效應對系統(tǒng)隨機共振行為的影響

通過上述內容的研究，得到非線性系統(tǒng)隨機共振行為動力學方程，根據(jù)方程中時間延遲參數(shù)的變化，分析此參數(shù)對系統(tǒng)隨機共振行為的影響。在此過程中，調整時間延遲強度和時間延遲長度，觀察系統(tǒng)在不同條件下的共振行為，結果如圖1所示。

圖1時間延遲效應對系統(tǒng)隨機共振行為的影響

圖1顯示時間延遲與非線性系統(tǒng)隨機共振有直接關聯(lián)。當時間延遲強度為0時，隨機共振峰值最大，此時，系統(tǒng)能夠充分響應并放大輸入信號的特定頻率，實現(xiàn)最佳共振效果。隨時間延遲強度增加，共振峰值逐漸下降，因時間延遲而影響系統(tǒng)動力學特性，使系統(tǒng)響應輸入信號變得遲緩且不精確。當輸入信號的特定頻率試圖與系統(tǒng)共振時，系統(tǒng)因時間延遲而無法及時調整狀態(tài)匹配此頻率，導致共振效果減弱。時間延遲會破壞系統(tǒng)原有的動力學平衡和反饋機制，使系統(tǒng)響應輸入信號遲緩、不準確，不僅降低共振效果，還對系統(tǒng)穩(wěn)定性和性能造成不利影響。

4.2噪聲增強對系統(tǒng)隨機共振行為的影響

在此基礎上，模擬高斯噪聲持續(xù)增加，通過調整高斯噪聲的強度，觀察不同噪聲強度下系統(tǒng)共振行為，掌握噪聲增強對隨機共振行為的影響。其結果如圖2所示。

圖2展示了高斯噪聲強度對系統(tǒng)隨機共振的復雜影響。低強度噪聲使系統(tǒng)響應微弱，難以捕捉并放大輸入信號的特定頻率，導致共振峰值低。噪聲強度＜0.5 V時，共振現(xiàn)象不顯著。隨噪聲強度增加，系統(tǒng)響應增強，適量噪聲提供額外能量，促進與輸入信號的相互作用。噪聲強度達1 V時，系統(tǒng)響應最佳，共振峰值最大。當共振峰值下降時，系統(tǒng)穩(wěn)定性會受損，表現(xiàn)為輸出波動增大、響應時間延長等。因此，高斯噪聲對系統(tǒng)隨機共振影響具有雙面性，適量噪聲可以增強共振效果，提高信號響應能力；過高噪聲則破壞系統(tǒng)穩(wěn)定性，惡化性能。實際應用時，需要根據(jù)需求和噪聲特性選擇適當噪聲強度，以實現(xiàn)最佳隨機共振效果和系統(tǒng)性能。

5結語

自然界中的所有系統(tǒng)都受到隨機因素的影響，包括系統(tǒng)內部的熱力學波動和外部輸入的無規(guī)則漲落，這些在物理學中被統(tǒng)稱為噪聲或隨機力。高斯噪聲因其廣泛性和易分析性而備受關注。近年來，高斯噪聲誘導的多種效應已成為研究熱點，不僅在物理學，還在生物學、激光技術等領域展現(xiàn)出了廣泛應用前景。為深入理解非線性系統(tǒng)的隨機共振行為，本文在高斯噪聲誘導下，從時間延遲效應和噪聲兩個角度進行了研究。此研究不僅具有堅實的理論基礎和廣泛的應用背景，還對揭示復雜系統(tǒng)動力學機制、優(yōu)化系統(tǒng)性能與推動相關學科發(fā)展具有重要意義。因此，該領域研究不僅具有重大學術價值，還將對多領域科技進步產生深遠影響。

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